210 Il est encore aifé de fe convaincre que ces valeurs font différentes de la véritable en les élevant aux puiffances demandées. Par exemple, 72+, élevé au carré, c'est-à-dire, 145 72X145+69 donnera 5253 +176, & on trouvera de même que les valeurs ap 4766 21025 prochées des autres racines font ou au-deffous ou au-deffus des véritables racines; puisqu'étant multipliées par elles-mêmes une ou deux fois, elles donneront des quantités plus grandes ou plus petites que les nombres propofés pour carrés ou pour cubes: mais pour en donner une idée plus claire, & s'éviter en même tems un calcul affez b peu utile & trop embarrassant fi l'on réduit le mixte a+ 2a+1 en par elle une feule fraction (110), & qu'on multiplie cette fraction même, on trouvera pour fon carré une grandeur différente de la quantité propofée a'+b. Car la racine fuppofée a+ & cette fraction étant élevée au carré ou (2a2+a+b)'= Il eft vrai qu'il femble d'abord que la partie fractionnaire de cette racine approchée pourroit fe détruire & elle fe détruiroit en effet s'il étoit poffible que bb=2ab+b, car alors le carré positif bb feroit anéanti par les deux termes négatifs -2abb, & le numérateur bb-2ab-b devenant égal à zero, la quantité entiere a2+b resteroit feule & fe trouveroit rétablie par la multiplication de la racine fuppofée par foi-même. Pour prouver le contraire, fuppofons pour un moment bb-2ab-b=0, ou bb = 2ab+b, en divifant tous les termes par b, on aura donc b= 24 + 1; c'est-à-dire, que cette fraction ne s'évanouira que quand on aura b= 2a+1. Mais nous avons vû que fi au carré a on ajoute 2a+1, on aura le carré immédiatement fuivant dont la racine fera a+1 ; & comme dans l'hipothèse b doit être plus petit que 2a+1, il est évident que cette fraction ne s'évanouira pas. On pourra faire des remarques femblables fur les puissances plus élevées. 211 1000 Mais on approchera beaucoup plus de la véritable valeur de la racine numérique d'une puiffance imparfaite en fe fervant de la progreffion décimale des nombres continuée au-dessous de l'unité, c'està-dire, en ajoutant à la quantité propofée autant de zeros qu'on voudra pour former un nombre exact de tranches de chiffres décimaux dont chacune fournissant à la racine un chiffre décimal, donnera moïen d'approcher tant qu'on voudra de la racine cherchée : ainfi de quelque degré que foit la racine qu'on fe propose d'extraire, fi on ajoute à la puissance imparfaite une tranche de zeros, la racine approchée ne fera pas au-deffous ou au-deffus de la vraie racine de la valeur de l'erreur ne fera pas de, en mettant deux tranches: elle fera moindre que on ajoute trois tranches, & elle fera moindre que fi on en met quatre, & ainfi de fuite ; & comme nous avons vû (156), fi le reste est plus grand que la moitié du dernier divifeur, on ajoutera une unité au dernier chiffre décimal de la racine ce qui rendra encore l'erreur plus petite de moitié : ainfi la plus grande erreur poffible ne fera pas de, ou de, ou de, ou de, &c. en ajoutant une, ou deux, ou trois, ou quatre, &c. tranches de zeros au nombre propofé. On obfervera dans l'opération de faire paffer par le point qui fépare les entiers d'avec les décimales, une des lignes verticales qui divifent la puiffance en plufieurs tranches, & après avoir fait l'extraction à l'ordinaire, on placera le point qui doit précéder les décimales, enforte qu'il y ait après lui autant de chiffres qu'on a ajouté de tranches de zeros. 10000 20000 212 Donc on approchera de la racine exacte d'un carré imparfait, en ajoutant à ce carré imparfait une ou plufieurs tranches de deux zeros chacune, & faisant l'extraction à l'ordinaire (196). Par exemple, fi l'on demande la racine carrée du nombre 552, on pourra l'écrire fous cette forme 5152,|00|00|00|00|00, & l'on trouvera 23.49468 pour fa racine trop petite, & 23.49469 pout sa racine trop grande qui eft plus proche de la véritable valeur. Par une opération femblable on trouvera pour la racine approchée de 136 ou de 136 00 00 00 00 la quantité numérique 11.6619. 200000 Comme on a ajouté à la puissance imparfaite 552, cinq tranches de zeros, & que le refte eft plus grand que la moitié du dernier divifeur, la plus grande 23.49469 des deux racines que l'on peut pren dre ne differe pas de la véritable racine de ...... de l'unité principale ; par la même raison, la racine 11.6619 ne differe pas de la vraie racine incommenfurable de 136.00oooooo, de la valeur de, & par conféquent on peut négliger des erreurs auffi peu confidérables. 