On y remarquera que les termes qui contiennent les puiffances paires de r font toujours négatifs quelque figne qu'on suppose à l'excès ou défaut r dans la puiffance imparfaite propofée. Au contraire le figne qui affecté les puissances impaires de r défigne que quand r fera pofitif il faudra prendre le figne fupérieur+, le figne inférieur convient pour les cas où r eft négatif. & que Par conféquent lorfque r fera négatif, tous les termes qui le contiennent (c'est-à-dire tous excepté le premier x où r ne se trouve point) feront négatifs. Quand r fera pofitif, tous les termes de la fuite dans lesquels r se trouve contenu feront alternativement pofitifs & négatifs à commencer par le second terme de la fuite qui eft le premier qui contienne r. On voit encore dans ces formules que r croît d'une dimenfion à chaque terme dans l'ordre de la fuite naturelle des nombres O. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. &c. enforte que dans un terme quelconque dont le numero feroit n, le numérateur r auroit pour expofant n-1, par conféquent en ajoûtant l'unité à l'expofant de r dans un terme quelconque, on aura le numero de ce terme. x & ses puissances feront dans les dénominateurs en telle forte que d'un terme à l'autre l'expofant de x fera augmenté de la quantité n, par exemple le premier contiendra x=-, le fecond = I xr Ir & dans les fuivans, on aura x2”—1 &c. ces expofans formeront donc une fuite infinie n-1, 2n-1, 3-1, 4n-1, Sn-1, &c. Enfin le coefficient de chaque terme fera formé du coëfficient du terme précédent multiplié par l'expofant de x dans le terme précédent pris en fens contraire, & divifé par la partie positive de l'expofant que x a dans le terme actuel auquel on veut donner un coefficient, par exemple dans la derniere de ces formules, le dixiéme terme contient x dont l'exposant 9n-1 pris en fens contraire ou négativement fera 1-9n. Donc pour avoir le coefficient du onziéme terme on prendra celui du dixième, on le multipliera par 1-9n, & on divifera le produit par 1on qui eft la partie positive de l'expofant ion-1 qui affecte x dans ce onzième terme. - Quelque puiffe être le rapport inconnu de x à r, on voit bien que les termes fractionnaires décroiffent à l'infini, & fi l'on fuppofe x plus grand que l'unité quelque valeur finie qu'on fuppofe à r, ces termes décroîtront tellement qu'on n'aura pas besoin de pouffer l'approximation fort loin pour parvenir à des fractions si petites qu'on pourra négliger le furplus fans erreur fenfible. Comme il eft naturel de faire tomber l'erreur fur la moindre partie, fi l'on connoît quelle eft celle des lettres qui exprime la plus grande des quantités qui entrent dans la compofition de la puissance imparfaite propofée, & que cette lettre se trouve élevée dans quelque terme à la puiffance dont on demande la racine, on ne manquera pas de mettre ce terme au nombre de ceux qu'on fera répondre à x”. Par exemple, fi l'on demande la racine troifiéme de la quantité 8a'+9a'b+9ab2+27b, & qu'on fache b>a, on prendra dans les termes qu'on fera répondre à x', le cube 2763 par préference au cube 8a', & fuppofant 27b'+9ab'+ga'b+8a' = = x2+r, on aura x=3b+a, & par conféquent x' 276' + 27ab2+9a3b+a3, & T=7a-18ab' dont on cherchera la racine approchée par le moïen de la feconde des fuites qu'on a données ci-devant (217). = Si outre cet avantage on avoit encore celui de connoître le rapport des quantités qui entrent dans la composition de la puissance imparfaite propofée, on réduiroit toutes ces quantités à une feule fur laquelle on opéreroit felon quelqu'une des méthodes précédentes. Par exemple, fi l'on demandoit la racine cubique de 8s' + 36s31⁄2 +645*+27%' qui contient le cube de 25+33 avec un refte +10sz, & qu'on fache que = 10s, on pourra mettre 1000s', 100s', 10s, à la place de z', ', z, & on aura la quantité propofée transformée en 27008s3 + 360s3 + 6400s3 qui ne contient point de z & qui fera =337685'. On cherchera (213) la racine cubique approchée de 33768, on multipliera cette racine par s, & le résultat fera la racine demandée de la puiffance imparfaite propofée. Si on avoit fait évanouirs & fes puiffances en mettant l'article précédent la racine cubique du numérateur qu'on auroit mul Si l'on demande la racine carrée de la quantité 4a+16b'+36c qui eft la fomme de trois carrés dans laquelle on fait que a= 3b, & que b=5c, il eft clair que fi l'on ne veut point avoir de fraction, il faudra convertir les a & b en 15c & 5c, c'est-à-dire qu'il faudra laisser fubfifter la plus petite de ces trois quantités, on