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On fe fert en Arithmétique de dix caractères qu'on appelle chifres. Ces caractères font:

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Les neuf premiers font appellés Chifres réels, le dixiéme fera nommé Chifre nul.

Chaque chifre réel a deux valeurs, qu'on appelle fixe & locale. 12 On appelle valeur fixe celle que le chifre réel tire de fa figure. Cette valeur eft invariable, parce que chaque chifre réel conserve toujours & par tout la même valeur fixe.

13 On appelle valeur locale celle que le chifre réel tire de la place ou du rang où il fe trouve. Cette valeur change autant de fois que le chifre réel change de place, c'est-à-dire qu'il est suivi d'un plus grand ou d'un plus petit nombre de chifres.

Le chifre nul qu'on appelle ordinairement zero, n'a nulle valeur, mais il a deux usages qui facilitent beaucoup la numération. Le premier eft d'exprimer le néant ou le rien.

Le second est d'avancer les chifres réels, & les placer dans leur valeur locale, fans ajouter à la quantité qu'ils doivent représenter. 14 Tout chifre réel vaut à la première place à droite le nombre d'unités exprimé par sa figure ; à la feconde place il vaut dix fois autant, c'est-à-dire, qu'il vaut autant de dizaines que fa figure exprime d'unités ; à la troifiéme place il vaut cent fois autant, c'est-à-dire, qu'il exprime autant de centaines qu'il vaudroit d'unités à la première place, ou de dizaines à la feconde ; & croiffant toujours ainsi en progreffion décuple à mesure qu'il s'éloigne du premier à droite, il vaut par tout dix fois autant qu'il vandroit au rang qui le précède à droite, & n'est que la diziéme partie de ce qu'il seroit au rang qui le fuit à gauche.

Lorsqu'une quantité numérique a plus de trois chifres, pour la nombrer plus aisément, on la fépare par de petites virgules de trois en trois caractères en commençant par la droite.

On appelle Ternaire chaque tranche de chifres ainfi féparés. Par conféquent chaque ternaire eft compofé d'unités, de dizaines & de centaines, & on donne à chacun de ces ternaires le nom de la plus petite efpèce qui y eft contenue: ainfi le premier ternaire à droite s'appelle le ternaire des unités; le fecond, des milles; le troifiéme, des millions; le quatrième, des billions ; 'le cinquième, des trillions, &c. Par exemple, dans le nombre 459, 687, le ternaire 687 eft nommé le ternaire des unités, & le ternaire 459 eft appellé le ternaire des milles.

Si l'on avoit un nombre fort grand, par exemple, le nombre 456,798, 543, 241, 892, on remarquera que ce nombre eft compofé de cinq ternaires, dont le premier à droite fera le ternaire des unités; le fecond, celui des milles; le troifiéme, celui des millions; le quatriéme, celui des billions; & le cinquième celui des trillions de forte que pour nombrer on dira; unités, dizaines, centaines; milles. dizaines de mille,centaines de mille; millions, dizaines de millions, centaines de millions; billions, dizaines de billions, centaines de billions; trillions, dizaines de trillions, centaines de trillions: enfuite dequoi on nommera ce nombre comme il doit l'être, en lifant quatre-cent-cinquante-fix trillions, fept-cent-quatre-vingt-dix-huit billions, cinq-cent-quarantetrois millions, deux-cent-quarante-&-un-mil-huit-cent-quatre-vingtdouze, comme on le peut voir dans l'échelle de numération qui fuit. Ternaires des

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S'il fe trouvoit un plus grand nombre de chifres, (ce qui arrive

rarement) on continueroit à féparer de trois en trois chifres, &

nommant

nommant chacun des chifres de chaque ternaire du nom qui fui conviendroit felon fon rang on appelleroit les ternaires qui fuivroient celui des trillions, ternaires des quatrillions, des quintillions, des fextillions, des feptillions, des octillions, des novillions, des décillions, &c.

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une valeur locale en quoi confifte tout l'artifice de la numération. 1o. Selon ce que nous avons vû ( 11 ) les caractères o, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, expriment le néant & les nombres entiers d'un feul chifre.

2o. Si à chacun des chifres réels 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, pris l'un après l'autre, on joint de fuite le chifre nul & les chifres réels qui expriment les neuf premiers nombres entiers, on aura une fuite de nombres depuis 10 jufqu'à 99, qui comprendra tous les nombres entiers qui peuvent être représentés par deux chifres.

3°. En continuant d'ajouter la première fuite 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, à la fuite qu'on aura trouvée la dernière, on aura tous les nombres de 3 chifres, tous les nombres de 4, de 5, de 6, &c. chifres.

4°. Dans chacune de ces fuites le premier nombre fera un nombre décimal, c'est-à-dire, un nombre qui n'aura que le feul chifre réel 1 qui exprime l'unité, fuivi d'un ou de plufieurs chifres nuls ou de zeros. Ce feul chifre réel 1 fera fuivi d'autant de zeros qu'il y a de caractères à chacun des nombres de la fuite précédente ; & le dernier fera toujours compofé d'autant de 9 qu'il y a de caracteres à chacun des nombres de la fuite dont il s'agit. Dans la troifiéme fuite le premier nombre eft 100, & le dernier 999, la quatrième commence par 1000, & finit par 9999, la cinquiéme va de 10000, à 99999, &c.

5. Chacune de ces fuites contient dix fois autant de nombres que la précédente. Par exemple, la première fuite contient 9 nombres; la feconde en contient 90; la troifiéme 900; la quatriéme 9000; la cinquiéme90000; la fixiéme 900000; la feptiéme 9000000, &c.

