Formule générale pour élever à tant de puissances qu'on voudra P±p±s = ±p"±mp"−'s + 2×3×4 mxm—1xm—2xm—3xm—4 2×3×4×5 mxm—1xm—2×m−3×m—4xm—5 2×3×4×5×6 mxm-ixm-2xm-3xm-4xm-5xm-6 2×3×4×5×6×7 mxm—1xm—2xm-3×m—4xm-5xm-6xm-7 2×3×4×5×6×7×8 mxm—1×m—2xm—3×m—4×m—5×m—6×m—7xm—8 2×3×4×5×6×7×8×9 mxm—1xm—2xm—3×m—4xm—5xm—6xm—7xm—8xm-9 2×3×4×5×6×7×8×9×10 mxm—1×m—2xm−3×m—4xm—5×m—6×m—7×m—8×m—9×m—10 2×3×4×5×6×7×8x9x10x11 Cette formule pourra s'appliquer également à toutes les puiffances; par exemple, fi l'on veut s'en fervir pour élever au carré le binome p+s, on verra que le troifiéme terme feras: car mettant 2 pour m, Tome I. Bb &c. Et comme la même chofe arrivera toujours lorfque la quantité négative qui fuit m dans le coefficient ne différera que d'une unité de la grandeur m, & qu'elle la détruira lorfque ces deux grandeurs feront égales, on peut juger delà qu'en fe fervant de la formule on aura les mêmes termes & le même nombre de termes qu'on auroit eu en multipliant à l'ordinaire. 190 Nous avons fuppofé que le polinome qu'on vouloit exalter étoit un binome fans coëfficiens & fans expofans; mais fi l'on vouloit élever à une puiffance quelconque m un polinome quelconque affecté d'expofans & de coëfficiens; par exemple, le polinome 2b'+5bc-4abc-3ab, on pourroit fuppofer ce polinome égal au binome p±s, & dans cette hipothèse chercher la valeur de chacun des termes de la formule de ce binome élevé à la puiffance demandée, ou plus commodément encore, on fuppoferoit une partie de ce polinome égale au binome, & dès qu'on auroit trouvé la puiffance demandée de cette partie, on la feroit répondre à la puiffance de p feulement; par exemple, fi l'on demande la feconde puiffance de 2b3+5b'c—4abc — 3 a3b. ` 1o. Supposant 26'=p, &+5b2c=s, ou 2b3+ 5b'c=p+s, '+p2 =+4b° on aura +2ps=+20b'c & p2+2ps+s2=4b°+20b ̊c+25b*c3. + s2 = =+25b*c* 2o. Suppofant enfuite ce carré 46 +20b3c+25b*c'=p', &-4abc=s1, on aura & enforte qu'on auroit 4b'+20b'e+25b*c2 -16 ab*c2-40ab'c'=2ps +16a2b2c2=s", -16 ab*c-40ab3c" =p2+2ps+s2. +16a2b3c2 3o. Enfin fuppofant ce carré égal à p2, fa racine 2b'+b2e—4abe, fera égale à p, & −3a'b sera =s, ce qui donnera 191 On pourra fur les mêmes principes élever toute quantité numérique à quelle puiffance on voudra; par exemple, fi l'on demande le cube de 64 = 60+4, faisant p=60, s=4, on aura Il est souvent plus commode & plus court de multiplier l'unité par la quantité numérique qu'on veut exalter, autant de fois fucceffivement que l'indique le degré de la puissance à laquelle on veut l'élever, ou (ce qui revient au même) de multiplier cette quantité par foi-même autant de fois moins une. Ainfi dans l'exemple précédent, on auroit eu, 1°. 1x64 64. 2o. La premiere puiffance 64 × 64 fa racine, = 4096. 3°. Le carré 4096 × 64 fa racine,= 262144 cube de 64. 192 Pour élever une fraction polinome à une puiffance quelconque, on élevera son numérateur & fon dénominateur à la puissance demandée, ainsi En comparant les principes de l'exaltation avec ceux de la multiplication, on reconnoîtra fans peine que cette opération n'est qu'un cas particulier de la multiplication, & que la démonftration de cette regle peut s'appliquer à l'exaltation, en fubftituant les mots racine & puissance, à ceux de produifant & de produit. Racines. Donc le résultat de l'exaltation eft la puiffance demandée. Ce qu'il falloit démontrer. De l'Extraction des Racines Polinomes. Nous avons vû (165) que l'extraction eft une opération par la quelle on trouve la racine demandée d'une puiffance propofée. Nous avons pareillement vû (174) comment on doit extraire les racines des monomes algébriques. 