Donc tous les termes de la fuite infinie qui contiennent le refte r feront négatifs, quand r lui même fera négatif, & que le fecond terme s du diviseur sera auffi négatif.

On a pû voir par la maniere dont fe forment ces fuites.

1o. qu'on peut approcher à l'infini du quotient cherché fans avoir jamais de terme égal à zero. Car pour avoir un terme de la fuite égal à zero, il faudroit qu'un de fes produifans r, s, p, fut égal à zero. Or fi ro, la divifion fe fera exactement, & la fuite n'aura pas lieu, fiso, le dividende fera réduit à pt+pq qu'on divisera exactement par p: Il en fera de même fip=o, car alors on auroit dividende pour divifer qs +st quon peut Mais fi l'on fuppofe que s=o, oup=0, feulement dans le divifeur, & qu'il ait une valeur réelle dans le dividende, on aura donc le dividende propofé à divifer par pou par s. Dans le premier

st

par s.

cas le quotient eft t+q++, & dans le dernier on aura t+q+£9, & la fuite infinie n'aura pas lieu, donc la fuite infinie ne peut jamais avoir de terme égal à zero.

2o. Cependant comme on peut approcher à l'infini de la valeur cherchée en continuant la fuite auffi loin qu'on le voudra, on peut, faus erreur sensible regarder une pareille fuite infinie comme le vrai quotient du dividende propofé.

3°. Les termes de eette fuite feront d'autant plus petits que le dénominateur fera plus grand par rapport au numérateur. Ainfi un terme

fera infiniment petit, fi p" contient une infi

4°. Enfin on continuera ces fuites auffi loin qu'on voudra en multipliant continuellement le dernier terme trouvé par la fraction *-: car le premier terme étant toujours neceffairement, on peut voir que les termes fuivans font formés de la multiplication de ce premier terme par la fraction, c'est-à-dire, que le premier terme est continuellement multiplié par le second terme du divifeur & divifé par le premier.

II.

DES FRACTIONS VULGAIRES.

138 Nous avons vân (9) qu'une partie de l'unité étoit souvent elle même prife pour unité : l'ufage a établi dans chaque efpece de grandeurs différentes divifions & fubdivifions de l'unité principale, & chacune des parties de cette unité ainsi divisée a été nommée d'un nom particulier, en forte que ce même ufage en fait autant d'unités principales. Mais comme ces prétendues unités font aliquotes de l'unité principale, nous les regarderons comme des fractions & nous en expliquerons le Calcul par celui des fractions.

Nous confidererons donc dans l'étenduë, la toife comme l'unité principale, à laquelle nous rapporterons les autres méfures de l'étendue, & comme la toife contient fix pieds & le pied douze pouces, nous regarderons le pied comme de la toise & le pouce comme du pied ou de la toife.

Dans la pefanteur, la livre étant prife pour unité principale, nous prendrons l'once pour de la livre, & le gros pour de l'once.

Dans la durée le jour fera la mesure fixe ou unité principale, l'heure- du jour, & la minute de l'heure.

60

Dans la monnoïe nous prendrons la livre pour unité principale, dont le fou fera, & le denier ou du fou.

24

12

Enfin

Enfin pour la commodité du Calcul nous regarderons chacune de ces efpeces comme étant l'unité principale de l'efpece immédiatement au deffous, en forte que dans l'étenduë, par exemple en calculant les pouces nous fuppoferons que le pied eft l'unité principale à laquelle cette mesure doit être raportée, & lorfque nous calculerons les pieds, nous les regarderons comme des fractions de la toise prise pour unité principale à fon tour.

REMARQUES.

Il est à propos de remarquer que dans ce que nous avons vû jusqu'à préfent, nous n'avons eu pour objet que des quantités abftraites, & par conféquent les résultats des opérations nous ont toujours pareillement donné des quantités abftraites. Au contraire la plupart des quantités qui entrent dans le Calcul des fractions vulgaires étant des grandeurs concretes, on doit examiner de quelle nature feront les résultats des opérations relativement à la nature des quantités fur lesquelles on a opéré.

