DEMONSTRATION.

En multipliant par 2, par 3, ou par m, l'expofant d'un radical quelconque, on extrait ou (pour parler plus exactement) on indique l'extraction d'une racine feconde, ou troifiéme, ou du degré m de la puiffance; mais comme on rétablit cette valeur en élevant cette grandeur à une puiffance du même degré 2 ou 3 ou m, il est encore évident qu'on change l'expreffion de la quantité radicale fans en changer la valeur. Ce qu'il falloit démontrer.

223 On pourra réduire plusieurs radicaux à un même expofant plus petit qu'aucun des expofans des radicaux propofés.

Si l'expofant auquel on veut réduire eft divifeur commun des expofans propofés, & fi l'on peut extraire de chaque grandeur radicale en particulier une racine d'un degré égal au quotient de la division de l'expofant actuel du radical auquel cette grandeur est soumise par l'expofant du radical auquel on veut la réduire.

2

réduire au radical ou, comme 8, 6 & 4,

=

36, qu'on veut

peuvent fe diviser

3= de 125, & la racine 2 de 36, on aura

de 256, la racine

256= V4 √256=V4

V125=VS, V36= √6, & les radicaux proposés deviendront

V4, VS, V6, qui leur font égaux.
ᏤᏎ Ꮴ

qui aïent le même expofant n, deviendront a, b, q; car

On ne fait dans cette opération autre chofe qu'étendre à plusieurs radicaux, ce qu'on a pratiqué fur un feul dans l'article 221. Donc on change les expreffions des radicaux fans changer leurs valeurs. Ce qu'il falloit démontrer.

Tome I.

Gg

224 On pourra réduire plufieurs radicaux d'expofans différens au plus petit expofant des radicaux propofés, fi ce plus petit exposant eft aliquote des autres, & fi l'on peut extraire de chaque puissance en particulier la racine d'un degré égal au quotient de la divifion de l'expofant de fon radical par l'expofant du radical, auquel on veut le réduire.

8

Soient les radicaux 256, 36, V5; pour réduire les deux premiers, à avoir un radical comme le troifiéme dont l'expofant eft 2, divifant 8 par 2, le quotient 4 indique qu'il faut prendre la racine

4

8

quatrième de 256 ou 256 = 4; Donc √256= √4; & divifant 4 par 2, on prendra la racine seconde de 36 ou 6 pour la puisfance du radical réduit, c'est-à-dire, que 36 = √6, & le dernier radical restant le même, les trois radicaux propofés réduits comme on l'a defiré feront V4, V6, VS.

mn

De même les radicaux a", b, c, feront Va, Vb, Vc.

DEMONSTRATION.

Cette réduction eft la même que la précédente à l'égard des radicaux que l'on réduit, & comme celui qu'on ne réduit pas ne change ni de valeur ni d'expreffion, il est clair qu'aucun d'eux ne change de valeur. Ce qu'il falloit démontrer.

225 On pourra toujours réduire plufieurs radicaux d'expofans différens à un même expofant plus grand qu'aucun de ceux des radicaux propofés, en multipliant les expofans les uns par les autres, & donnant le produit pour expofant commun à chaque radical, & élevant chaque puiffance en particulier à un degré égal au nombre de fois que l'expofant de fon radical eft contenu dans l'expofant auquel on le réduit.

12

† Vab,

Ainfi 3,4 deviendront 27, 16; ab,cd deviendront

12

m

Va'b', Ve'd'; V, V; deviendront, V; enfin a,b,c,d

DEMONSTRATION.

Cette réduction n'eft que l'extenfion à plusieurs radicaux de ce que dans l'article 222 on a expliqué pour un feul radical: ainfi les radicaux réduits de cette maniere changent d'expreffions fans changer de valeurs. Ce qu'il falloit démontrer.

226 On pourra réduire plusieurs radicaux dont les expofans seront différens à un expofant commun égal au plus grand des expofans des radicaux propofés, fi ce plus grand expofant eft multiple des autres, pourvû qu'on éleve en particulier chaque puiffance à un degré égal au nombre de fois que fon expofant eft contenu dans celui auquel on le veut réduire.

3

6

Ainfi pour réduire V3, V3, V4, V4, VS, , au même expofant radical, laiffant le dernier tel qu'il eft, on élevera la puiffance 3 du premier au cube, & la puissance 4 du fecond au carré, & l'on

6

3

6

aura √3 = √27, V4 = √16.

