tient, le produit qui en résulte est le plus petit multiple commun qu'on a demandé. ΙΟΙ IOI Soit qu'on multiplie ou qu'on divife une quantité quelconque par l'unité, le produit ou le quotient qui en résultera, ne differera pas de la tité ainfi multipliée ou divifée. DEMONSTRATION. quan Toute quantité fe contient elle-même une fois. Donc a × 1 = a. Réciproquement toute quantité eft contenue une fois en elle-mêmeDonca. Donc ax 1 == a. Ce qu'il falloit démontrer. 102 On ne changera point la valeur d'une quantité quelconque en la multipliant & divifant en même tems par une même quantité. DEMONSTRATION. Si aïant multiplié une quantité a par une autre quantité n, on divise an an n le produit an par n, on auraa (74). D'ailleurs = ах ; mais n n I 1 (86), par conféquent en multipliant & divifant par une même quantité, on ne fait autre chofe que multiplier par une fraction, dont les deux termes font égaux, c'est-à-dire, qu'on multiplie & divise en même tems par l'unité. Donc on ne change point la quantité (101). Ce qu'il falloit démontrer. 103 On ne changera point la valeur d'une fraction en multipliant fes deux termes par une même quantité. les deux termes de la fraction, on la multiplie par l'unité. Donc on n'en change point la valeur (101). Ce qu'il falloit démontrer. 104 On ne changera point la valeur d'une fraction en divisant fes deux termes par une même quantité. tion par une même quantité, on ne fait autre chose que diviser la fraction par l'unité. Donc on n'en change point la valeur (101). Ce qu'il falloit démontrer. 105 Lorsque les deux termes d'une fraction font primitifs entre eux (89), on dit que cette fraction eft réduite à fes plus fimples termes poffibles; car alors le numérateur & le dénominateur n'aïant aucun diviseur commun, ne pourront point être tous deux divifés par une même quantité, & par conféquent on ne pourra pas divifer l'un de ves termes ou tous les deux par quelque quantité que ce foit, fans changer la valeur de la fraction. Ainfi les fractions,, 7 m font réduites à leurs moindres termes poffibles: au contraire les frac termes; puifque l'on peut divifer par une même quantité les deux. termes de chacune en particulier (102); on aura 3 8 4X2 = 3X3 9 10 = 5X2 81X39 bc cxb nq q x n les diviseurs communs aux deux termes, elles deviendront,,, m ,, qui ne peuvent plus fe réduire. 106 Pour réduire une fraction à fes moindres termes poffibles, on divi-fera fes deux termes par leur plus grand commun divifeur (96), le résultat fera la fraction réduite: par exemple, == (104); par la même 36 12X3 107 Lorfque le numérateur d'une fraction sera multiple de fon dénominateur, comme la divifion indiquée fera poffible, on pourra la réduire en entiers en divifant le numérateur par fon dénominateur; 108 Lorfque la fraction étant excédente, le numérateur n'est pas multiple du dénominateur; la fraction pourra être réduite en gran deur mixte : ainfi =+=2+; ab+c a =b+ a 109 Mais lorsqu'on voudra comparer une fraction défaillante avec une quantité entiere, comme on ne pourra pas réduire en entiers une telle fraction, & que l'on peut ne pas appercevoir diftinctement le rapport qui fe trouve entre ces deux quantités, il eft fouvent commode & utile de réduire l'entier en une fraction dont le dénominateur foit le même que celui de la fraction propofée: pour cela il faut multiplier l'entier par le dénominateur de la fraction, & le divifant la même quantité, on n'en changera pas la valeur (102): par exemple, fi l'on a l'entier 3: & la fraction, en multipliant & divifant 3 par 5, on aura 3; de même si l'on veut comparer la grandeur entiere m par IIO La même chofe arrivera fur les quantités compofées d'entiers & de fractions; car pour réduire ces grandeurs mixtes en fractions, on multipliera l'entier par le dénominateur de la fraction; & on fera du tout une feule fraction qui aura pour dénominateur le dénominateur de la partie fractionnaire de la grandeur mixte propofée : ainfi n mq n mq+n + 3,174 = 3X11+7 11 = 33 = ; m+ -= 1 = III Enfin, fi l'on demande une partie fractionnaire quelconque d'une quantité entiere fractionnaire ou mixte, on commencera par réduire en fraction, ou regarder comme telle, la grandeur entiere ou mixte propofée, on multipliera ces deux fractions l'une par l'autre; c'est-à-dire, numérateur par numérateur, & dénominateur par dénominateur, & la fraction qui en réfultera fera la quantité demandée. Par Par exemple, fi l'on demande les deux tiers de 4, on aura 4= Si l'on demande les de 4 comme 4, on aura x= 63 m α m Si l'on demande une partie de la grandeur à, on aura — × m n a La même partie de la fraction fera n m - C X -= b Enfin, cette même partie de la quantité mixte a + − sera am n On voit de reste par ces exemples, que la fraction d'une fraction ou la fraction d'un mixte qu'on aura (pour la commodité du calcul) réduit en fraction, fera une fraction compofée du produit des deux numérateurs, divisé par le produit des deux dénominateurs des deux fractions propofées : & que pour avoir une partie fractionnaire quelconque d'un entier, il fuffira de multiplier l'entier par le numérateur de la fraction propofée fans changer fon dénominateur: parce qu'un entier fuppofé réduit en fraction n'étant divifé que par l'unité, le denominateur propofé multiplié par l'unité ne changera point de valeur. 112 Lorsque l'on compare enfemble deux fractions différemment divifées, fi l'on veut en connoître la fomme ou la différence, il faut les réduire à un même diviseur: car alors ces fractions feront entre elles comme leurs numérateurs (87): par exemple, on n'apperçoit pas aifément le rapport de à; tant que ces fractions restent fous cette forme; mais fi pour un moment on fuppofe que x=, on voit alors que la feconde eft plus grande que la premiere de la quantité 113 Pour réduire deux fractions à la même dénomination, on multipliera les deux termes de la premiere fraction par le dénominateur de la feconde, & les deux termes de la feconde par le dénominateur de la premiere. 9 11 Ainfi pour réduire les fractions, à la même dénomination, on Tome I. P multipliera 4 & 5 par II, ce qui donnera Xpour la premiere, 1, Car fi l'on divife les deux termes de la premiere par d, (104) on 114 En général pour réduire plusieurs fractions à la même dénomination: fans changer leurs valeurs. 1o. On multipliera le numérateur de chaque fraction, par le produit des dénominateurs de toutes les autres fractions, & ce numérateur ainfi transformé, fera le numérateur de la nouvelle fraction de même vacelle à la place de laquelle on la fubftituë. leur que 2o. On multipliera tous les dénominateurs les uns par les autres, & le produit de tous ces dénominateurs, fera le dénominateur commun de toutes les fractions propofées, réduites. |