dans laquelle on prendra les deux fignes fupérieurs ou les deux fignes inférieurs ; car le carré de +p-s, & celui de-p+s font également p'- 2ps+s3. 182 4°. Enfin fi le binome qu'on veut élever à quelque puiffance que ce foit, eft négatif: par exemple, fi c'eft -p-s; dans les puiffances impaires tous les termes feront négatifs, & au contraire les puiffances paires auront tous leurs termes pofitifs; car 1°. le carré aura tous fes termes pofitifs, puifque tous les produifans auront le même figne - (71). 2°. Le cube fera négatif parce qu'il fera le produit d'un carré pofitif, par une racine négative (71), & ainfi de fuite. 183 Donc les puiffances impaires d'un binome tout pofitif+p+s ou tout négatif —p—s, auront les mêmes fignes que leurs racines; & par conféquent les puiffances paires du binome +p+s & du binome-p-s feront exactement les mêmes, par conféquent fi l'on veut extraire une racine paire d'un polinome dont tous les termes foient pofitifs, on donnera à chaque terme de la racine le double figne : ainfi fi l'on demande la racine quatriéme de la quantité p^+4p's+6p's'+4ps'+s*, on aura √p*+4p's+6p's'+4ps'+s*=±p±s. Mais fi l'on demandoit la racine cinquième de —p'—5p's—10p's'—10p's'—5.ps'—s', on auroit pour feule racine le binome negatif —p—5. 184 V. Enfin fi l'on examine les coefficiens des termes de la table des puiffances du binome ±p±s ou feulement du binome+p+s, parce que les coëfficiens font les mêmes dans tous les cas, & fi on fe donne la peine de former une table de ces coëfficiens, on aura une fuite à laquelle M. Pafchal a donné le nom de triangle arithmétique. Chaque rang horisontal de ce triangle contiendra les coëfficiens de tous les termes d'une puiffance du binome: ces puiffances (comme dans la table précédente ) fe fuccédent immédiatement, c'est-àdire, fuivent l'ordre naturel des nombres 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, &c. Triangle arithmétique de M. Pafchal, contenant les coëfficiens Coëfficiens de (p+s)°====÷=1 de (p+s)'=p+s Coëfficiens des feconds termes. des troifiémes termes. des quatrièmes termes. des cinquièmes termes. des fixiémes termes. des feptiémes termes. des huitièmes termes. des neuviémes termes, &c. I I de (p+s)'=p'+2ps+s2 | 1 | 2 | I 14 31 1 161411 3 de (p+s)* 'de (p+s)' 'de (p+s) 'de (p+s)? 'de (p+s)3 5110110 S I | 1 | 6 | 15 | 2015 | 6 1 | 7|21|35|35|21| 7 | = | Le premier rang ne contenant qu'une fois le feul chiffre I ne peut donner les coefficiens d'aucune puiffance du binome. Car pour les deux termes que le binome contient à fa premiere puiffance, il faut au moins deux coëfficiens. Ce n'eft donc pas dans ce premier rang qu'on trouvera les coëfficiens d'un binome. 185 Mais 1°. dans chaque rang horisontal de ce triangle, le premier & le dernier nombre (que nous appellerons les extrêmes), font chacun égaux à l'unité. 1°. Le fecond & l'avant dernier font égaux au degré de la puiffance du binome à laquelle ils fervent de coëfficiens. Par exemple, dans le rang qui répond à la feconde puiffance, le fecond nombre qui eft en même tems l'avant dernier eft 2. Dans le rang qui répond à la troifiéme puiffance le fecond nombre eft 3 ainsi que l'avant dernier. Donc fi l'on fuppofe qu'un des rangs de eette table réponde à la puiffance (p+s)", le coëfficient du fecond terme fera m. 3°. Les termes également éloignés des extrêmes ont auffi le même coefficient parce que les deux termes p, s, de la racine n'aïant pas d'autre coëfficient que l'unité, & rien n'obligeant à ordonner par p plutôt que par s une puiffance quelconque de ce binome, la multiplication réiterée ou l'exaltation doit donner les mêmes coëfficiens foit qu'on ordonne par s ou par p. Autrement le produit de p+s par p+s, ne feroit pas égal à celui de s+p par s+p. Par conséquent lorfqu'on aura déterminé le degré de la puiffance à laquelle on veut élever le binome p+s, il fuffira de chercher les coëfficiens de la moitié des termes, & on affectera les termes fuivans des mêmes coëfficiens pris dans un ordre renverfé. 