tous les fiécles, capable de fixer, de nourrir & de fatisfaire l'efprit & propre à former le bon citoïen.

Munis de fes fecours, vous parviendrez fans peine au but légitime de vos foins. Vous deviendrez de plus en plus utiles à votre patrie. Quel honneur, MESSIEURS, pour de zélés citoïens, que celui de fe confacrer fans réferve au bonheur de la nation, à laquelle on eft d'autant plus redevable qu'on s'est rendu plus néceffaire? Qu'il eft flatteur pour eux de remplir les devoirs qu'elle exige de fes enfans, & de pouvoir fe rendre à foi-même un témoignage fatisfaifant des avantages qu'on procure à la focieté dont on eft membre, en contribuant à fon ornement, à fa deffense, ou à sa grandeur! Mais combien cette gloire eft-elle encore plus fenfible, quand on a, comme nous, le bonheur de vivre fous un Monarque équitable, éclairé, bienfaifant: plus grand par lui-même que par fon Trône & fes Victoires: qui, auffi magnanime dans le fein de la Paix, que formidable dans les horreurs des combats, moins jaloux des hommages dûs à fon rang fuprême que de l'amour de fes fujets, ne veut imprimer de terreur que fur le front de leurs ennemis? Qui, Emule d'Augufte, met, comme lui, fa gloire à fe voir qualifié de PERE DE LA PATRIE: titre qu'il mérite d'autant mieux, qu'il pofféda toujours les vertus du Second des Céfars, & qu'il n'en a jamais imité les fureurs.

ESSAIS

I

INTRODUCTION

AUX MATHEMATIQUES.

Définition & Divifion des Mathématiques.

N Corps de Sciences les plus certaines, les plus vastes, & peut être les feules des fciences humaines qui foient véritablement connues, compose ce que nous appellons Mathématiques, & que l'on définit la Science de la grandeur ou de la quantité.

2 On entend par grandeur ou quantité tout ce à quoi l'on peut ajouter, & d'où l'on peut retrancher quelque chofe. Ainfi l'étendue le mouvement, la durée, la lumiere, la pesanteur, la force, les fons, la dureté, le froid, le chaud, tout ce que nous connoiffons foit par l'impreffion des fens, foit par la fimple vûe de l'efprit, tout ce qui existe ou peut exifter dans la nature tout cela fait l'objet des recherches des Mathématiques, en ce que chacune de ces chofes peut être conçue plus grande ou plus petite; c'est-à-dire, que, Tome I.

A

Dieu feul excepté, tout ce que nous pouvons imaginer d'ailleurs étant fufceptible de plus & de moins, eft par conféquent auffi du reffort des Mathématiques: parce qu'il n'y a que Dieu feul qui ne puiffe recevoir d'accroiffement ou d'altération.

La poffibilité du plus & du moins qui caractérise effentiellement la quantité, convenant également à la multitude infinie des diverfes grandeurs, on doit diftinguer les propriétés qui font communes à tout le genre, d'avec celles qui font finguliéres à chaque espèce féparément prife. On doit même s'appliquer à connoître ce qui convient à toutes en général avant de paffer aux propriétés curieufes & intéressantes de chacune en particulier.

En vuë de cet ordre, on divise les Mathématiques en générales & particulieres.

3 Dans les Mathématiques générales on éxamine ce qui concerne également toutes les quantités prifes feulement comme quantités c'est-à-dire, qu'on y confidère la grandeur en elle-même en faifant abstraction des qualités propres de chaque efpèce. Par exemple, on opérera fur deux ou plufieurs quantités, fans s'embarraffer fi elles expriment des toifes, des livres, des jours, ou toute autre forte de grandeur.

4 Après avoir appris ce qui convient en général à toutes fortes: de quantités, on cherche à découvrir dans les Mathématiques particuliéres ce qui conftitue chaque efpèce diftincte, relativement à la nature de chacune. On étudie les propriétés de l'étendue, les loix de l'équilibre, les principes du mouvement, &c.

On fubdivife les Mathématiques générales en deux principales parties, qui font, le Calcul & l'Analyse.

Le Calcul, eft la fçience des plus fimples propriétés des grandeurs & des opérations qu'on peut faire fur elles.

Il nous convaincra que des grandeurs affez oppofées pour se détruire mutuellement, font cependant également réelles, également vraies. Nous y verrons de quelle manière on doit affembler, défunir, multiplier & divifer les quantités : comment on les éleve à differens dégrés, & comment les plus compofées font réduites à leur dernière fimplicité.

Par l'Analyfe nous découvrirons les rapports inconnus de toutes fortes de grandeurs, & nous réfoudrons toutes les questions que l'on peut faire à leur fujet.

Cette partie fe fubdivife naturellement en deux autres, qui font; l'Analogie & la folution des équations.

Dans toutes les queftions que l'on propofe, il y a des quantités

connues & des quantités inconnues. Si toutes étoient connues, il n'y auroit point de queftion: Si toutes étoient inconnues, il n'y en auroit pas davantage. L'Analyfe n'enseigne point à deviner, elle enfeigne feulement à découvrir des rapports inconnus par le moïen des rapports connus : mais ces rapports cherchés peuvent être plus ou moins fimples, plus ou moins compofés.

