la multiplication & la divifion. Les deux autres, fçavoir l'exaltation & l'extraction, appartiennent aux dégrés fuperieurs. AVERTISSEMENT. Dans la fuite, lorfque plufieurs chifres feront placés les uns fous les autres, nous dirons qu'ils font dans la même colomne. Au contraire une fuite de chifres difpofés les uns à côté des autres, fera appellée un rang, DE L'ADDITION, 'Addition eft une opération par laquelle on joint & l'on réunit 17L plufieurs quantités données celle quien refulte s'appelle fomme. 18 Pour faire l'addition 1°. On pofera les quantités que l'on veut ajouter ensemble les unes fous les autres, enforte que les unités des unes foient fous les unités des autres, les dizaines fous les dizaines, les centaines fous les centaines, les milles fous les milles, &c. & l'on tirera une ligne au-deffous, 2o. On commencera par ajouter ensemble toutes les unités, & fi leur fomme ne furpaffe pas neuf, c'eft-à-dire, fi elle est moindre qu'une dizaine, & peut s'exprimer par un feul chifre ; on pofera le chifre qui représente cette fomme au-deffous de la ligne & dans la colomne des unités. 3o. Si cette fomme étant plus grande que neuf, vaut précisement une ou plufieurs dizaines comme dix, vingt, trente, &c. on pofera zero fous la colomne des unités, & on retiendra le nombre de dizaines qu'on a trouvées pour les compter comme unités avec la colomne fuivante, c'est-à-dire, avec les dizaines. 4°. Si cette fomme étant plus grande que neuf, vaut une ou plufieurs dizaines avec une ou plufieurs unités ; comme onze, quinze, vingt-&-un, vingt-fept, trente-&-un, trente-fix, &c. on pofera fous les unités le nombre qui exprime les unités, & on retiendra les dizai nes pour les compter avec la colomne des dizaines. 5o. On opérera fur la colomne des dizaines comme on a fait sur celle des unités, en y ajoutant comme unités les dizaines qu'on aura retenues de la colomne précedente s'il y en a eu. Enfin, on fera la même opération fur toutes les colomnes jusqu'à' la fin, en remarquant (comme nous l'avons déja vû (14) que les dizaines par rapport à une colomne ne font que des unités par rapport à la colomne fuivante à gauche, EXEMPLES. Pour ajouter ensemble les nombres 470, 1053, 272, 6812) on commencera par les difpofer comme il fuit. 470 1053 272 6812 8607 Enfuite on dira gero & 3 font 3, & 2 font 5, & 2 font. 7, je pofe 7 fous les unités. Paffant à la feconde colomne on dira, 7 & 5 font 12, & 7 font 19; & 1 font 20, je pofe & retiens 2. On ira à la colomne fuivante, en difant 2 retenus & 4 font 6; & 2 font 8, & 8 font 16, je pofe 6 & retiens 1. Enfin, on comptera la dernière colomne en cette forte, 1 retenu & 1 font 2, & 6 font 8, je pofe 8. On aura donc pour fomme le nombre 8607. & l'addition fera faite. On peut remarquer que cette opération est toute fondée sur la loi de la numération & fur la propriété de la valeur locale des chifres (14 & 15) car on a fait autant d'additions particulières qu'il y a de colomnes dans les quantités ajoutées, & à chacune de ces additions particulières on a fupprimé le nombre 9 autant qu'il a été poffible, puifque ce qu'on écrit fous chaque colomne & ce qu'on retient pour la fuivante, pris ensemble comme unités, n'exprime que ce qui eft au-dessus de 9. L'addition n'eft donc qu'une manière d'abreger l'expreffion des quantités ajoutées fans changer leur valeur. D'ailleurs on fentira aisément l'avantage de retenir les dizaines d'une colomne pour les porter à la colomne fuivante, fi l'on fait réflexion qu'en ne retenant rien on auroit deux additions à faire au lieu d'une. Par exemple, fi fans rien retenir on veut ajouter les nombres fuivans. On fera obligé de dire, 7 & 9 font 16, & 6 font 22, & 8 font 30, & 8 font 30, je pose o & avan ce 3. 5 & 8 font 13, & 9 font 22. 457 809 586 398 30 2 2 20 2250 4 & 8 font 12, & 5 font 17, & 3 font 20. Et enfuite d'ajouter ces trois fommes en une feule qui fera En opérant de la même façon, on trouvera que les nombres 83642, 56704, 95092, 80001, 4715, 10970980, ajoutés enfemble, donneront pour fomme 11291134 83642 8 0 0 0 I 47 IS 1 0 9 7 0 9 8 0 I 1291 I 34 La preuve de cetre opération fe fera en ajoutant de nouveau ces nombres après les avoir differemment difpofés, ou en les comptant de bas en haut fi on les a d'abord comptés de haut en bas. Il est vrai qu'il y a une autre forte de preuve qu'on peut mettre en ufage; mais comme elle fe fait par le moïen d'une fouftraction, dont nous ne devons pas encore fuppofer la connoissance, nous en parlerons après que nous aurons vû cette Regle. Les Arithméticiens donnent encore une autre preuve de