186 4°. On verra de plus dans le triangle arithmétique ci-dessus que chaque terme de ce triangle eft la fomme du terme de même numero & du précédent de la puiffance immédiatement inférieure ou du rang qui le précede, par exemple, les coefficiens de la 4°. puissance, font 1, 4, 6, 4, 1, & les coëfficiens de la se font 1=1+0, 5=4+1, 10=6+4, 10=4+6, 5=1+4, 1=0+1,› & en général fi l'on a pour coëfficiens des dix premiers termes d'une puiffance quelconque m, les quantités C d, e, ƒ, g, h, i, 1, ati, bta, c+b, d+c, e+d, f+e, g+f, h+g, i+h, &c. feront les coefficiens des dix premiers termes correfpondans de la puissance m+1 qui fuit immédiatement la puiffance m. 187 50. Si l'on appelle premiere bande celle qui contient les coëfficiens des premiers termes; feconde bande, celle des coëfficiens des feconds termes, &c. nous remarquerons qu'un terme quelconque d'une bande eft égal à la fomme de tous les termes compris dans la bande précédente jufqu'au terme correspondant exclusivement, ou jufqu'au terme de même numero inclufivement, par exemple, le quatriéme terme de la feconde bande eft 4, & la fomme des quatre premiers termes de la premiere ande eft 1+1+1+1=4. Le cinquiéme terme de la bande troifiéme = 15=1+2+3+4+5 somme des cinq premiers termes de la feconde. Le quatriéme terme de la, fixiéme bande = 56=1+5+15+35 fomme des quatre premiers termes de la cinquiéme bande, &c. 188 6. Enfin, en général un terme quelconque d'une puiffancer indéterminée m du binome p±s aura pour coefficient, le coëffi cient du terme précédent multiplié par l'expofant de p dans ce terme précédent, & divifé par l'expofant de s dans le terme actuel auquel on veut donner un coëfficient. Il est évident que quand on continueroit, s'il étoit poffible, jufqu'à l'infini le triangle arithmétique ou la table des coefficiens des puiffances du binome, les quantités qui y feroient contenues conferveroient toujours le même ordre entre elles, & auroient toujours les mêmes proprietés. Par conféquent nous pourrons conclurre pour tous les coefficiens de toutes les puiffances ce que nous trouverons vrai des coefficiens compris dans la table ci-dessus. Nous avons vu (177), qu'en élevant le binome ±p±s à la puiffance du degré m, les termes fans coëfficiens & fans fignes feroient p", pis, p*-'s", p"-'s', 'ps", ps, &c. & fuivant ce qu'on vient de dire le coëfficient du premier terme étant toujours l'unité, les coëfficiens de ces termes feront Or 1°. L'unité eft le coefficient du premier terme de toute puiffance quelconque. Donc le premier terme de la puiffance m aura I pour coefficient. m; mais m eft le degré de la puiffance, & nous favons que le coefficient du second terme est toujours égal au degré de la fera le coefficient du troifiéme terme, car fi l'on fait m=2, m=3, m=4, m=5, m=6, &c. pour coefficiens des troifiémes termes des puissances des degrés 2, En continuant d'appliquer ce principe aux termes fuivans, & donnant fucceffivement à m toutes les valeurs qu'on voudra, on trouvera toujours la conformité la plus parfaite entre les coëfficiens que le calcul nous a donnés, & les formules qui défignent ces coefficiens, D'après ce que nous venons de voir (depuis le n°. 175), on pourra donc élever à tant de puissances qu'on voudra les binomes +p-s, ·~p+s, & -p-s: & les tables qu'on pourra former des puiffances de ces binomes, ne différeront de celles des puissances du binome +p+s que par les variations des fignes + &- felon les regles expliquées ci-devant (179, 180, 181, 182, 183, 185). 189 Donc pour élever à la puiffance du degré quelconque m un binome indéterminé ±p±s, on pourra fe fervir de la formule générale suivante dans laquelle les coëfficiens & les fignes feront déterminés, auffi-tôt qu'on aura déterminé la valeur de m & les fignes de la racine ou premiere puissance du binome qu'on veut exalter. Formule |