Essais sur les mathématiques, expliqués & demontrés

fera 0.96, ou 0.960, ou 0.9600, &c. & dont la racine trop petite fera 0.9599.

Si l'on demande la racine cubique de la fraction, on aura à fort peu près ou 0.9 pour la racine demandée; car en faifant l'extraction de 0.750000000=, l'opération donnera 0.907.

90 eft plus

dans laquelle on pourra remarquer que le fecond chiffre décimal doit être zero, parce que 24300 triple du carré de grand que 21000 refte des deux premieres tranches.

I I.

De l'Approximation des Racines algébriques.

Il y a différens moïens pour approcher de la racine exacte impoffible d'une quantité algébrique qui n'eft pas une puissance parfaite de même degré que la racine qu'on demande; mais la plûpart ne font pas toujours praticables. Le feul qu'on puiffe toujours emploïer ne peut même être entendu que par ceux qui favent le calcul des expofans dont nous ne devons pas fuppofer la connoissance. C'est pourquoi nous nous contenterons d'expofer ici fuccessivement les premiers, & nous referverons le dernier pour l'expliquer après que nous aurons vû le calcul des expofans.

La premiere méthode que nous en allons donner eft moins une approximation qu'une réduction par laquelle on change une expreffion compofée en une autre plus fimple.

216 Pour trouver la racine imparfaite d'une quantité algébrique, on féparera cette quantité propofée en deux divifeurs, de maniere que l'un (le plus grand qu'il fera poffible) foit une puiffance parfaite de même degré que la racine qu'on fe propose d'extraire, & tirant de cette puiffance la racine demandée, on mettra fur le se

cond divifeur le figne radical affecté de l'expofant du degré propofé.

Par exemple, fi l'on demande la racine carrée de a'm+a2, comme cette quantité eft le produit de a'x m+1, on prendra a racine carrée de a' pour la premiere partie commenfurable de la racine cherchée, & le second diviseur m+1 affecté du radical

en fera

la feconde partie incommenfurable. Donc Va'm+a2= ax√m+1. Si l'on veut avoir la racine carrée du polinome algébrique

8a'm+24abm +18b❜m ·

+4a'n+12abn + 9b3n.

On reconnoîtra avec un peu d'attention que ce polinome est le produit de (44+ 12ab + 9b') × (2m+n), & comme le premier diviseur est un carré parfait, fa racine 2a+3b fera la partie commenfurable de la racine cherchée, & V2m+n en fera la partie in commenfurable, en forte que la racine entiere fera 2a+3b×√ 2m+n. De même si l'on demande la racine cubique du polinome

Comme ce polinome eft compofé de la multiplication du cube (m2 + 3m3n + 3mn3+n3) × (2a—5b), on prendra la racine m+n pour la premiere partie commenfurable de la racine cherchée, & 2a-5b fera la feconde partie incommensurable de la même racine. Ce qui donnera pour cette racine m+n x V2a-5b.

Il est évident qu'il n'y aura pas plus de difficulté à appliquer cette regle aux puissances les plus élevées, puifqu'on pourra toujours découvrir les divifeurs d'une quantité & choifir celui qui fera une puiffance parfaite du degré proposé.

217 Il arrivera le plus fouvent que la puiffance imparfaite algébrique propofée aura un ou plufieurs de fes termes élevés au degré

dont

dont on demande la racine. Alors on approchera, par une fuite infinie, tant qu'on voudra de fa racine exacte impoffible.

Pour cela on transformera la puiffance imparfaite propofée en une autre quantité qui contiendra une puiffance parfaite du degré demandé avec un refte pofitif ou négatif qu'on exprimera par±r.

Par exemple, fi l'on demande la racine carrée de a2+ 3ab+2b2= a2+2ab+b2 (carré de a+b, avec un reste) +ab+b2, on suppofera le carré parfait a'+2ab+b2 = x2, & le refte +ab+b2=+r, enforte que la quantité proposée a' + 3ab + 26'x'+r, on cherchera la racine carrée de x'+r, & après l'avoir trouvée on fubftituera a+b, ab+b' & leurs puiffances à la place de x, r, & leurs puiffances pareilles.

Si l'on demandoit la racine cubique de a'+b', on fuppoferoit x=a+b, & x3 = a3 + za’b+3ab'+b', & comme à ce cube on a ajoûté la quantité négative - 3a'b- zab', on supposeroit auffi - 3a2b― zab2 = =-r, & on auroit —r = a3+ b', on chercheroit la fuite infinie qui doit exprimer la racine de x3-r, & on substitueroit dans les termes de cette fuite a+b & fes puiffances à la place dex & fes puiffances, & on remplaceroit de même -r & fes puiffances par 3a1b—zab1 & ses puissances pareilles.

Car toute grandeur qui n'eft pas une puiffar ce parfaite d'un degré quelconque propofé, contient nécessairement une puiffance parfaite du même degré avec un refte pofitif ou négatif. Mais comme on ne connoît pas les quantités propofées ni le rapport qui eft entre elles, on ne pourra emploier cette méthode que dans le cas où l'on aura un ou plusieurs termes élevés au degré dont on demande la racine. On ajoûtera donc ce qui manque, ou l'on fouftraira ce qu'il y a de trop pour compofer une puiflance parfaite du degré demandé; mais en même tems pour ne point changer la valeur de la quantité proposée, on repréfentera per-r, ce qu'on aura ajouté à cette quantité, ou au contraire on exprimera par+r ce qu'on aura retranché de cette quantité pour avoir une puiffance parfaite du degré demandé, & on cherchera la racine approchée de cette puiffance parfaite quelconque " avec fon refter felon qu'on en a retranché ou qu'on y a ajoûté.

Cela pofé, on commencera par extraire la racine de la premiere partie de la grandeur propofée; c'est-à-dire de la partie qu'on aura fait répondre à x', & regardant la quantité qui correfpond àr comme devant contenir les produits de la premiere partie trouvée par la feconde que l'on cherche, & la puiffance n de cette feconde, partie; on fuivra la méthode que nous avons donnée (195, &c.) Four Tome I. Ff

l'extraction: c'est-à-dire, qu'on comparera la puissance imparfaite fuppofée avec la puiffance parfaite du degré demandé du binome pis, & l'on trouvera une fuite infinie qu'on pourra continuer auffi loin qu'on voudra. Plus cette fuite contiendra de termes, plus elle approchera de la racine impoffible demandée.

Puifqu'on peut représentet une puiffance imparfaite quelconque par le binome x±r, il nous fuffira de chercher les fuites qui expriment les racines imparfaites de ce binome, d'après lefquelles on pourra former les fuites ou racines des quantités propofées.

EXEMPLE I.

Qui peut fervir de formule pour la racine carrée.

En fuivant les principes de l'extraction, on aura pour la racine r la fuite infinie

carrée de