l'Addition, qu'ils appellent la preuve de neuf; elle confifte à ajouter enfemble les valeurs fixes de chaque chifre, fans avoir égard à leur valeur locale rejetter 9 autant de fois qu'il eft poffible, tant dans les quantités à ajouter, que dans leur fomme, & voir fi les reftes font égaux; mais cette prétendue preuve eft fort équivoque, & je ne la donne que pour en faire voir la fauffeté. Par exemple, fi aïant ajouté 3581, 2350, 6013, on trouve pour fomme 11944, comme le donnera la Regle, on diroit 3 & 5 font 8, & 8 font 16, & 1 font 17, dont ôtant 9 refte 8, & 2 font 10, & 3 font 13, & 5 font 18, dont ôtant deux fois 9 il ne refte rien. 6 & 1 font 7, & 3 font 10, ôtant 9 refte 1. Enfuite ajoutant de même les valeurs fixes des chifres de la fomme 11944, on aura 1 & 1 font 2, & 9 font II, & 4 font 15, & 4 font 19, dont retranchant deux fois 9 ou 18, refte 1: donc dira un Arithméticien, la Regle eft bien faite. Je conviendrai fans peine avec lui que fi cette espèce de preuve ne fe peut pas faire, l'opération eft fauffe; mais je ne conviendrai pas également qu'elle foit néceffairement bonne quand on pourra faire cette preuve : car dans tel ordre que foient difpofés les chifres 1, 1, 9, 4, 4 de la fomme, on aura toujours le même nombre 19 pour leur valeur fixe, ainfi 19144, 94411, & toutes les autres combinaisons de ces mêmes chifres donneront une égale preuve de la bonté de l'opération, quoique leurs valeurs foient fort differentes de la fomme 11944, qu'on a trouvée par l'addition & qui eft la feule vraïe. Bien plus, en fupprimant le chifre 9 dans la fomme, la même preuve auroit encore lieu, par conféquent on ne peut s'affurer par ce moïen de la justesse d'une addition. Il est cependant vrai que cette preuve eft fondée sur le principe de la numération (15) & fur l'opération même de l'addition : qualité qui n'a peut-être pas même été foupçonnée par ceux qui la donnent pour preuve : mais elle n'en eft pas moins fausse. Si l'on avoit beaucoup de nombres à ajouter ensemble, on feroit plufieurs additions particulières, & on ajouteroit ensemble toutes les fommes particulières qui en feroient refultées pour avoir la fomme totale. C'est ce qui fe pratique dans les toifés, comptes, & dans tous les autres calculs compofés de beaucoup de nombres. Si l'on avoit à ajouter ensemble plufieurs quantités exprimées chacune par un ou plufieurs chifres réels, fuivis d'un ou de plufieurs zeros en nombre égal, il fuffiroit d'ajouter ensemble les chifres réels de même espèce, & de mettre après leur fomme autant de zeros qu'il y a de colomnes remplies par des zeros. Par exemple, fi l'on vouloit ajouter ensemble les nombres 10000, 40000, 250000, 80000, comme il y a quatre zeros après chacun de ces nombres, au lieu de se donner la peine de les écrire à l'ordinaire en cette forte: I 4000 250 380000 On fe contenteroit de les pofer en fupprimant les zeros qui fuívent les chifres réels comme ci-après, & l'on diroit fimplement & 4 font 5,& font 10, & 8 font 18, je pofe 8 & retiens 1 & 2 5 font 3 je pofe 3: & enfuite on avanceroit la fomme 38, en mettant après elle quatre zeros pour lui faire valoir 380000. Mais alors il faut bien prendre garde à la quantité de zeros qui fé trouve après chaque nombre : car s'il y en a plus ou moins à l'un qu'à l'autre, par exemple fi l'on avoit les nombres 45000, 60000, 6250, 84900 à ajouter ensemble, comme en les difpofant felon la regle les uns fous les autres, on ne trouvera qu'une feule colomne qui n'ait aucun chifre réel, il fera plus fimple d'opérer à l'ordinaire. 45000 60000 6250 L 84900 19615 O DEMONSTRATION DE L'ADDITION. A fomme de plufieurs nombres eft égale à tous ces nombres pris ensemble. Car (axiome 3) le tout eft égal à toutes fes parties prifes ensemble. Or la fomme de plufieurs nombres n'eft autre chofe que l'affemblage de toutes les parties de ces nombres, & la fomme trouvée par l'addition contient autant d'unités, autant de dizaines, autant de centaines, &c. que tous les nombres ajoutés contiennent ensemble d'unités, de dizaines, de centaines, &c. puisqu'on a pris la fomme des unités, la fomme des dizaines, la fomme des centaines, &c. Donc la fomme de plufieurs nombres eft égale à tous ces nombres pris ensemble. Ce qu'il falloit démontrer. DE LA SOUSTRACTION. 19 L A Soustraction eft une opération dans laquelle on compare deux quantités inégales pour decouvrir de combien l'une des deux furpaffe l'autre. Le refultat s'appelle difference. Pour plus de commodité nous appellerons fouftréande le nombre que l'on fouftrait, & celui qu'on en fouftrait fera nommé fouftracteur. Le |