6o. Chaque chifre feul ne repréfentant que des unités, la valeur fixe de ces caractères eft donc la feule qu'on puiffe confidérer dans la première fuite.

7°. Dans la feconde, la valeur locale tient lieu d'autant de fois 9 que le premier chifre à gauche exprime de dizaines enforte que fi fon ne confideroit que les valeurs fixes des caractères qui expriment nombre quelconque de la feconde fuite, il faudroit, pour avoir Tome L

C

le véritable montant, ajouter à ces valeurs fixes autant de fois 9 que la figure du premier chifre à gauche lui attribue d'unités. Par exemple, les deux chiffres 2 & 5 qui compofent le nombre 25, n'ont que 7 pour valeur fixe; mais le premier chifre 2 fait voir qu'on a fupprimé 2 fois 9. Dans le nombre 42 on aura de même 4 fois 9, plus 4, plus 2, &c.

8°. Dans la troifiéme fuite, outre qu'on a, comme dans la feconde, fupprimé autant de fois que le fecond chifre exprime de dizaines, on a encore fupprimé autant de fois 99 que le premier chifre à gauche vaut de centaines. Ainfi dans le nombre 247 la valeur locale fait valoir au premier chifre 2, le nombre 2 plus deux fois 99, le chifre 4 vaut auffi 4, plus quatre fois 9,

15 9°. C'est-à-dire enfin, que pour placer chaque chifre dans fa valeur locale, on a fupprimé un nombre exprimé par autant de 9 que ce chifre a de caractères après lui, & pris autant de fois que fa figure exprime d'unités.

Par exemple, dans le nombre

Le chifre 1 tient la place de 1, plus une fois
Le chifre 2 représente 2, plus deux fois
Le chifre 3 exprime 3, plus trois fois
Le chifre 4 vaut 4, plus quatre fois
Le chifre 5 défigne 5, plus cinq fois
Le chifre 6 tient lieu de 6, plus fix fois
Le chifre 7 a la valeur de 7, plus fept fois
Enfin, le chifre 8 vaut 8, plus huit fois

1 2 3 4 5 6 7 8 9

99999999 9999999

999999

99999 9999

999

99

9

10°. Donc dans tous les chifres qui précedent le dernier d'un nombre quelconque, la numération fupprime le nombre 9 autant de fois qu'il eft poffible.

16 11°. Par conféquent lorfque les valeurs de tous les chifres qui fervent à exprimer un nombre quelconque, feront égales à une ou plufieurs fois 9, le nombre lui-même fera multiple de 9. Par exemple, les nombres 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81, 90, 99 multiples de 9 dans la feconde fuite font exprimés par des caractères dont les valeurs fixes font égales à une fois 9, ou à deux fois 9. Il en fera de même des plus grands nombres qui feront multiples de 9.

12o. On remarquera encore avant de terminer cet arricle, que pour écrire un nombre en chifres, on eft fuppofé commencer par les plus baffes espèces, c'est-à-dire, par les unités, ou le chifre le plus à la droite de celui qui le forme : & qu'au contraire quand il s'agit de le lire, on commence toujours par les plus hautes efpè

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ces, ou par le chifre le plus à la gauche du Lecteur.

Ces fuites que l'ordre de la numération nous a fait découvrir, ne font pas les feules qu'on puiffe confidérer fur les nombres. On pourroit examiner la fuite infinie des nombres impairs 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, &c. qui comprend la moitié de tous les nombres entiers poffibles, la fuite pareillement in finie des nombres pairs 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, &c. qui comprend l'autre moitié des mêmes nombres, la fuite des nombres décimaux 10, 100, 1000, 10000, 100000, 1000000, &c. & une infinité d'autres fuites dont la plûpart font purement curieufes. Nous traiterons de celles qui font utiles à mesure que nous aurons occafion d'en parler.

DES OPÉRATIONS DU PREMIER DÉGRÉ SUR LES NOMBRES ENtiers.

Lible de plus ou de moans (2), il eft évident qu'on ne peut faire

A grandeur ou la quantité étant précisément ce qui eft suscep

fur elle que deux efpèces d'opérations; fçavoir des opérations par lesquelles on lui ajoute, & des opérations par lefquelles on en re tranche quelque chofe.

Si l'on avoit pour objet les quantités en général, on pourroit 'dire que chacune de ces deux fortes d'opérations peut fe faire de fix manières differentes; mais comme nous ne parlons ici que des nombres & en particulier des nombres entiers, il eft certain que de ces fix manières d'opérer il y en a trois qui ajoutent aux quantités exprimées par ces nombres, & que les trois autres en retranchent.

Ces fix manières d'opérer font, 1°. L'addition. 2°. La foustraction. 3°. La multiplication. 4°. La divifion. 5°. L'exaltation ou formation des puiflances. 6°. L'extraction des racines. On les nomme en général opérations.

Il y en a trois qu'on appelle opérations directes, qui font l'addition, la multiplication, & l'exaltation : les trois autres, c'est-à-dire, la soustraction, la division & l'extraction, fe nomment opérations indirectes.

Les opérations directes ajoutent aux quantités fur lefquelles on opére, tant qu'il ne s'agit que des nombres entiers ; & les opérations indirectes en retranchent toujours dans le même cas des nombres entiers.

Lorsque l'on opère au moins fur deux quantités pour en découvrir une troifiéme, l'opération eft du premier degré ; mais elle est au moins du fecond degré & peut appartenir à quelque dégré plus élevé ́quand on n'a qu'une quantité fur laquelle on puiffe opérer pour trou ver une autre quantité que l'on cherche.

Les opérations du premier dégré font l'addition, la fouftraction,

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