De même on retiendra autant de fols qu'on aura trouvé de douzaines de deniers, & autant de livres qu'on aura trouvé de fois 20 fols. Cette regle eft fuffifamment démontrée (18 & 121). DE LA SOUSTRACTION. 140 Pour fouftraire l'une de l'autre deux grandeurs mixtes composées d'entiers & de fractions vulgaires, on écrira ces quantités l'une fous l'autre en forte que celles de chaque efpece fe répondent, enfuite on fouftraira la plus basse espece du soustracteur sur la plus basse espece du fouftréande & il peut arriver trois cas. 1o. Ou le chiffre inférieur fera plus petit que le fuperieur correfpondant, & alors on le retranchera fur ce chifre plus grand, & on écrira le reste au deffous. 2o. Ou ces deux chifres feront égaux, & dans ce cas en retranchant l'un de l'autre il ne restera rien. 3°. Ou enfin le chifre inférieur fera plus grand que le fuperieur correspondant, alors on ajoutera à ce chifre fupérieur une unité de l'efpece immédiatement suivante à gauche, & de cette fomme on retranchera le chifre inférieur, retenant enfuite une unité pour ajouter au chifre inférieur de l'efpece suivante. On continuera l'opération comme à l'ordinaire (20). On voit dans cet exemple que retranchant 7 lignes de 9 lignes il refte 2 lignes; retranchant 6 pouces de 6 pouces il ne refte rien : enfin pour retrancher 5 pieds de 3 pieds, j'ajoute aux trois pieds une toife qui fait 6 pieds, la fomme eft 9 pieds j'en retranche 5, & il en refte 4. Mais pour ne rien changer à la valeur de la différence, j'augmente d'une unité le chifre inférieur fuivant 8, & je fouftrais 8+ 1, ou 9 de 7 ou plûtôt de 17 comme dans la fouftraction ordinaire (20). Cet exemple aïant été affez détaillé, on fe difpenfera de faire des remarques femblables fur les exemples fuivans, parce qu'il eft facile d'y appliquer les remarques précédentes. Avant de paffer à la multiplication & à la divifion, il eft néceffaire de remarquer qu'on a fouvent befoin dans ces deux opérations de réduire des quantités d'une certaine efpece à une autre espece du même genre; par exemple, des toises en pieds, des pieds en toifes ou en pouces, &c. & d'évaluer les fractions que donne le calcul au-dessous des plus baffes efpeces propofées. 141 On réduira les grandes efpeces aux petites en multipliant leur nombre par celui qui exprime comment l'efpece qu'on veut réduire contient celle à laquelle on veut la réduire. Ainfi on réduira les toifes en pieds en les multipliant par 6, on réduira les pieds en pouces en les multipliant par 12: on pourra s'il en est besoin réduire les toifes en pouces par une feuie opération, en les multipliant par 72=6 x 12. On fçaura combien un certain nombre de livres contient d'onces en le multipliant par 16, ou combien un nombre d'onces vaut de gros en le multipliant par 8. On trouvera combien plufieurs mois contiennent de jours en multipliant leur nombre par 30 (fauf à ajouter 5 jours pour chaque année où chaque fois douze mois), en multipliant par 24 un certain nombre de jours on connoîtra le nombre d'heures qui y eft contenu. On trouvera de même les minutes en multipliant le nombre des heures par 60. On réduira des livres en fols en multipliant le nombre de livres à réduire par 20, & les fols feront réduits en deniers fi on multiplie leur nombre par 12. 142 Par des opérations contraires on réduira les petites efpecer aux grandes en divifant le nombre de ces petites efpeces à réduire par le nombre qui marque comment cette efpece inférieure à réduire eft contenue dans l'efpece de même genre à laquelle on veut la réduire. C'est-à-dire qu'en divifant par 12 on réduira les lignes en pouces & les pouces en pieds, & qu'en divifant par 6, on trouvera combien un certain nombre de pieds contient de toises. On réduira de même les gros en onces & les onces en livres, en divifant le nombre des gros par 8 & celui des onces par 16. Si l'on divife un nombre de minutes par 60, on trouvera le nombre d'heures qui y eft contenu, on trouvera de même le nombre de jours de mois & d'années contenu dans un certain nombre d'heures de jours ou de mois en divifant ce nombre par 24, par 30, ou par 12. Enfin on aura le nombre de fols contenu dans un nombre de deniers, en divifant le nombre de deniers proposé par 12, & le nombre de livres contenu dans un nombre de fols en divifant par 20 le nombre de fols proposé. 143 L'évaluation des fractions n'eft autre chofe qu'une réduction de fractions génériques en fractions vulgaires: cette réduction a lieu lorfque dans un calcul on trouve des fractions différentes de celles auxquelles l'usage a donné des noms particuliers ; par exemple fi l'on a les d'une toife, les d'un pied, les d'une année, les d'un mois, les d'un jour, d'une heure, les d'une livre pefant, les d'une livre de monnoïe, &c. on multipliera le numérateur de cette fraction par 24 le nombre qui marque comment l'efpece à laquelle on veut la réduire eft contenue dans l'efpece fupérieure dont la fraction proposée fait partie, & divifant ce produit par le numérateur de cette même fraction, le quotient fera le numérateur de la fraction vulgaire qui en résultera, c'est-à-dire le nombre demandé d'unités fractionnaires inférieures. Par exemple les d'une toife feront 4 pieds, car 2×6=12, & 264 4. Les d'un pied font 9 pouces, car 3×12=36, & 1⁄2=9. On aura de même pour les d'un jour, 1 1 × 24-264, 1022 ou 22 heures; on trouvera auffi que les d'une livre valent 14 onces, que les d'une livre de monnoïe valent 12 fols, &c. Mais cette réduction ne pourra fe faire qu'autant que le dénominateur de la fraction fera aliquote du dénominateur vulgaire auquel on veut réduire. Dans tout autre cas, il faudra fe contenter d'un à peu près. Par exemple fi l'on demandoit les d'une livre, comme 13 ne pourra divifer ni 20 nombre de fols contenus dans livre, ni 240 nombre de den., on aura pour la valeur des de la livre, & l'on pourra négliger la fraction de deniers. I 13 144 Pour connoître d'un coup d'oeil quand cette réduction fera exacte, & quand elle ne pourra pas l'être, on va donner trois tables des parties de la toife de la livre de pefanteur & de la livre de monnoïe ou toutes les fractions vulgaires qui en dépendent répondront à des fractions génériques réduites à leurs plus fimples termes : comme ces trois efpeces de quantités font celles dont le calcul eft le plus ordinaire, ces trois tables doivent fuffire pour les opérations les plus fréquentes. Dans toutes ces tables les fractions aliquotes de leur tout font celles qui ont l'unité pour numérateur. Toutes les autres font des fractions aliquantes, c'eft-à-dire contiennent chacune plufieurs aliquotes de l'entier dont elles font parties. |