203 Comme on peut appliquer au numérateur & au dénominateur d'une fraction polinome ce que nous avons dit fur le polinome en général, il eft clair qu'on extraira la racine demandée d'une fraction polinome en extraïant la racine du degré propofé de fon numérateur & de fon dénominateur. Nous verrons dans le Chapitre fuivant comment on opére lorsque le numérateur ou le dénominateur, ou tous deux ne font pas des puiffances parfaites du degré de la racine qu'on fe propose d'en extraire. 204 I CHAPITRE VI. Des Racines imparfaites. L arrive fouvent que les quantités dont on fe propose d'extraire les racines ne font pas des puiffances parfaites du degré demandé, & alors il eft impoffible d'en trouver une racine exacte; c'est-à-dire, telle que l'unité multipliée par cette racine autant de fois fucceffivement que le degré de la racine contient d'unités, rétabliffe le nombre ou la grandeur algébrique qu'on a propofée pour puiffance. Dans ce cas on eft obligé de fe contenter d'en approcher, & comme on peut toujours rendre l'erreur auffi peu confidérable qu'on veut, on parvient à une racine approchante de la vraie, & on néglige la différence prefque infenfible qui fe trouve entre la racine approchée qu'on a trouvée & la racine exacte qu'on ne peut avoir. Ces racines de puissances imparfaites ne peuvent s'exprimer ni en entiers ni en fractions, parce qu'elles n'ont point de rapport déterminé avec l'unité. On les repréfente par le figne qu'on met au-dessus des quantités propofées, avec un expofant égal au degré de la racine demandée, & on les appelle incommenfurables. = Pour donner une idée nette de ces grandeurs incommenfurables, fuppofons qu'on demande la racine carrée de 24: comme 24 n'est pas un carré parfait, il eft clair que la racine carrée de 24, qui doit être plus grande que 4 V16, & plus petite que 5 = √25, ne pourra s'exprimer en nombres entiers; mais si l'on fuppofe que cette racine puiffe être le nombre 4 avec une fraction, par exemple 4+, qui étant réduit donnera la fraction excédente ; il est aisé de prouver le contraire. Toute fraction quelconque qu'on fuppofera exprimer la racine exacte d'une puiffance imparfaite ou fera réduite à fes plus fimples termes ou pourra y être réduite, & alors fes termes étant primitifs entre eux peuvent être représentés en général par les deux termes a & b a de la fraction Mais à quelque puiffance qu'on éleve la fraction dont les termes n'ont aucun divifeur commun, les fractions a aa bb a' at aTM qui exprimeront fes puissances, ne pourront fe réduire b3 b + bn en entiers. Car pour réduire une fraction en entier, il faut que fon numérateur foît multiple de fon dénominateur; or a" ne contient aucun divifeur b, a" n'eft compofé que de l'unité multipliée m fois fucceffivement par le feul divifeur a, par conféquent le dénominateur b" n'étant pas aliquote de fon numérateur a", la fraction ne b pourra jamais être réduite en un entier : Donc la fraction qu'on pourroit fuppofer la racine exacte d'une puissance imparfaite n'aura de quantité entiere pour aucune de fes puiffances, & réciproquement une puissance imparfaite ne peut avoir pour fa racine exacte une fraction; & comme cette racine ne peut être un entier, il eft aisé d'en conclurre que toute puiffance imparfaite ne peut avoir de racine exacte, & que l'unité multipliée par quelque quantité commenfurable que ce foit autant de fois fucceffivement que l'indique le degré de la puiffance demandée, ne pourra jamais rétablir exactement la grandeur propofée. 205 Lors donc qu'on fe propofe d'extraire une racine quelconque d'une grandeur qui n'eft pas une puiffance parfaite de même degré que la racine qu'on en veut extraire, on prend dans la quantité propofée la partie la plus grande qu'il foit poffible & qui compofe une puiffance du degré demandé, & regardant cette puiffance trouvée comme la puiffance parfaite de la premiere partie d'un binome, fa tacine exacte eft prife pour le premier terme de la racine cherchée, & calculant comme pour une puiffance parfaite, on approche tant qu'on veut de la véritable valeur de la racine imparfaite; c'eft-à-dire, qu'on rendra l'erreur auffi petite qu'on voudra, en cherchant la racine demandée comme fi cette racine étoit une grandeur commenfurable; & on approchera d'autant plus de fa véritable valeur, qu'on aura pouffe le calcul plus loin. Lorsqu'on ne veut pas s'embarraffer dans de longs calculs, on peut par un moïen fort fimple que nous allons examiner, trouver la valeur approchée de la racine demandée d'une grandeur numérique: nous traiterons enfuite de l'approximation des racines algébriques. 