Le plus grand carré contenu dans 12 eft 9 dont la racine est 3; 3 fois 3 font 9 de 12 refte 3.

37 divifé par 6 donnera 5, & multipliant 65 par 5, 5 fois 5 font 25, de 25 refte o & retiens 2, 5 fois 6 font 30 & 2 font 32 de 3.7, refte 5.

509 divifé par 70 ou 5091 divifé par 700 donnera 7; 7 fois 7 font de 49 51 refte 2 & retiens 5, 7 fois o & S font S de refte 4 7 fois 7 font 49 de 50 refte 1.

୨

1428 divisé par 714 ou 14284 divifé par 7140 donnera 2; 2 fois 2 font 4 de 4 refte o, 2 fois 4 font 8 de 8 refte o, 2 fois 1 font 2 de 2 reste o, 2 fois 7 font 14 de 14 reste o.

Le nombre propofé 12759184 eft donc un carré parfait, & sa racine eft 3572.

On trouvera de même 1109140 pour la racine exacte du nombre carré 1230191539600.

De l'Extraction des Racines algébriques du fecond degré.

197 Soit propofé le carré algébrique

dont on demande la racine carrée.

4a2+12ab+9bb

-16ac24bc

+16ce

Comme cette quantité contient plus de termes que la formule, c'est une marque que fa racine aura plus de deux termes ; mais fans nous inquiéter de cette différence, nous prendrons dans la quantité propofée un terme qui foit un carré parfait comme 4a3, 9bb ou 16cc, que nous fuppoferons=p', & nous ferons ainfi l'opération.

Si 4a=p', donc 24 = p fera le premier terme de la racine; doublant ce premier terme 2a, on aura 4a= 2p pour premier diviseur par lequel on divifera quelqu'un des termes 12ab,-16ac, qui peu

vent tous deux fe divifer par 4a, faisant 12ab=2ps, comme 4a=2p,

on aura

12ab 2ps
4a

2p

=3b=s, donc 3b fera le second terme, & mul

tipliant le diviseur 4a augmenté de 36 par 36, on aura pour produit +12ab+9bb qu'on retranchera du carré propofé, foit en les effaçant dans ce carré, foit en les ajoutant avec des fignes contraires à ceux du produit, ce qui eft également les retrancher (79). ̧

A préfent nous fuppoferons 4a+12ab+9bb = p2, & 2a+3b=p; 'doublant cette racine trouvée 2a+3b, nous aurons pour fecond diviseur 4a+6b: nous chercherons dans la quantité restante, deux termes tels que 16ac24bc qui puiffent être divifés par 4a+6b,

16ac

en difant-divifé par + donne -, = 4c;

4a

troisiéme termic de la racine. Multipliant le divifeur plus ce troifiéme terme par ce troifiéme terme lui-même, on aura 4a+6b—4c x −4c =-16ac24bc+16cc, & pour foultraire +16ac + 24bc — 16cc, qui ajoutés à ce qui refte du carré propofé, il ne restera rien.

Donc la quantité algébrique proposée est un carré parfait, dont la racine eft 2a+36-40.

198 Il faut remarquer que la racine 2a+3b-4e que nous avons trouvée, n'eft pas la feule racine du carré propofé (184), & que la quantité 4c-2a-3b, ou―2a-3b+4c, en eft également la racine, & fi nous avions ordonné ce carré par la lettre c en cette forte.

Nous aurions trouvé pour la racine 4c-2a+3b, ainfi la véritable racine de ce carré fera + 2a+3b4c en prenant tous les fignes fupérieurs, ou tous les fignes inférieurs.

On trouvera de même la racine carrée de la quantité

Si 36a=p', 6a=p fera le premier terme de la racine, & 12a

fera le divifeur :

24ab

124

=2b en fera le fecond terme, & on aura

12a + 2b × 2b = 24ab+4bb, & 24ab4bb, & pour fouftraire=-24ab-4bb. Faifant 36a+24ab+4bb=p3, ou 6a+2b=p, le fecond divifeur 48am +16bm 2ps

fera 12a+4b, &

= 4m fera le troisiéme ter12a +46 2p

me de la racine. Multipliant donc 12a +4b+4m par 4m, on aura le produit 48am + 16bm+16m2 qu'on retranchera de la quantité propofée.

