1o. 27# 12ß 8å = 6632&, ou 6611#, 45lb 103 73 = 58473, 240 21680 X 12 = 260160, 730730 =8d+ sß 14400 Enforte que le produit eft 1262# 5 8122. DE LA DIVISION. ou 1 Dans toute divifion fi le dividende eft un nombre concret, le diviseur eft un nombre abftrait, & le quotient eft toujours de la nature du dividende. Lorsqu'il s'agira d'étendue le dividende & le diviseur peuvent être tous deux concrets, & le quotient fera encore concret: par exemple, fi l'on divife la valeur d'un solide par sa surface, le quotient en exprimera l'épaiffeur, ou fi l'on divife par une de fes dimensions, la furface fera le quotient. Si l'on divife une furface par fa longueur ou fa largeur, le quotient fera la largeur ou la longueur de la même partie d'étendue. Dans toute autre forte de grandeur, le diviseur eft toujours un nombre abftrait. 148 Pour divifer un dividende compofé d'entiers & de fractions vulgaires par un diviseur entier, on pourra faire la divifion comme il fuit. Par exemple, on demande le prix de la toise d'ouvrage dont 57 toifes ont couté 466# L3 4a, le dividende étant du genre de la monnoïe, & le divifeur entier 57 abftrait, le quotient fera du même genre que le multiplicande. 1°. On divifera 466 par 57, & l'on aura 8+. 2°. On multipliera le refte 10 par 20, nombre de fols contenus dans la livre, & au produit 200, on ajoutera le nombre 13 qui eft celui des fols de la queftion, & divisant la fomme 213 par 57, on aura de la livre, ou 3+. 3°. Enfin multipliant le refte 42 par 12 nombre des deniers contenus dans Tome I. 20 * V 42 un fol, & au produit 504 ajoutant les 4 deniers reftans, on divifera la fomme 508 par 57, & on aura au quotient 8&+—. Enforte que le prix de la toise sera 8# 3 88+ de denier. EXEMPLE II. On demande combien coute la livre d'une matiere dont 48 livres ont couté 1258# 15 8&, on aura en opérant comme ci-dessus, 115 8=26+, 10x20+15=215, 156=4+, 23×12+8=284, 48 2848 48 44 48 23 & 124&=5&+ ou; & par conféquent le prix d'une livre ou le B & quotient demandé sera 26# 41 5 + de denier. Si 24 années ont rapporté 1856# 16 84, on demande quel eft le revenu d'une année. On trouvera 77# 7 4 pour le montant de chaque année. Mais fi le divifeur eft une quantité mixte, foit que le dividende foit auffi un mixte ou qu'il foit un entier, on ne pourra faire la divifion que par réduction: pour cela 149 1°. On réduira chacune des deux quantités à la plus petite efpece qu'elle ait dans la question: ce qui revient à la réduction des mixtes en fractions. 2o. On multipliera le dividende ainfi réduit par le nombre qui marque combien de fois la plus haute efpece du divifeur contient la plus petite qu'elle ait dans la queftion: c'est-à-dire, qu'on multipliera le numérateur de la fraction dividende par le dénominateur de la fraction diviseur. 3°. On multipliera le divifeur réduit par le nombre qui marque comment la plus haute efpece du dividende contient la plus petite propo-, fée: par cette opération on multipliera le numérateur de la fraction divifeur par le dénominateur de la fraction dividende. 4°. On divifera le premier produit par le fecond, ce qui réduira la fraction en entiers. 5o. Enfin on évaluera les fractions, & on réduira aux plus fimples termes celles qui feront au-dessous de la plus basse espece du quotient. Par exemple, fuppofant que 5 toifes 4 pieds 7 pouces aïent couté 127# 15 8a, on demande le prix de la toise, on aura 1o. Le dividende 127# 15 8a, réduit en deniers = 30668, ου 166*#; & le diviseur 5++= toiles ou 415 pouces. 240 415 72 =4h+ 296 B 469449 296 On trouvera donc 22# 34+. 415 71040 99600 EXEMPLE II. Si 54tb 113 63, ont couté 486# 17 68, combien coute chaque livre? Opérant comme ci-dessus, on aura 7006 1o.486#17ß 6&=116850a, ou 16250 #, & 54+=+=== 240 122 1521120 14390409 ou On pourra pour s'exercer fe proposer à foi-même des exemples d'opérations semblables, & l'on trouvera quelques abréviations fort fimples, & en même tems très-commodes. On voit que les démonstrations qu'on pourroit donner de ces différentes opérations, feroient les mêmes que celles que nous avons vues ci-deffus dans le calcul des fractions génériques. Nous expliquerons à la fin de l'article fuivant, une méthode beaucoup plus courte & auffi fure pour multiplier & divifer ces fortes de quantités. III. DES FRACTIONS DECIMALES. 