213 Donc auffi l'on aura la valeur approchée de la racine exacte d'un cube imparfait en ajoutant à ce cube imparfait une ou plufieurs tranches de chacune trois zeros, à proportion qu'on voudra approcher plus près de la véritable valeur de la racine impoffible demandée.. Par exemple, fi l'on demandé la racine cubique approchée de la quantité numérique 9532, enforte que l'erreur foit moindre que , on ajoutera à ce nombre 9532, trois tranches de zeros, & on fera l'extraction comme ci-dessus (200), cette opération donnera 21,529. .3000 214 Lorfque l'on veut extraire la racine quelconque d'une fraction numérique dont les deux termes ne font pas des puiffances parfaites de même degré que la racine demandée, on peut approcher de la racine de cette fraction par le moïen des fractions décimales, & pour cela 1o. On réduira la fraction à fes plus petits termes poffibles, & fi la fraction ainsi réduite fe trouve avoir un dénominateur de la puif fance demandée, on en extraira la racine exacte, & enfuite par le moïen des décimales on cherchera la racine approchée de fon numérateur (213). 2o. Si la fraction réduite à fa plus fimple expreffion n'a point un dénominateur de la puiffance demandée, que fon numérateur foit ou ne foit pas une puissance de même dégré, on multipliera le numérateur de la fraction par fon dénominateur autant de fois que l'exige le degré de cette puiffance demandée, c'est-à-dire, qu'on multipliera le numérateur une fois par fon dénominateur fi l'on demande une racine carrée, deux fois pour une racine cubique, &c. & prenant enfuite le dénominateur de la fraction propofée pour le dénominateur de la racine, on cherchera par le moïen des décimales la racine approchée du numérateur de cette fraction ainfi transformée. Cette multiplication ne change point la valeur de la fraction, car on multiplie les deux termes une ou plufieurs fois par une même quantité, & par conféquent on les multiplie également: donc on ne change pas la valeur de la fraction propofée (101). On voit bien qu'il feroit inutile de prendre la peine de multiplier le dénominateur propofé par lui-même une ou plusieurs fois, il suffit de multiplier le numérateur une ou plufieurs fois par le dénominateur, & de conferver le dénominateur propofé pour être celui de la fraction qui exprimera la racine cherchée. Par exemple, fi l'on demande la racine carrée de la fraction qui eft réduite à fa plus fimple expreffion, & dont le dénominateur 7 n'eft point un carré, en multipliant fon numérateur 5 par 7, la fraction deviendra, extraïant la racine carrée de 35 (214), & prenant le premier dénominateur 7 pour celui de la racine fractionnaire cherchée, on aura pour la racine de 5.911 24 Si l'on demande la racine carrée de ou de qui est de même valeur, multipliant le numérateur 8 par 11, on aura, & cherchant la racine approchée du numérateur 88, la racine demandée fera 1 De même fi l'on demande la racine cubique de, quoique le numérateur 27 foit le cube parfait de 3, on multipliera 27 par 1600 carré du dénominateur 40, & l'on cherchera la racine approchée du numérateur de la fraction de même valeur qui donnera 15:25 11 43200 40X40X40 ce On voit qu'en multipliant 27 par le carré de 40, & indiquant la multiplication du dénominateur 40 par ce même carré, on multiplie toute la fraction par le carré de 40 & le dénominateur est par conféquent le cube de 40, dont la racine cubique fera nécessairement 40. 215 Il fera encore plus commode de fe fervir des fractions décimales pour approcher tant qu'on voudra de la valeur exacte impoffible de la racine d'une fraction dont les deux termes ne font point des puiffances parfaites du degré dont on demande la racine. Pour cela on transformera la fraction propofée (152) dans une fraction décimale qui ait un nombre de chiffres décimaux égal ou double ou en général multiple du nombre qui exprime le degré de la racine qu'on en veut extraire, afin que le dénominateur fuppofé 100, 1000, 10000, &c. foit une puiffance parfaite du même degré. Enfuite on extraira la racine du numérateur, qui n'aura qu'un nombre de chiffres fous-double, fous-triple, ou en général fousmultiple de celui des chiffres décimaux de la puissance imparfaite fur laquelle on a operé. Donc fi l'on demande la racine carrée d'une fraction, on la transformera dans une décimale qui ait un nombre pair 2, ou 4, ou 6, ou 8, &c. de chiffres, afin que fon dénominateur fous-entendu foit 100, ou 10000, ou 1000000, ou 10000òooo, &c. & par conféquent un nombre carré, & fa racine aura 1, ou 2, ou 3, ou 4 chiffres, c'est-à-dire, que fa racine n'aura que la moitié du nombre des chiffres de la fraction transformée. Si l'on demande la racine cubique d'une fraction, on la réduira en une fraction décimale qui contienne un nombre ternaire 3, 6, 9, ou 12, &c. de chiffres décimaux, afin que fon dénominateur fous-entendu foit un nombre cube, & que fa racine ait 1, 2, 3, ou 4 chiffres. 2 Il en fera de même à proportion des puiffances plus élevées. Par exemple, fi l'on demande la racine carrée de la fraction; ajoûtant fix zeros au numérateur 2, on aura , divifant le nouveau numérateur 2.000000 par 3, on aura pour quotient 0.666666 dont la racine carrée fera 0.816. 0.66/66/66 {0.816 2.000000 = 3 266 De même si l'on demandoit la racine carrée de la fraction, on auroit 23 23.00000000 25 =0.92000000 dont la racine trop grande |