193 L'extraction des quantités numériques dont la racine n'a qu'un feul chiffre, n'eft pas fufceptible de principes, & dépend uniquement de la connoiffance qu'on doit avoir des puiffances de ces quantités fimples. La table fuivante donnera les huit premieres puissances des dix premiers nombres. 3 729 2187 | 6561 9|27| 81 | 243 | 729 4|16| 64 | 256 | 1024 | 4096 | 16384 | 65536 5|25| 125 | 625 | 9125 | 15625 | 78125 | 390625 6|36| 216|1296 | 7776 | 46656 | 279936 | 1679616 7|49|343 | 2401 | 16807 | 117649 | 823649 | 5765543 8645124096 | 32768 | 262144|2097152|16777216 981 729 6561 | 59049 | 531441 4782969 |43046721 10 100 1000 10000 100000 1000000 | 10000000 100000000 septiémes puiffances. huitiómes puissances. On voit dans cette table qu'à quelque puiffance qu'on éleve l'unité, on aura toujours pour résultat l'unité: on y voit encore que les puiffances du nombre 10 ne différent des puiffances du nombre 1 que par les zeros dont les premieres font fuivies, & comme il eft aifé. de fe convaincre en faisant attention à la maniere dont les puissances fe forment, & aux principes de la multiplication que toutes les puiffances des neuf premiers nombres ne différeront des puiffances pareilles des mêmes nombres fuivis d'un ou de plufieurs zeros, que par les zeros dont les dernieres feront auffi fuivies, que d'ailleurs nous avons déja vû (30) qu'en multipliant un nombre par lui-même, il y auroit dans le produit total deux fois autant de caracteres après le produit particulier d'un chiffre quelconque par lui-même, qu'il y en a après ce chiffre dans le produifant unique. Il eft aifé d'en conclure qu'il y aura dans tout carré deux fois autant de chiffres après le carré de chaque chiffre, qu'il y en a dans la racine après ce chiffre ; qu'il y en aura trois fois autant dans le cube, quatre fois autant dans la triéme puissance, &c. & en général. qua 194 Dans toute puiffance d'une quantité numérique quelconque, il y aura toujours après la pareille puiffance de chacun des chiffres dont la racine eft compofée, un nombre de caracteres égal au produit du nombre de caracteres dont ce chiffre est suivi dans la racine, multiplié par le degré de la puissance. Ainfi en élevant le nombre 254 à telles puiffances que l'on voudra, le carré de 2 fera suivi de quatre chiffres (30); fon cube, de fix; fa quatriéme puiffance de huit; la cinquième, de dix; la fixiéme de douze, &c. & le carré de 5 sera suivi de deux chiffres, fon cube de trois, fa quatrième puiffance de quatre, fa cinquième puissance de cinq, sa sixiéme puiffance de fix, &c. au lieu que les puiffances du dernier chiffre 4 ne feront fuivies d'aucuns chiffres. Donc fi un chiffre quelconque eft fuivi d'un nombre n de chiffres dans une racine, & qu'on éleve cette racine à la puissance quelconque du degré m: ce chiffre dans la puissance fera fuivi d'un nombre de chiffres = mn. 195 En général pour extraire une racine quelconque d'une puissance parfaite de même degré, on comparera la grandeur propofée avec la puiffanee du binome ±ps du degré dont il est question, & fuppofant ces deux quantités égales, on trouvera la racine demandée = 1 p±s, Par exemple, fi l'on demande la racine 4. du nombre 331776, |