CHAPITRE V. De l'Exaltation & de l'Extraction. LORSQU'EN ORSQU'EN multipliant deux grandeurs algébriques l'une par l'autre, on a la même lettre pour multiplicande & pour multiplicateur, cette lettre doit avoir dans le produit un expofant égal à la fomme des expofans qu'elle a dans les deux produifans. 165 1°. Le produit qui résulte d'une telle multiplication fe nomme puissance de la quantité soumise à l'exposant. Ainsi a, a', a', aˆ............ a' font des puiffances de la quantité exprimée par a. 2o. Nous avons nommé le multiplicande & le multiplicateur, les deux produifans, ou les racines du produit (23); mais lorsque ces deux produifans font les mêmes, on n'a qu'un produifant unique, & on l'appelle racine de la puiffance. a2=a×a, aˆ=a'× a', &c. Donc a eft la racine commune de toutes fes puiffances a, a', a', a", a'. a'.... a”. 166 1°. L'exaltation est une opération par laquelle on éleve une quantité donnée à une puissance propofée. 2°. L'extraction (au contraire) eft une opération par laquelle on trouve la racine demandée d'une quantité donnée. 3°. Le degré de la puiffance d'une grandeur algébrique est toujours indiqué par l'expofant dont elle eft affectée. Donc a', a', a', a', a", a'.... a", font les puiffances des degrés 0, 1, 2, 3, 4, S , 3, 4, 5 .... n, de la quantité a. fer, par exemple, a" par a", on doit fouftraire l'expofant n du diví feur fur l'expofant n du dividende (74); Donc a""a", Mais a" égaux, font égales à l'unité (86 & 102). Donc 1. Donc auffi a1 a° 1. C'eft-à-dire, que toute quantité qui a zero pour expofant eft égale à l'unité. 4°. a°1 fera donc la puiffance nulle, ou la puissance du degré zero de la quantité quelconque a. 441 a°xa=a° xa' (58) =a (70) = 1×a = a, fera la premiere puiffance de a. a°×a×a = a°+1+1, (70) = 1 × a × a=a', fera la feconde puiffance de a. L'expofant mis fur une quantité n'exprime donc pas (comme l'ont dit plufieurs Auteurs) que cette quantité eft multipliée par elle-même autant de fois fucceffivement que l'expofant contient de fois l'unité. Cette multiplication donneroit toujours une puissance qui excéderoit d'un degré celle marquée par l'expofant. Par exemple, fi pour avoir la feconde puiffance de a, je multiplie a deux fois par lui-même, j'aurai a xaxa = a' qui en eft la troifiéme puiffance ou le cube. Donc il y a excès d'un degré. Il feroit plus exact de dire avec le plus grand nombre que l'expofant fait voir que la quantité qui lui eft foumise eft multipliée par elle-même autant de fois moins une que l'expofant contient d'unités. Mais on ne voit pas clairement qu'un expofant impair ferve à exprimer un nombre pair de multiplications, & que l'expofant pair en exprime un nombre impair. Car felon ce principe on fuppoferoit a multiplié deux fois par lui-même pour donner le cube a', & pour avoir la quatriéme puiffance de a, il faudroit multiplier a trois fois par lui-même. D'ailleurs on feroit embaraffé d'appliquer cette définition de l'expofant, aux expofans fractionnaires dont nous aurons occafion de parler dans la fuite. 167 Nous dirons donc comme ci-devant (50) que l'expofant marque qu'on a multiplié l'unité par la quantité qu'il affecte, autant de fois fucceffivement que cet expofant lui-même contient d'unités. Et comme ce que nous avons dit jufqu'à préfent des quantités algébriques peut également s'appliquer aux nombres; dans ce que nous allons expofer, nous embrafferons ces deux fortes de gran 10. Lorsque l'unité eft multipliée une ou plufieurs fois fucceffivement par une quantité quelconque, le produit qui en résulte s'appelle puiffance, & la quantité qui a ainsi multiplié l'unité, se nomme racine de cette puissance. On remarquera que par ce mot fucceffivement, nous entendons que le produit de la premiere multiplication foit le multiplicande de la feconde, que le produit de la feconde foit le multiplicande de la troifiéme, & ainfi dé fuite, le multiplicateur étant toujours la quantité dont on veut avoir la puissance. 2o. On diftingue les puiffances différentes d'une même grandeur, en les défignant par le nombre de fois qu'on a fucceffivement multiplié l'unité par cette grandeur pour en composer les puiffances. Et, comme 1xa= a; 1×5=5; 1× = ; 1×; il fuit b IX = que toute quantité eft à elle-même fa premiere puissance. Car le produit de l'unité par une quantité quelconque n'eft autre chofe quantité même (101). que cette: Si la grandeur dont il s'agit a multiplié deux fois fucceffivement F'unité, le produit qui en réfulte eft appellé feconde puissance ou carré de cette grandeur. font les fecondes parce que i xa xa = a* THE 25.1 carrés de Si l'on a multiplié trois fois fucceffivement l'unité par une même grandeur, le produit résultant eft appellé troisiéme puissance ou cube-de cette grandeur. Il fuit delà qu'en multipliant une puissance quelconque d'une quantité par la racine de cette puiffance ou par cette quantité même, on aura la puissance immédiatement suivante de la même quantité. 30. Réciproquement lorfqu'une grandeur quelconque eft confidérée comme une puissance, celle dont elle eft puiffance en est nommée la racine. On l'appelle racine feconde ou racine carrée fi la grandeur proposée en eft le carré; racine troifiéme ou racine cubique fi cette grandeur eft fon cube; racine quatrième, cinquième, &c. fi la quantité dont elle eft racine en eft la puiffance quatrième, cinquième, &c. 4. Pour indiquer une puiffance d'une quantité quelconque, nous mettrons au-deffus de cette quantité le figne P- que nous appellerons figne potentiel, & on écrira au-deffus de ce figne le caractere qui défigne le degré de la puissance à laquelle on veut élever cette quantité, & qu'on nomme l'expofant de la puiffance. Ainfi P2=a'; P—=a'; P2=a'; P1⁄2 = a"; &c. a a 5o. Pour exprimer la racine d'une quantité quelconque, on écrit cette quantité sous le figne qu'on appelle figne radical, & au-deffus de ce figne on met le caractere qui exprime le degré de la racine qu'on veut avoir, & qu'on nomme l'expofant de la racine. Ainfi a = Vå = √à = √ aˆ = √ a2 = √a", &c. 5= √25 = √125 = √625 = √3125 = √15625, &c. } = V; = V ;; = √ V = V, &c. Il est d'usage de ne point écrire l'expofant 2 au-deffus du figne radical, on fe contente de le fuppofer. Nous le fupprimerons également au-dessus du figne potentiel. Ainfi quand un de ces fignes n'aura point d'expofant, il fera cenfé avoir pour exposant le nombre 2: mais nous ne nous difpenferons jamais d'écrire tout autre expofant. Tome I. Z |