Il reste encore 36an+24mn +12bn +.9n2=2ps+s, parce que l'on fuppofe que le carré retranché = p2, ou que 6a+2b+4m=p. on divifera donc 36an+24mm+12bn par 12a+4b+8m =2p double 36an

de la racine trouvée, & comme

36an+24mn+12bn
12a+4b+8m

ou

12a

= 3r,

on prendra 37 pour le quatriéme terme cherché de la racine deman

dée, & ajoutant ce quatrième terme 3n au divifeur 124+4b+8m; on multipliera cette fomme par ce quatriéme terme, & l'on retranchera le produit qui en réfultera fur ce qui refte de la quantité propofée; & comme (12a+4b+8m+3n)×3n=36an+12bn+24mn+9nn le refte du carré propofé, on conclura que cette quantité eft un carré parfait dont la racine est 6a+2b+4m+3n.

199 On remarquera encore que- 6a2b-4m3n peut être également la racine carrée de la quantité propofée (106) enforte que la vraie racine de cette quantité fera + 6a+ 2b ± 4m± 3n dans laquelle on doit prendre ou tous les fignes fupérieurs ou tous les fignes inférieurs; car le carré propofé aïant tous fes termes pofitifs, fa racine doit avoir tous les termes pofitifs, ou tous les termes négatifs (106).

cine carrée de

Sur les mêmes principes on trouvera 8a36 + 4d pour la ra 64a2+48ab +962 -64ad-24bd

+16ď

Et l'on aura en faisant l'opération 16a pour premier diviseur, 16a+6b pour fecond divifeur,

Et

De l'Extraction des Racines cubiques.

I.

De l'Extraction des Racines numériques du troifiéme degré.

200 Soit propofé le cube 658503 dont on demande la racine.

Comme ce nombre a plus de trois caracteres, fa racine aura au moins deux chiffres, & comme il n'en a pas plus de fix, cette racine n'aura pas plus de deux chiffres (194), on féparera donc les trois derniers chiffres de ceux qui les précédent, & reconnoissant que le cube du premier chiffre de la racine eft nécessairement compris dans la tranche des hautes efpeces 658 ou dans la premiere tranche à gauche qui contient trois chiffres, & qui pourroit n'en contenir qu'un ou deux, on cherchera dans la table (193) le plus grand cube contenu dans 658, & trouvant 512 dont la racine eft 8, on mettra 8 à la racine & on retranchera 512 de 658,

:

Comme on doit avoir fuppofé 658503 = p2+3p's+3ps'+s', on aura p=8, p2=512, & puifqu'on retranche du nombre propofé 512 =p', on retranchera auffi p' de la formule, & le reste de la formule fera égal au refte du cube numérique propofé, c'est-à-dire que 146503=3p's+3ps2+ s3.

Pour trouver le nombre=3p's, vis-à-vis du reste 146, on abaiffera le chiffre fuivant 5, & la quantité qui répond à 3p3 sera comprise dans ce nombre 1465, parce que le premier chiffre 8 de la racine étant fuivi d'un autre chiffre, fon carré p' fera fuivi de deux chiffres (194).

Puifque p8, p2=64, & 3p2=192, c'est-à-dire que 192 eft le triple du carré de 8, & comme pour connoîtres dans la formule on diviferoit 3p's par 3p' que l'on connoît puifque l'on fait que p=8, on divifera ce nombre 14653p's par 1923p', & l'on trouvera 7=s. (Il femble qu'on puiffe prendre un quotient plus grand, mais fi on se donnoit la peine de faire le calcul en fuppofant s=8, on trouveroit que 8 eft trop grand) 7 fera donc le fecond chiffre de la racine.

Pour s'affurer que 7 eft véritablement le fecond chiffre de la racine, on retranchera fur ce qui refte du cube propofé, les quantités qui répondent aux trois termes reftans de la formule en cette forte,

1o. Multipliant 192 par 7, on aura 1344, & comme cette quantité doit être fuivie de deux chiffres, on écrira deux zeros ou oo après 1344 pour avoir 134400=3p's = le triple du carré de la premiere partie 8 de la racine multiplié par la feconde partie 7 de la même racine.

2o. On aura le fecond produit qu'on doit retrancher fur le refte du cube propofé, & qui doit répondre au terme 3ps' en multipliant 24 ou 240 triple de 8 ou de 80 par 49 carré de 7, & comme 24x49 =1176, & que le 8 de la racine n'eft pas 8, mais 80, ce produit 1176 doit être fuivi d'un chiffre, & eft = 11760; ainfi le terme 3ps=11760.

3°. Enfin on aura s'=343 cube de la feconde partie 7 de la racine. Ajoûtant ces trois produits d'une part, & les trois termes reftans de la formule, de l'autre ; comme la fomme des quantités numériques qui répond aux trois derniers termes de la formule eft égale à ce qui refte du cube propofé, on en conclura que ce nombre eft un cube parfait dont la racine eft 87.