1o. Si la racine monome eft pofitive & précédée du figne+, toutes fes puiffances feront pofitives; car du pofitif multiplié par du positif ne peut produire que du positif (71).

=

fa

2o. Si cette racine monome eft affectée du figne négatif - toutes fes puiffances impaires feront négatives, & fes puiffances paires feront pofitives: car 1°. la racine-a multipliée par l'unité+1=➡a, premiere puiffance; cette racine ou premiere puiffance — a × — a fa racine, fera a3, (69 &71); ainsi sa seconde puissance ou fon carré aura le figne+; ce carré + ax—a la racine, donnera un cube négatif — a', qui multiplié par fa racine -a, rendra une quatrième puiffance pofitive +a. Et par les mêmes raifons les puiffances fupérieures de la même quantité-a, feront alternativement négatives & pofitives, enforte que ces puiffances feront

—a3, +ao, —a”, +a', —a3, +u", —a*', +a", &c.

3°. Par conféquent les racines de degrés impairs doivent toujours avoir le même figne que les puiffances dont elles font extraites, puifque les puiffances impaires font pofitives ou négatives comme leurs racines.

4°. Au contraire comme toutes les puiffances paires font toujours pofitives, de quelque figne que leurs racines foient précédées, on ne fait quand on veut extraire une racine paire d'une telle puiffance, fi cette racine doit être affectée du figne + ou du figne, puifque + a peut être & eft également le carré de +a & de-a; c'eft pourquoi en extraïant une racine paire d'une quantité pofitive, on affecte cette racine du double figne qu'on exprime par plus ou moins ;

ainfi va'a, Va2= ±a2, &c.

5°. Donc on ne peut pas extraire les racines de degrés pairs des quantités négatives, car toutes les puiffances paires font pofitives; a', par exemple, ne peut pas être un carré, a' est le produit de +axa, ou celui de +a' x - 1. De même -25 ne peut être ni le carré de +5, ni celui de 5; 25 ne peut être que le produit des×+5, ou de + 25 × 1; enforte qu'on ne

peut extraire ces racines. Par conféquent, V.

b'

Ꮴ

I

25

V—a2, V—25, font des quantités impoffibles qu'on appelle imaginaires. De même v—a*b*, V—e*b3, &c. font des racines impoffibles ou imaginaires.

De l'Exaltation des Polinomes.

Soit une quantité quelconque de deux termes représentée par le binome p+s dont p exprime le premier terme ou la premiere partie, & dont s défigne la feconde partie ou le fecond terme.

Si l'on multiplie ce binome p+s par lui-même, on aura pour fon carré, p'+2ps+s'; c'est-à-dire, que

173 Le carré d'un binome quelconque p+s, contient

Le carré de la premiere partie du binome = p2.

Deux fois le produit de la premiere partie par la feconde=2ps.
Le carré de la feconde partie =s2.

Multipliant ce carré p2+2ps+s' par fa raciné p+s, on aura fon cube p'+3p's + 3ps'+p', par lequel on connoîtra que

174 Le cube d'un binome quelconque p+s contient

Le cube de la premiere partie = p2.

Trois fois le carré de la premiere partie multiplié par la feconde = 3p's. Trois fois la premiere partie multipliée par le carré de la feconde=3ps'. Le cube de la feconde parties'.

Non-feulement le binome p+s peut représenter un binome quel'conque 3a2b+2c'd, en fuppofant p=3ab, & s=2c'd, mais ce même binome peut encore représenter tout polinome quelconque dont les termes feront affectés de coëfficiens & d'expofans, tel que le polinome 2a + 3b’+ 4c3+ 5d*, en supposant p=2a, & s=3b2+4c’+5d2, ou p=2a+3b3, & s=4c3+5d*, ou p=2a+3b'+4c', & s=5d"; c'eft pourquoi nous ne parlerons que du binome (169).

Si on continue à multiplier chaque puiffance du binome p+s par fa racine p+s, on aura la puissance suivante que l'on pourra traduire comme les deux précédentes.

Ainfi en multipliant plusieurs fois fucceffivement l'unité ou (p+s)°, par p+s, on aura la table fuivante des puiffances de ce binome.

Table

La 6o.

La 78.

p'+6p's+15p's'+20p's'+15p's*+6ps'+s"

p’+7p°s+21p's’+35p's’+35p's*+21p's'+7ps'+s”

La 8°. p2+8p's+28p°s*+56p's'+70p*s*+56p's'+28p's+8ps'+s®:

Pour exalter un binome à quelle puissance on voudra, fans être obligé de multiplier de la forte jufqu'à ce qu'on ait atteint la puiffance demandée, il faut avoir égard 10. au nombre des termes qui composeront la puissance demandée.

2o. Aux lettres qui entreront dans chaque terme de cette puiffance.

3°. Aux expofans de chacune de ces lettres dans chacun de ces

termes.

4°. Aux fignes dont chacun de ces termes doit être affecté. 5. Enfin aux coefficiens qui leur appartiennent.

