divifion particuliére, on aura un nouveau dividende particulier, & par conféquent un nouveau chiffre au quotient.

On peut pouffer cette approximation auffi loin qu'on le veut,

1000

10000

mais comme l'erreur de ou de eft fort peu de chose, & que l'on peut négliger une femblable erreur, on fe contente ordinairement des deux ou trois premiers chiffres décimaux, en ajoutant une unité au dernier de ces chiffres lorfque le dernier refte eft plus grand que la moitié du diviseur, ce qui rend l'erreur encore plus petite de moitié.

162 Souvent il eft impoffible de trouver un quotient exact, quelque loin qu'on pouffe la division, par exemple, fi l'on vouloit divifer 40 par 7, quelque nombre de zeros qu'on ajoutât après le dividende 40, on ne parviendroit jamais à un quotient fans refte; fi l'on y ajoutoit fix zeros on auroit pour quotient 5.71428, fi l'on en ajoutoit douze, on auroit 5.71428571428, enforte qu'on verroit toujours revenir au quotient les mêmes chiffres 571428 & dans le même ordre ; c'est à cette répétition des mêmes chiffres qu'on reconnoît principalement que la premiere fraction ou le premier refte ne pourra jamais être exactement réduit en fractions décimales.

Les démonstrations de ce calcul feront les mêmes que celles des fractions génériques (de 120 à 136).

REMARQUE.

Nous avons vû (147. 149.), qu'il étoit embarrassant de multiplier & de divifer des quantités compofés d'entiers & de fractions vulgaires par d'autres quantités qui contiennent pareillement des fractions vulgaires. La méthode de réduction qu'on emploïe alors jette dans un calcul affez long qu'il eft naturel d'éviter autant qu'il eft poffible.

Il fera bien plus commode d'appliquer à cet usage les fractions décimales qui réduiront ces opérations au calcul des entiers. Nous allons exposer la maniere de faire ces opérations.

163 Pour multiplier l'une par l'autre deux quantités compofées d'entiers & de fractions vulgaires, ou dont l'une feulement contient des entiers ou dont toutes deux font fractionnaires. S'il y a des entiers on les laiffera fubfifter tels qu'ils font, on prendra dans les tables des parties décimales, les nombres qui répondent aux fractions, & on opérera fur ces quantités réunies, comme on a vû cidevant (159).

Par exemple, on demande combien doivent couter 453T 5P 7P d'un certain ouvrage à 62# 14 8& la toife.

Cherchant dans la table des parties décimales de la toife, on trouvera que 5 pieds 7 pouces = 0.931; l'un des produifans fera donc 453.931.

De même on trouvera dans la table des parties décimales de la livre de monnoïe, que 14 8a = 0.733. Ce produisant sera donc 62.733.

avant les fix derniers chiffres, parce que chacun des deux produifans a trois chiffres décimaux, & on aura pour entiers le produit 28476# qui précede le point.

vaut

453423 1000000

A l'égard du nombre 0.453423 qui fuit le point, & qui en divifant par 1000, le numérateur & le dénominateur de cette fraction, on n'en changera pas la valeur ; c'est-àdire, qu'en fupprimant les trois derniers chiffres de part & d'autre,

des parties décimales de la livre de monnoïe, quelle eft la frac tion qui correfpond à 453: on trouvera 9 1 qu'on ajoutera aux entiers, & la fomme 28476 9 1 fera le produit total de

mandé.

C'est-à-dire que l'on fupprimera autant de chiffres décimaux qu'en contenoit le produifant abftrait, & qu'on comparera les premiers qui reftent avec la table des parties décimales concretes de même nature que, le produit,, pour en avoir la valeur. Dans cet exemple le produit devoit donner des livres, fols & deniers. Par conféquent le produifant abftrait étoit le nombre de toifes, de pieds, & de pouces. Or la fraction qui exprimoit le nombre de pieds & de pouces, contenoit les trois chiffres décimaux 931: pour avoir en fractions de la livre de monnoïe la valeur de la fraction o.453423 que donne le produit, on a donc dû fupprimer les trois derniers chif fres 423 qui valent beaucoup moins qu'un denier, & prendre dans la table des parties décimales de la livre de monnoïe, la fraction vulgaire qui répond à 0.453.

De même si l'on veut favoir combien couteroient 215 livres, 7 onces, 6 gros d'une certaine matiere à 102# 12 6 la livre pefant, on laiffera les entiers tels qu'ils font, & prenant dans les tables: des parties décimales les fractions qui répondent à 7 onces 6 gros, & à 12 6, on les ajoutera à leurs entiers, & on multipliera à. l'ordinaire. Après quoi l'on mettra le point qui doit féparer les entiers des fractions avant les fix derniers chiffres du produit, on. cherchera dans la table des parties décimales de la livre de monnoïe la valeur des trois premiers, & on ajoutera cette valeur aux: entiers du produit.

Et le produit

T292904 430968 2154840.

22114.045500 fera 22114 of 11 164 Pour divifer l'une par l'autre deux quantités qui contiennent des fractions vulgaires, on mettra à la fuite de chacune les nom

bres décimaux qui répondent à ces fractions, & s'il y a autant de chiffres décimaux dans chacune; c'est-à-dire, fi de part & d'autre l'entier eft divifé dans un même nombre de parties (comme dans les tables précédentes où l'entier eft divifé en 1000 parties), le quotient ne contiendra que des entiers.

S'il refte quelque chofe de cette divifion, on multipliera ce refte par le nombre qui marque combien de fois une unité des entiers du quotient contient une unité de l'efpece immédiate, on divifera le produit par le même divifeur, & le quotient donnera des unités de cette efpece immédiate.

S'il reste encore quelque chofe, on multipliera ce nouveau reste par le nombre qui marque combien de fois l'unité du fecond quotient contient l'efpece immédiate de même nature, on divifera le produit de cette multiplication par le même diviseur, & on aura pour troifiéme quotient les unités de la troifiéme espece.

C'est-à-dire que fi le quotient doit exprimer des livres, on multipliera le premier refte par 20, pour divifer le produit par le premier diviseur, & le fecond quotient donnera des fóls.' De même le second reste multiplié par 12, & divifé toujours par le premier divifeur donnera des deniers, & la fomme des trois quotiens fera le quotient total demandé.

On aura donc autant de divisions à faire qu'il y aura d'efpeces au quotient.

#

Par exemple, on a païé 1283 8 pour un ouvrage qui contient 56T 3P 5P, on demande à combien revient le prix de chaque

toife. On aura 7 81 =0. • 383, & 3P 5P = 0.569, on divifera donc 1283.383 par 56.569 à l'ordinaire.

Enfin, on multipliera le refte de la feconde divifion; c'est-à

dire,

par

41903

12 nombre des deniers contenus dans un fol, & le produit 502836 fera encore divisé par le divifeur 56569, le quotient fera 8 avec une fraction = qui vaut presque un

50

56

25

entier. On prendra donc 9 pour troifiéme quotient, & la fomme 22 13 9 des trois quotiens fera le prix demandé de chaque toife.