En opérant de la même maniere, on trouvera 96 pour la racine cubique du nombre 884736. Car fi l'on fuppofe ce nombre 884736=p'+3p's + 3ps2+s', on Et p'+3p's+3ps'+s'=884736 nombre cube propofé. S'il y avoit plus de deux tranches au cube proposé, c'est-à-dire ; fi la racine étoit de plus de deux chiffres, l'opération feroit la même & ne différeroit des précédentes qu'en ce que l'on feroit obligé de faire fucceffivement plufieurs hipothèses, regardant toujours la partie trouvée de la racine comme répondant à la premiere partie p du binome p+s, & le chiffre immédiatement suivant, comme =s feconde partie du même binome. Par exemple, on demande la racine cubique du nombre 23393656 dont la racine aura trois chiffres, parce que le nombre propofé a trois tranches. On fera l'opération en cette forte. Le plus grand cube contenu dans la premiere tranche 23 eft 8 dont la racine eft 2, 8 de 23 refte 15. Le triple du carré de 2 eft 12, 153 divifé par 10 femble donner un quotient 12, mais fi l'on pouvoit feulement prendre 10, le premier chiffre de la racine feroit 3 ; & comme 27 fon cube n'est pas contenu contenu dans 23, on n'a pas pu prendre 3 pour le premier chiffre de la racine. On ne pourra pas même mettre 9 pour le fecond chiffre; on mettra donc 8, & comme on suppose 20=p, 8=s, ou 28=p+s, on aura p = 8000, 3p's = 3×400×8 = 24 × 400 = 9600, 3ps2 = 3 × 20 × 64 64 × 60 = 3840, s' = 512; mais on a déja retranché 8 ou 8000 =p', on retranchera donc du refte 15393 des deux premieres tranches la fomme 13952 des trois quantités qui répondent à 3p's+3ps'+s'; la fouftraction faite, il reftera 1441. 1 A préfent on fuppofera p=280 & s= le dernier chiffre cherché de la racine, & comme on a retranché le cube de 280-p', on n'a donc plus à fouftraire du nombre propofé que les quantités qui répondent aux termes 3p's + 3ps'+s3. On trouvera la valeur de s en divifant 14416 par 2352 = 3p', & le quotient 6 fera le troifiéme chiffre de la racine. Donc s=6, & les produits à retrancher feront 3p's =2352×6=1411200, 3ps2= 840×36=30240, s'=216. Mais la fomme 1441656 eft égale au refte 1441656 du cube propofé 23393656. Donc ce nombre eft un cube parfait dont la racine est 286. I I. De l'Extraction des Racines algebriques du troifiéme degré. 201 On demande la racine cubique du polinome algébrique Et p3+3p2s+3ps2+s2=8a3+36a2b+54ab2+27b3 Si l'on fait p2a+3b, ou p3 = 8a'+36a2b+ 54ab2+276' on aura 3p2= 12a +36ab+27bb & par conféquent s=—4c, & 3p's = 3ps2 -48a'c-144abc-108b'c + 96ac2 +144bc* 64c3 Si dans cette derniere hipothéfe on fouftrait les termes produits par l'opération, fur le polinome propofé, comme ces deux polinomes font identiques, & qu'il ne reftera rien, on en conclurra que la grandeur propofée eft un cube parfait dont la racine eft 2a+3b-4c. Quoique la précédente opération foit évidente, cependant comme elle pourroit paroître trop concife à ceux qui ne se font pas familiarifés avec le langage oculaire de l'Algébre, nous détaillerons davantage l'exemple fuivant. 