Lorfqu'on connoît le rapport que doit avoir une grandeur qu'on fe propofe de découvrir avec une autre grandeur connue, ou avec plufieurs qui peuvent être réduites à une feule, alors on réfout la question par l'Analogie qui est la fçience des rapports qui fe trouvent entre les grandeurs de même espèce.

Nous reconnoîtrons dans l'Analogie qu'il n'y a rien de grand ou de petit par foi-même ; que la comparaison habituelle des chofes differentes nous induit feule à affirmer qu'une telle chofe eft grande ou petite, parce qu'intérieurement nous la confidérons relativement à telle autre plus petite ou plus grande. Nous y apprendrons les usages infinis de la fameuse regle de trois ou regle d'or, que la plûpart des Arithméticiens préfentent fucceffivement fous quinze ou vingt differens titres, qu'on peut reduire au feul nom de regle de proportion.

Pour donner une idée de ce principe qui eft l'ame du commerce, & qu'on peut regarder comme le plus important des Mathématiques, fuppofons que le cadran d'une pendule ayant vingt-deux pouces de circonférence, l'aiguille (que nous concevrons prolongée jufqu'aux bords de ce cadran ) ait fept pouces de longueur : & qu'on demande quelle doit être la longueur de l'aiguille d'un autre cadran dont le contour eft de cent dix pouces : il n'eft perfonne qui ne fente que la feconde aiguille qui doit atteindre aux extrêmités d'un cadran plus grand, fera plus grande que la première. Et fi l'on fuppofe que chaque aiguille ait un même rapport avec fon ca dran, on appercevra facilement que la circonférence du fecond cadran étant cinq fois auffi grande que celle du premier, il faut que la feconde aiguille foit cinq fois auffi longue que la première, & qu'elle aura par conféquent trente-cinq pouces.

Mais lorsque la découverte d'une ou de plufieurs quantités cherchées dépendra de differens rapports avec plufieurs autres quantités, & que ces rapports ne pourront être réduits à un feul; alors pour réfoudre la question, on en exprimera les differentes conditions par autant de comparaisons, dont la folution fournira la réponse à la difficulté propofée.

Par exemple, fi l'on demande combien de fois & dans quels points du cadran l'aiguille des minutes rencontrera celle des heures pen

dant une révolution entière de l'aiguille des heures ; cette question; l'une des plus fimples de l'Analyfe, paroîtra plus difficile en n'emploïant que le raisonnement; cependant avec un peu d'attention, tout le monde fera en état de la réfoudre.

On fait que l'aiguille des minutes fait douze révolutions, pendant que celle des heures en fait une. Ainfi ces deux aiguilles fe rencontrent onze fois en douze heures. Pour déterminer les points de leurs rencontres, nous remarquerons que 1o. Elles partent en même-tems du point de midi. 2o. A une heure l'aiguille des minutes eft revenue fur midi, & l'aiguille des heures eft fur une heure. 3°. Dans les cinq minutes qui fuivent, l'aiguille des minutes arrive fur une heure, & celle des heures qui a continué fon mouvement, a parcouru la douzième partie de l'intervalle qui fe trouve entre une heure & deux, l'aiguille des heures n'a donc fur l'autre que l'avance de cette douzième partie. Mais celle des minutes l'atteindra bientôt ; car à une heure fix minutes, l'aiguille des heures n'ayant encore parcouru que la dixiéme partie de la diftance entre une heure & deux, celle des minutes en a parcouru la cinquiéme partie, & par conféquent l'aiguille des heures eft alors également éloignée de l'aiguille des minutes & du point d'une heure qu'elles ont paffé toutes deux. Ces deux aiguilles fe font donc rencontrées entre une heure cinq minutes & une heure fix minutes.

La vitesse des deux aiguilles reftant toujours la même, on sent bien que d'une rencontre à la fuivante, il s'écoulera toujours un même espace de tems. Par conféquent fi ces deux aiguilles s'étoient rencontrées à une heure cinq minutes, elles fe rencontreroient à deux heures dix minutes, à trois heures quinze minutes, à quatre heures vingt minutes, &c. & enfin, à onze heures & onze fois cinq minutes, ou cinquante-cinq minutes. Mais nous favons qu'elles mettent un peu plus de tems à fe rejoindre. Nous favons auffi que leur onzième rencontre fe fera au point de douze heures. Donc les cinq minutes qui restent dans la fuppofition, doivent être également diftribuées fur chacun des efpaces égaux parcourus d'une jonction à l'autre par les deux aiguilles. Il faudra donc à chacun des intervalles fuppofés d'une heure cinq minutes, ajouter la onzième partie de cinq minutes, pour avoir la détermination éxacte des points de rencontre.

Un Calcul très-fimple & très-court nous auroit appris la même chofe; car en réduifant en fecondes les douze heures qui compofent une révolution, & divifant le nombre de ces fecondes par le nombre des rencontres des deux aiguilles, on auroit eu pour chaque