206 Lorfqu'il s'agira d'extraire la racine quelconque d'une quantité numérique, il est évident que l'on trouvera la racine du plus grand carré ou du plus grand cube, &c. qui y foit contenu, & que telle différence qui fe trouve entre le nombre propofé & ce plus grand carré, ce plus grand cube, ou enfin le plus grand nombre possible qui foit une puissance exacte du degré demandé, la racine exacte de cette premiere partie ne peut différer d'une unité entiére d'avec la vraie valeur de la racine cherchée, puifque s'il y avoit une unité entiere la racine feroit un nombre entier, & s'il y avoit entre ces deux racines une différence plus grande que l'unité, on n'auroit pas pris le plus grand nombre poffible qui foit une puissance exacte du degré propofé, Par exemple, la racine carrée de 24 eft plus grande que 4 & plus petite que 5, car 4 eft la racine de 16, & 5 eft la racine de 25, & comme la racine de 24 doit être entre 4 & 5, on voit que la racine de 16 ou 4 ne peut différer d'une unité de la racine de 24, puifque 4+1 = 5 est la racine de 25 > 24; ces racines peuvent encore moins avoir entre elles une différence plus confidérable que l'unité, De même la racine carrée de 42 est plus grande que 6 =√36, & plus petite que 7V 49. 207 Soit une grandeur numérique quelconque représentée par a, fon carré fera a3, fon cube a3, fa quatrième puissance a*, &c. fi l'on cherche enfuite les pareilles puissances du nombre entier immédiatement fuivant a+1, on aura P-- = a2+2a+1, P a+I = a2 + za2 + 3a + 1, P2 —— a2 + 4a3 + 6a2+4a+1. Et fi l'on retranche des puiffances de a+1, les puiffances de a, on aura leurs différences 2a+1, 3a2+za+1, &c. c'est-à-dire, que fi deux nombres différent d'une unité, leurs carrés différent entre eux du double du plus petit nombre plus l'unité, & que leurs cubes différent de trois fois le carré du petit nombre, trois fois le petit nombre plus l'unité. Donc Donc en extraïant la racine carrée d'une quantité quelconque, il ne peut rester à chaque extraction particuliere plus que le double de la racine trouvée, car s'il refte une unité de plus, on a pris pour le chiffre précédent de la racine un nombre trop petit d'une unité (207). Donc en extraïant la racine cubique d'une quantité quelconque, il ne peut refter à chaque extraction particuliere plus que le triple du carré de la racine trouvée, & le triple de cette racine: car s'il reste une unité de plus, c'est une marque évidente que le chiffre dernier mis à la racine eft trop petit d'une unité (207). Ainfi 25 ou P = 16 (P1 ̃ ̄) + 2 × 4 + 1 = 16+9=25 Pou 81 = 64 (P8) +2 × 8 + 1 = 64 + 17 = 81. = De même on verra que les cubes de 4 & de 5, de 8 & de 9, &c. ont entre eux la différence que nous venons de trouver entre les cubes de a & de a+1; car 125 64+3×4+3×4+1=64+48+ 12+1= 64+61, & 9'=8'+3.×8'+3 × 8'+1, ou 729=512+ 192+24+1=512+217. 208 Sur ce fondement. Quand on veut extraire la racine carrée d'une grandeur numérique qui n'eft pas un carré parfait, on cherche d'abord le plus grand carré qui foit contenu dans le nombre propofé, & après l'en avoir retranché on fait du resté le numérateur d'une fraction à laquelle on donne pour dénominateur le double de la racine trouvée plus l'unité. 69 Ainfi la racine carrée de 5253 fera 72+5. La racine carrée de 4537 fera 67+ 48 Et en général la racine carrée de a'+b fera a + b 2a+1 209 On aura auffi la valeur approchée de la racine cubique d'un nombre qui n'eft pas un cube parfait en retranchant de ce nombre propofé le plus grand cube qui y foit contenu, & prenant le refte pour numérateur d'une fraction à laquelle on donnera pour dénomínateur trois fois le carré de la racine trouvée, trois fois cette racine, plus l'unité. 1252 Ainfi la racine cubique de 86436 fera 44+ b 3a2+za+ ! Tome I. E e |