Par exemple il eft clair qu'on ne peut ajouter ensemble que des quantités de même efpece. Savoir: de l'étendue avec de l'étendue, la durée à la durée, la pefanteur à la pefanteur, la monnoïe à la monnoïe, &c. & par conféquent la fomme fera de la même efpece que les quantités ajoutées.

que

On voit également qu'on ne peut fouftraire une quantité concrete, d'une quantité concrete de même efpece, on ne peut fouftraire une partie d'étendue que d'une partie d'étendue, on ne peut retrancher de la durée que fur une quantité de durée. La pefanteur ne peut être ôtée que de la pefanteur, & toute autre chose qu'une quantité de monnoïe ne pourroit être fouftraite d'une autre quantité de monnoïe; par conféquent le fouftréande, le fouftracteur & la différence feront néeeffairement de même espece.

Donc dans l'addition & dans la fouftraction toutes les quantités qui entrent dans une même opération font homogenes entre elles & avec les résultats.

DE L'ADDITION.

139 Pour ajouter ensemble plufieurs fractions vulgaires unies à des entiers, comme on fait comment chacune eft contenue dans l'unité à laquelle elle a rapport, c'cft-à-dire comme on connoît le dénominateur de chacune, on les écrira les unes fous les autres après les entiers aufquels elles font unies en plaçant dans une même colomne celles Tome I.

S

de même espece, & au lieu d'écrire le dénominateur de chaque colomne, on mettra en haut & à la droite un caractere qui désigne l'efpece qui eft comprise dans cette colomne.

Enfuite on fera l'addition en ajoutant d'abord tous les chiffres compris dans la colomne de la plus baffe efpece.

1o. Si la fomme eft moindre que le nombre qui marque comment l'efpece actuelle eft contenue dans l'efpece fuperieure suivante, (c'està-dire fi le numérateur eft moindre que le dénominateur) on placera dans la même colomne & au deffous, la fomme de cette colomne.

2°. Si la fomme eft précisement une ou plufieurs fois égale au nombre qui marque comment l'efpece fuivante contient l'efpece actuelle, on mettra un zero fous la colomne & on retiendra pour ajouter avec la colomne fuivante autant d'unités qu'on a trouvé de fois le dénominateur contenu dans la fomme des numérateurs.

3°. Enfin fi l'on trouve pour fomme un nombre qui contienne une où plufieurs fois le dénominateur avec une ou plufieurs unités fracti onnaires, on pofera ces unités fractionnaires de furcroît dans la même colomne & au dessous, & on ajoutera à la colomne fuivante autant d'unités qu'on a trouvé de fois cette fomme multiple du dénominateur.

1o. On trouvera 36 lignes qui font 3 pouces, on pofera donc zero dans la colomne des lignes & on retiendra 3 pour compter avec les pouces.

2o. Ajoutant ces 3 retenus avec les pouces on aura 44 pouces qui valent 3 pieds 8 pouces, on pofera 8 fous les pouces & on retiendra 3 pour compter avec les pieds.

3o. Ajoutant à la colomne des pieds ces 3 retenus, la fomme 17 vaut 17 pieds ou 2 toifes 5 pieds, on pofera donc 5 dans la colomne des pieds, & on retiendra 2 pour compter avec les toifes.

Enfin on ajoutera les 2 retenus avec la colomne des unités des toifes & on continuera l'opération à l'ordinaire.

S'il manque quelque efpece dans les quantités propofées, pár exemple fi l'on avoit dans une des quantités précedentes des toises & des pouces, fans pieds; on rempliroit par autant de zeros les places vuides que laifferoit ce défaut d'efpeces quelconques.

Comme ces chofes font très faciles & que l'exemple précedent a été affez détaillé pour en appliquer les principes à tout autre exemple, nous nous difpenferons d'expliquer davantage les exemples fuivans.

On voit affez dans ces exemples qu'on retiendra autant d'onces qu'on aura trouvé de fois 8 gros, autant de livres qu'on trouvera de fois 16 onces. Que pour 60 minutes on retiendra une heure, pour 24 heures un jour, pour trente jours un mois, & pour 12 mois un an,