150 Nous avons vu (29), qu'on appelloit nombre décimal tout nombre composé de l'unité fuivie d'un ou de plusieurs zéros, comme 10, 100, 1000, 10000, &c. nous avons auffi vu qu'une fraction tiroit fon nom de fon dénominateur (85), ainsi une fraction qui aura pour dénominateur un nombre décimal, s'appellera une fraction dé eimale. On a donné aux différentes fractions décimales, différens noms qui dépendent du nombre de zéros mis ou fuppofés à leurs dénominateurs, on s'eft auffi fervi de différentes expreffions pour les représenter; mais la maniere la plus fuivie & la plus fimple, & par conféquent la meilleure, eft de les écrire à la fuite de leurs entiers dont on les fépare par un point fans aucune autre différence entre ces nombres & les entiers qui les précédent. 6=4+ Ainfi 4.6 = 4+, 4.63=4+/4.637=4+% Enforte que le point qui fépare ces fractions des entiers représentant l'unité qui est ou eft fuppofée être le premier chiffre du dénominateur, on la fuppofe fuivie d'autant de zéros que le point est suivi de chiffres. Il est clair que cette hipothèse ne change en rien la nature du calcul, puifque l'unité divifeur ne fait aucun changement fur le dividende, & que d'ailleurs, cette convention n'est qu'une fuite de la numération; car par cette méthode chaque chiffre est toujours décuple du même chiffre placé à fa droite, & n'eft au contraire que la dixième partie du chiffre femblable placé à fa gauche. Ainfi le premier chiffre à la droite après le point représente deş dixièmes, le fuivant exprime des centiémes, le troifiéme vaut des milliémes, &c. 151 L'utilité de ce calcul, confifte en ce que fans changer en rien l'ordre arithmétique, on réduit les fractions au calcul des entiers. Il feroit à defirer pour la commodité du commerce qu'on voulut admettre cette divifion décimale: par exemple, une mesure fixée comme la toise pourroit se diviser en dix parties qu'on appelleroit pieds, le pied en dix parties qu'on nommeroit pouces, & le pouce en dix parties qu'on pourroit nommer lignes, la ligne en dix points, &c. enforte que dans cette nouvelle hipothèse, la toife vaudroit 10000 points, ou 1000 lignes, ou 100 pouces ou 10 pieds. Le millier fe divife naturellement en dix quintaux, le quintal pourroit fe diviser en dix parties auxquelles on donneroit un nom particulier, chacune de ces parties en dix autres qu'on appelleroit livres, chaque livre en dix onces, l'once en dix gros, le gros en dix dragmes, & la dragme en dix grains: par cette division la livre contiendroit 10000 grains, ou 1000 dragmes, ou 100 gros, ou 10 onces. Dans la monnoïe, la piftole eft déja divifée en dix livres, & fi l'on prenoit la piftole pour terme moïen de comparaison ou pour unité principale dans ce genre, la livre pourroit être divisée en dix parties qu'on appelleroit fols, le fol en dix deniers, le denier en dix parties qu'on pourroit appeller pites ou oboles, &c. par ce moïen la pistole contiendroit 10 livres, ou 100 fols, ou 1000 deniers, ou 10000 oboles. On pourroit de même introduire cette divifion dans toutes les autres mesures ufitées dans le commerce, & fi cette divifion étoit admife, il ne feroit plus question de fractions, puifqu'elles feroient réduites au calcul des entiers. Dans le calcul de la durée feulement ce changement ne feroit pas avantageux, parce que la divifion de cette efpece de grandeur étant fondée fur l'ordre naturel des tems, on ne pourroit varier cette divifion fans mettre de la confufion dans ce calcul. Pour réduire en fraction décimale une fraction quelconque, il faut distinguer si la fraction à réduire eft générique ou vulgaire. 1 152 Si l'on veut réduire une fraction générique en décimale, il faut multiplier le numérateur de la fraction générique par le dénominateur de la décimale à laquelle on veut la réduire, & divifant le produit par le dénominateur de la générique, faire du quotient le numérateur de la décimale. |