125a3 — 225a2b+135ab3 — 27b3 +300a'c - 360abc + 108b'c -240acd+144bcd Prenant la racine cubique du premier terme 125a3 qui est un cube parfait, on aura sa pour le premier terme de la racine. On prendra le triple du carré de sa, c'est-à-dire, 75a', & l'on divifera un terme tel que - 225a'b par 75a', le quotient-3b fera le fecond terme de la racine. Pour retrancher du cube propofé, le cube de 5a-3b, comme on a déja retranché le cube de 5a, ou soustraira 1o. trois fois le carré de sa multiplié par 3b, ce produit fera - 225a'b. 2°. Trois fois le premier terme sa multiplié par le carré + 96' du fecond - 3b Õu 15a× 962 = 135ab. 3°. Le cube - 2763 de la feconde partie - 36. Cette fouftraction faite, on fuppofera (5a-3b)=p le premier terme de la racine, & comme on a souftrait le cube de 5a — 36, on cherchera d'abord le divifeur = 3 × (5a—3b)2 = 75a2-90ab+27bb, (5a—3b)2=75a2— & on divifera par 75a2 le terme + 300a'c qui eft divifible par 75a2, le quotient+4c fera le terme cherché de la racine. Pour s'affurer que 4c eft vraiment le troifiéme terme de la racine, 1o. On multipliera le diviseur entier +75a-90ab+276' par ce quotient +4c, & on retranchera le produit 300a'c-360abc+108b3c de la quantité propofée: 2°. On multipliera pareillement le triple de la premiere partie; c'est-à-dire 15a-9b, par le carré + 16c de la feconde, ce qui donnera 240acd144bc' qu'on doit aussi retrancher. 3°. Enfin on retranchera encore + 64c3 cube de +4c. Pour trouver ce qui reste à trouver de la racine, on fuppofera que fa premiere partie p=(5a-3b+4c), & que la feconde qu'on cherche =s, & comme on a déja retranché le cube de (5a-3b+4c), on n'aura plus à fouftraire que les produits qui répondent aux trois derniers termes 3p's+3ps'+s' de la formule. On trouvera ces produits quand on connoîtra la valeur de s, & pour la découvrir on prendra le carré 2 5a3—30ab+40ac+9bb—24bc+16c2 de la premiere partie(5a-3b+4c) de la racine, & triplant ce carré, on aura 75a-90ab + 120ac +27b'— 72bc+48c' pour divifeur. On divifera par 75a quelque terme comme 150a'd qui puiffe être divifé par 75 a', le quotient fera 24, qui par conféquent doit être le terme fuivant de la racine. On fe convaincra que - 2d eft le dernier terme de la racine, & que le polinome propofé eft un cube parfait. 1°. En multipliant le divifeur par 2d, & retranchant du cube propofé, le produit -150a'd + 180abd - 240acd - 54b'd + 144bcd — 96c'd qui en réfultera. 2°. Multipliant pareillement (15a-9b+12c) triple de la racine trouvée par + 4dd carré de - 2d, pour en fouftraire de même Je produit 60ad-36bd'+48cd'. 3°. Enfin en retranchant encore 8d' cube de 2d. Toutes ces opérations faites il ne reftera rien du polinome propofé, & par conféquent ce polinome eft un cube parfait dont la racine exacte eft sa−3b+4c−2d. 202 On ne On ne doit pas craindre de fe tromper fur les fignes que doivent avoir les différens termes d'une racine cubique, & on ne s'y trompera jamais en donnant à chacun de ces termes le figne dont le cube de ce même terme est affecté dans le polinome dont on veut extraire la racine cubique; car (95. 3°.) les racines de degrés impairs doivent toujours être affectées des mêmes lignes que les puiffances dont on les extrait, puifque des puiffances impaires font politives ou négatives comme leurs racines. 3 On ne peut fe rendre trop familieres les formules p2±2ps+s', ±p' ± 3p's ± 3ps s' du carré & du cube d'un binome quelconque ps: Ces formules, & en général toutes les formules algébriques réuniffent en elles le double avantage de donner les regles les plus univerfelles avec la précision la plus exacte & l'évidence la plus caractérisée, & de foulager la mémoire en préfentant les principes les plus compliqués fous leur plus fimple expreffion poffible, en forte que l'efprit les faifit auffi-tôt que l'oeil les apperçoit. DEMONSTRATION. m Il faut démontrer en général que +p+s=V_p_mp's & C2 mais nous avons vû (166. 169. 189.) que favons (167. 16.9. 173.) que a = Ŵa”. Donc aussi ±p±s= |