mettra donc 225c2 pour a', & 25c pour b, ce qui donnera 4a2+16b2+36c2 = 900c1+ 400c2+36c2 = 1336c. On cherchera la racine approchée de 1336, & on la multipliera par c. Si connoiffant les rapports des quantités qui entrent dans la compofition, on connoît encore la valeur d'une de ces quantités, il est clair que l'opération fe réduira à l'extraction d'une puissance numérique imparfaite, qu'on fera comme nous l'avons enseigné (211, 212 & 213), & la racine qu'on trouvera fera la racine demandée. Si la quantité propofée ne peut être réduite par aucun des calculs que nous venons d'expofer, c'est-à-dire, 1°. fi on ne connoît ni la valeur d'une des lettres qui la compofent ni le rapport qui eft entre elles ; 2°. fi elle ne contient aucun terme élevé au degré dont on demande la racine, & 3°. fi elle ne contient aucun divifeur qui foit une puiffance parfaite du degré de la racine qu'on veut avoir. On ne pourra approcher de la racine demandée que par le moïen d'une autre fuite infinie que nous donnerons (comme nous l'avons déja dit) après le calcul des expofans. Du Calcul des Radicaux. En calculant les grandeurs algébriques, on en rencontre fouvent 'd'incommenfurables, fur lesquelles on eft obligé d'opérer comme fur les rationnelles: mais on ne doit ou on ne veut pas toujours en représenter les racines par des fuites. C'eft pourquoi nous examinerons la nature de ces quantités pour reconnoître comment on peut les ajoûter, les fouftraire, les multiplier, les divifer, les élever aux puiffances & en extraire les racines. Pour y parvenir nous commencerons par examiner les préparations par lefquelles on peut les amener au calcul des grandeurs commenfurables. En général on indiquera une extraction quelconque d'une quantité en mettant au-deffus de cette quantité le figne affecté de l'expofant qui exprime le degré de la racine cherchée. Ainfi pour représenter la racine carrée de a+b, on écrira Va+b, ou plûtôt √a+b, parce qu'on fous-entend toujours l'expofant 2 à un radical fans ex pofant. De même V2m+3s indique la racine troifiéme de 2m+35, & en général p+s, indique la racine du degré m de p+s. Des Opérations acceffoires. 219 On réduira une grandeur commenfurable à une expreffion radicale fans en changer la valeur, en élevant cette grandeur à la puiffance de même degré que l'expofant du radical auquel on veut la réduire, & mettant cette puiffance fous le radical affecté de l'expofant proposé auquel on a élevé la puissance. 8=√64=V512; S=√25=V125; j = √ ÷ = V÷; Le figne V, V, V, eft un figne convenu pour défigner la racine feconde, la racine troifiéme, la racine du degré n de la quantité qui lui eft foumife, & comme les quantités fuppofées dans cet article font des puiffances parfaites de même degré que l'expofant des radicaux fous lefquels elles font comprises, on en pourra extraire les racines indiquées, qui ne différeront pas des grandeurs propofées. Car on aura a'b" = ab. Ce qu'il falloit démontrer. 220 Réciproquement lorfque la quantité foumife au radical sera une puissance parfaite de même degré que l'expofant du radical, on pourra extraire la racine indiquée par cet expofant, & on effacera le figne radical. 3 Ainfi 64 = 8, √512 8, V1 = V÷ Ꮴ Ꮴ a" = DEMONSTRATION. Puifque nous fuppofons que les quantités qui font fous les radicaux font des puissances parfaites, on en pourra extraire les racines & par conféquent ab va b". Ce qu'il falloit démontrer. 221 = On pourra réduire un radical à un expofant plus petit que le fien lorfque fon expofant pourra être divifé par l'expofant du radical auquel on veut le réduire, & que l'on pourra extraire de fa puissance une racine dont le degré foit égal au quotient de la division de ces deux expofans. Ainfi 256 16, VV, Vab' = Va'b; = 729 2024 En divifant l'expofant 6, 8, 9, mn, du radical par 2, 3, m, on éleve la puiffance qui lui eft foumise au carré, au cube ou à une puiffance quelconque m: mais comme on extrait en même tems de cette puiffance la racine feconde, ou la racine troifiéme ou la racine du degré m, il est évident qu'on ne change que l'expression de la quantité radicale fans en changer la valeur. Ce qu'il falloit démontrer. 222 On pourra toujours réduire un radical à un expofant plus grand que le fien pourvu que l'expofant auquel on veut le réduire foit multiple du premier expofant, en élevant la quantité soumise au radical à un degré marqué par le quotient de la divifion de ce nouvel expofant par le premier expofant propofé. Ainsi √3 = √9 =√27=V81, v;=V÷=V÷ = √ ÷ › 6 mn Vab = √a'b' = Va'b', Vab = Vab", |