Cette réduction n'eft, à l'égard des radicaux que l'on réduit, qu'un cas particulier de l'article précédent, & puifque celui qu'on ne réduit pas ne change ni de valeur ni d'expreffion, aucun ne change de valeur. Ce qu'il falloit démontrer.

227 On a fouvent befoin de réduire à l'unité le coefficient quelconque d'un radical: c'eft-à-dire, de faire enforte que ce radical foit fans autre coefficient que l'unité.

Pour cela, il faut élever le coefficient du radical à la puiffance marquée par l'expofant de ce radical, multiplier la quantité qui est déja fous le radical par cette puiffance de fon coefficient, & affecter le produit du même radical fans coefficient.

Par exemple, fi l'on a la quantité 65, on prendra le carré 36 du coefficient 6, & multipliant la puiffance 5 par 36, on aura pour la valeur de 65, le radical V180 qui lui eft égal, & qui n'a d'autre coëfficient que l'unité.

On aura de même a√c=ya'c, ab√m = √ a'b'm..

an

a"b

Et en général aỳb =ỳæb, ‡ỷb = V.

DEMONSTRATION..

=a√b,

Soit ab=x, divisant par a ces deux quantités égales xavb,

n

= √b, élevant chacune à la puissance du degré n, cet

deviendra x" = a"b, enfin tirant la racine du degré n, on trouve

x=a"b; mais nous avons supposé x= ab. Donc ab=ab. Ce qu'il falloit démontrer..

228 On pourra réduire un radical au plus fimple expofant qu'il puiffe recevoir lorfque fon expofant ne fera pas une quantité primitive, & que la puiffance qui eft fous le radical fera telle qu'on en pourra extraire une racine d'un degré égal au quotient de la divifion de l'expofant du radical propofé par l'expofant du radical auquel on veut le réduire..

Cette réduction n'eft qu'un cas de l'article 223 ou 224. 229 Pour réduire un radical au plus fimple terme possible..

On commencera par réduire fon expofant à fa plus fimple ex-preffion poffible (228), fi après cette réduction, la quantité qui eft fous le radical fe trouve une puiffance parfaite de même degré que l'exposant du radical, on en extraira la racine, & le radical s'éva→ nouira.

Si cette quantité après la réduction de l'expofant ne fe trouve pas une puiffance parfaite de même degré que la racine indiquée, on tâchera de la diviser par quelqu'un de fes divifeurs qui foit une puif

fance parfaite du degré du radical, en prenant la plus grande qui pourra s'y trouver contenue, & lorfque cette divifion fe fera exactement, le quotient qui en réfultera fera la puiffance du radical réduit qui ne changera pas d'expofant, & multipliant le précédent coëfficient du radical propofé par la racine de la puissance par laquelle on aura divifé la quantité qui lui est soumise, le produit fera le coëfficient de ce radical réduit. Donc cette racine elle-même fera le coëfficient du radical réduit, fi le radical propofé n'a pas d'autre coëfficient que l'unité; car le produit d'une grandeur quelconque par l'unité eft cette grandeur même.

Par exemple, on réduira 3 V108 en divifant la puiffance 108 par le plus grand carré qui puiffe la diviser exactement, & comme ce plus grand carré fera 36, parce que 108=36×3, on divisera 108 par 36, & le quotient 3 fera la puiffance du radical réduit, dont le coëfficient fera le produit de 6, V36 par 3 coefficient du radical propofé. On aura donc 31083136×3=6×3√3=18√3,

3

De même fi l'on veut réduire 108 à fa plus fimple expreffion, on remarquera que 27 est le plus grand cube qui puisse exactement divifer 108=27×4, on aura donc 1083√4.

3

3

DEMONSTRATION..

La réduction expliquée dans cet article eft l'inverse de celle de l'article 227. D'ailleurs on peut la démontrer directement en cette forte.

n

x

Soit x=ay bc, divifant par a, on aura — = x=abc,

a

22

be, élevant

ces deux grandeurs égales à la puiffance n, elles deviendront

an

= bc, multipliant par a", on aura x"a"b"c, ou x"= a"b" × c, & tirant la racine du degré n, on aura x = abc mais nous avons fuppofé x=a"b"c: Donc a/b"c=abc. Ce qu'il falloit démontrer.

Lorfque dans un calcul on a des radicaux dont les puiffances font: des entiers, mêlés à des radicaux dont les puiffances font des fractions,