175 1°. La racine ou premiere puissance étant un binome est néceffairement compofée de deux termes, & en examinant la table ci-dessus, il est aisé de remarquer que le nombre des termes d'une puiffance quelconque du binome p+s, est égal à l'expofant de la puiffance plus un. Par exemple, la puiffance feconde a trois termes, la puiffance troifiéme en a quatre, la puiffance quatrième en a cinq, & ainfi de fuite, enforte que fi l'on appelle n le nombre des termes d'une puissance quelconque dont le degré foit m, on aura

n = m + 1,

176 II°. On verra de plus dans cette table que le premier terme d'une puiffance quelconque du binome p+s, ne contient que la A a

Tome I

lettre p élevée à la puiffance dont il s'agit, & que pareillement le dernier terme n'eft compofé que de la lettre s élevée à la même puiffance: car le premier terme étant toujours produit par la multiplication du premier terme de la puiffance immédiatement inférieure, par le premier terme p de la racine ne peut pas contenir d's; par la même raison, le dernier terme ne peut pas contenir de p, puisqu'il eft compofé de la multiplication du dernier terme de la puiffance précédente par le dernier terme s de la racine: ainfi ce dernier terme ne contiendra que la lettre s élevée à la puiffance demandée. Par conféquent fi l'on éleve le binome p+s à une puiffance d'un degré n, le premier terme fera p', & le dernier terme fera s". Tous les termes intermédiaires étant compofés de la multiplication de p, s, & de leurs puissances, contiendront des p & des s.

& P

177 III°. On voit encore dans cette table que tous les termes de chaque puissance ont un nombre de dimensions égal à l'exposant de cette puiffance (58); c'est-à-dire, que la fomme des expofans de chaque terme eft égale à l'expofant de la puiffance à laquelle le binome est élevé : en telle forte que l'expofant de la premiere partie ou de p, décroît fucceffivement d'une unité dans chaque terme, que l'expofant de la feconde partie s, croît à mesure celui de p que diminue, enforte que la fomme des dimensions fera la même dans tous les termes. Car chacun des deux termes de la racine qui n'a qu'une dimension, étant multiplié par ces mêmes termes d'une dimenfion, chaque terme du carré aura deux dimensions. Par la même raison, chaque terme du cube en aura trois, & ainfi de fuite: ainfi en élevant le binome p+s à la puiffance d'un degré quelconque n, les termes fans coëfficiens & fans fignes feront p', ps, p"-25", p's', p"-"s", &c. & le dernier fera s".

IVo. A l'égard des fignes dont doivent être affectés les termes des puiffances d'un binome quelconque.

178 1°. Si le binome est +p+s, c'est-à-dire, fi les deux termes de la racine font tous deux pofitifs, tous les termes feront nécessairement positifs dans toutes les puiffances, & feront par conféquent précédés du figne+.

2o. Si l'un des termes eft pofitif & l'autre négatif; par exemple. fi la racine eft+ps, il est évident que les termes qui ne contiendront points ne pourront être négatifs; car du positif multiplié par du pofitif, ne peut produire que du positif (71): ainfi le premier ter

me de chaque puiffance fera pofitif, fi le premier terme de la racine eft pofitif; le fecond terme qui contiendra-s à fa premiere puiffance fera négatif, puifque du pofitif multiplié par du négatif donne au produit du négatif (71). Le troifiéme terme contiendra s', & fera par conféquent pofitif; car il ne peut pas être négatif par rapport à p qui eft pofitif, & il ne peut l'être non plus par rapport à s, lorsque l'expofant de s fera pair (175): & comme l'expofant de s fera. pair dans tous les termes impairs, tous les termes impairs feront pofitifs de même auffi tous les termes pairs feront négatifs; car ces termes contiendront les puissances impaires de ―s, savoir, —s, -s', S -s', &c. (175).

179 Donc lorfque le premier terme eft pofitif & le fecond négatif, toutes les puiffances ont leurs termes alternativement pofitifs & négatifs à compter du premier terme qui eft pofitif.

180 3o. Au contraire fi le premier terme eft négatif, le fecond étant pofitif, tous les termes feront alternativement négatifs & pófitifs dans les puiffances impaires; car dans les puiffances impaires, le premier terme de la racine négative élevé à un expofant impair fera négatif (175), mais dans le second terme, -p sera élevé à un expofant pair, & par conféquent ce terme fera positif (175), au contraire dans les puiffances paires, le premier terme fera positif, parce que p aura un expofant pair, & le fecond fera négatif, puifque la même lettre p fera élevée à une puiffance impaire: & comme en continuant l'examen, le même ordre fubfiftera par les mêmes raifons; on en peut conclure qu'en élevant le binome-p+s à telles puiffances qu'on voudra, tous les termes feront alternativement négatifs & pofitifs, à compter du premier qui aura le figne - dans les puiffances impaires, & qu'au contraire dans les puiffances paires, tous les termes feront alternativement pofitifs & négatifs, à compter du premier qui fera pofitif & qui fera précédé du figne+.

181 Donc les puissances paires du binome +p-s feront égales & femblables aux puiffances pareilles du binome-p+s: & par conféquent quand on voudra extraire une racine de degré pair d'un polinome dont les termes à commencer du premier feront alternativement positifs & négatifs, ou alternativement négatifs & positifs, on donnera alternativement à chaque terme de la racine qui en résultera le double figne±ou ; par exemple, fi l'on fe propose d'extraire la racine carrée du polinome p'-2ps+s, on aura √p'—2ps+s2=±PFS;