235 Des grandeurs incommenfurables en elles-mêmes peuvent être commenfurables entre elles, & elles le feront toujours lorfqu'aïant la même puiffance & le même expofant fur leurs fignes, elles ne différeront que par leurs coëfficiens: ainfi 72, 5V2, a√2° font des grandeurs commenfurables entre elles qui ont pour commune mesure 12. Des grandeurs incommenfurables en elles-mêmes peuvent être 'commenfurables entre elles. Pour découvrir leurs rapports, on les réduira aux plus fimples termes poffibles, & par cette réduction elles deviendront commenfurables entre elles; finon elles feront incommensurables tant entre elles qu'en elles-mêmes. Par exemple V & √ étant réduits à leurs plus fimples expressions feront les grandeurs VS, Vs, commenfurables entre elles. 236 Pour connoître autant qu'il eft possible le rapport des grandeurs incommenfurables tant entre elles qu'en elles-mêmes, on leur donnera un même expofant, & on réduira leurs coëfficiens à Kunité. Par exemple, fi l'on veut découvrir le rapport des deux radicaux 3√15, 4110, qui ont le même expofant, en réduifant leurs coef ficiens à l'unité, on aura √125, 160, dont le dernier est visiblement le plus grand. Des Opérations principales. Les opérations principales ne différent prefque pas des opérations femblables fur les grandeurs commenfurables, c'eft pourquoi nous nous dispenserons de donner les démonftrations de celles-ci, attendu que les précédentes peuvent s'y appliquer. DE L'ADDITION. 237 Pour ajouter ensemble plufieurs radicaux, on les réduira à leurs plus fimples termes s'ils n'y font pas déja, & fi après cette réduction ils s'en trouve qui foient commensurables entre eux, on les réduira en un feul auquel on donnera pour coëfficient la fomme de leurs coëfficiens. Ceux qui ne feront pas commenfurables avec les autres, feront ajoutés à leur fuite avec leurs propres fignes. 3 Ainfi pour ajouter ensemble les deux radicaux 243 & 81, en les réduisant à leurs plus fimples termes, on trouvera qu'ils font commenfurables entre eux, & que leurs valeurs 39+ leurs valeurs 3 √9+9=4V9; De même si l'on a ab, cb, dyb, yb, en les ajoûtant leur fomme fera (a+c+d+1) Vb. Dans tout autre cas on ne pourra qu'indiquer l'addition; par exemple + a√b, + dvc, mvpq, - n√xy, étant ajoutés, donneront pour fomme avb+dc - m√ pq - п√xy. Les radicaux fractionnaires V, Va d donneront pour leur fomme (2+ + 2) V 4+ m a d b'm Ꮴ n VP, n'auront point d'autre expreffion de leur n DE LA SOUSTRACTION. 238 Pour fouftraire un radical d'un autre radical, on les réduira tous deux à leurs plus fimples expreffions, s'ils n'y font pas déja réduits; & fi après cette réduction ces deux radicaux fe trouvent commenfurables entre eux, on prendra pour leur différence celle de leurs coëfficiens. 6 Ainfi pour fouftraire du radical 243 le radical 81, en les &√9, réduisant aux plus fimples termes, on aura 39 & 9, dont la diffé De même 4√a➡3√α=√a, 6√ ab +2√ab = 8√ab &c. Quand les radicaux propofés ne font point commenfurables entre eux, on ne peut les fouftraire qu'en écrivant le fouftracteur à la fuite du fouftréande en changeant le figne du fouftracteur. Si de +2a+b, on veut retrancher +3a, on aura 2 Va+b3Vui De 4V mn+nn retranchant 3 *སྐྱངས ན་ * * 3 Vax, la différence fera 4 Vmn+n' Retranchant-ade+p V, V Ꮴ n DE LA MULTIPLICATION. 239 On multipliera un radical par une grandeur commenfurable en multipliant le coefficient du radical par la grandeur commensurable. √3 × 2 = 2√3, V}×2=2V} » V; × a = a V¦, Vax2=2va, Vaxa = ava=√ a3, V÷xm=my;. 240 Pour multiplier l'une par l'autre deux grandeurs incommenë Lurables, il faut 1o. Leur donner même exposant fi elles ne l'ont pas déja, 2o. Multiplier le coefficient de l'une par le coëfficient de l'autre, 30. Multiplier la puiffance de l'une par la puiffance de l'autre. Ainfi evb × cvd = ac√bd, Vax Va = √ a2 = a. Si l'une des deux puiffances ou toutes deux font des quantités polinomes, & fi les radicaux font précédés auffi de quantités commenfurables de plufieurs termes le calcul fera plus long fans être plus difficile. par Multiplier a+vab Vab + vbc Vab + Vac produit ab+b√ ab+a√ bc + by acab+by actar be+cy ab Le produit fera '+2a·√ ́a’—b’+ a'—b' = 2'a'—b' + 2√a'—b'; produit 2 2 2 abc3+b3c√àa—x2+ac2√√àa—y2+be√a^—a’x2—a’y’+x'y'. DE LA DIVISION. 241 Pour divifer un radical par une grandeur commenfurable, on divifera le coëfficient de ce radical rable. par le divifeur commenfu P Par exemple, pour divifer pab par c, le quotient fera-Vab mn par, le quotient fera cmn. Divifant Divifant abmn par a, le quotient fera bymn, |