mode & plus fimple de les calculer par leurs expofans, que d'y appliquer le calcul ordinaire ou celui des radicaux : parce qu'on a la commodité de calculer les fractions comme des entiers, & par conféquent de ne point admettre de fractions. Ce n'eft pas qu'il n'y eut encore de l'avantage à calculer des polinomes fractionnaires par leurs expofans, mais il y auroit d'ailleurs l'inévitable inconvenient. de multiplier chaque terme du polinome numérateur par chaque terme du polinome dénominateur, ce qui augmenteroit confidérablement le nombre des termes, & rendroit le calcul plus embaraflant. C'est pourquoi ce calcul ne s'emploïe ordinairement que pour calculer des monomes entiers ou fractionnaires, commensurables ou incommenfurables. 249 Selon ce que nous avons vû (50), l'expofant fait voir que la quantité qui lui eft foumife eft multipliée par l'unité autant de fois fucceffivement que cet expofant contient d'unités. Ainfi l'unité multipliée n fois fucceffivement par a donnera a”. Ixaxaxaxaxa = a'; Ixaxaxaxa=a*; I×a×a×a=a'; Ixaxa = a; 1 ×a=a'= a. En divifant une puiflance quelconque comme a" par une autre puiffance de la même quantité, telle que a", on a vû qu'il falloit fouftraire l'expofant du diviseur de l'expofant du dividende. Par con 250 Donc une quantité quelconque élevée à la puissance zéro, sera égale à l'unité. Car elle fera égale à une fraction dont les deux termes feroient égaux, & une telle fraction est égale à l'unité. 251 Donc une quantité quelconque élevée à une puissance négative est égale à une fraction qui a l'unité pour numérateur, & dont 1 le dénominateur eft la quantité elle-même affectée du même expofant changé de négatif en positif. Nous avons pareillement vû (173), que va = a3, va = a3, Va = a13, & en général va "a =a"; c'est-à-dire que pour extraire la racine quelconque n d'une quantité telle que a", il faudra diviser l'expofant m de la puissance par le degré a de la racine qu'on en 252 Donc on pourra toujours changer un radical dont la puiffance eft un monome en une expreffion exponentielle, en prenant la puiffance du radical pour la quantité foumise à l'expofant, & lui donnant pour expofant celui de la puissance du radical divisé par 3 l'exposant du signe ; c'est-à-dire que va=a3, va=a‡, va =a V = = √1 ̄ (251) = a ̄ 2, V2 V Et plus généralement encore a 253 Réciproquement on pourra changer une quantité exponentielle dont la puissance eft une fraction en une expression radicale; en prenant la quantité foumise à l'expofant pour puiffance du radical, le numérateur de la fraction qui exprime l'expofant, pour l'expofant de cette puiffance, & le dénominateur pour expofant du figne radical. On doit appliquer ici les exemples ci-deffus; car on ne peut avoir m Va a qu'on n'ait auffi a' = WaTM. 254 Donc on pourra éviter le calcul des fractions algébriques d'un feul terme & les réduire à des entiers monomes, en multipliant le numérateur de chacune par fon dénominateur, & changeant les fignes des expofans de ce dénominateur de + en-. Ainfi amb*c* b'y a a ab am 255 On peut donc avoir des expofans entiers ou fractionnaires, pofitifs ou négatifs felon la maniere & le nombre de fois qu'on a pris l'unité pour produire la quantité foumise à l'exposant. Les expofans entiers défignent les puiffances de la quantité qui y est soumise. Les expofans fractionnaires en expriment les racines. Donc l'expofant entier pofitif indique la puiffance d'un entier. a2 = 1×a×a, a3 = 1×a×a×a, a” est égal à l'unité multipliée fois fucceffivement par a. L'expofant fractionnaire pofitif défigne la racine d'un entier. Ces quantités étant comme toutes les autres fufceptibles de plus & de moins, il eft vifible qu'on peut faire fur elles les mêmes opérations qu'on a pratiquées jufqu'ici fur les quantités qui ont été l'objet des calculs précédens. On pourra donc les ajouter, les fouftraire, les multiplier, les diviser, les exalter ou les élever aux puissances, & en extraire les racines. DE L'ADDITION. 256 Pour ajouter ensemble les quantités exponentielles, on les écrit les unes à la fuite des autres avec leurs propres fignes, & s'il fe trouve des termes femblables, on réduit leur fomme à fa plus fimple expreffion. Ainfi pour ajouter les quantités a", ++b", +c*, —p'q2, on écrira à l'ordinaire a + b* + c* — p' q2• m Ajoutant a" à a", on aurà pour fomme a” + a”. Pour ajouter a" & -2a", on écrira a”—2a" ——a”. a ̄'=11a ̄'. 7a'+4a'=7+4 × a'=11a', 7a ̄'+4a=7+4× a ̄' = 1 1 a ̄'. Et en général pa" + qa" = p+q x a". De même on aura ab' + ed' + mn~' — pq' pour la fomme des quantités ab', cd', mn ̄', - pq', égales aux fractions a C b' d m n P 9 fans fe donner la peine de réduire ces fractions au même dénominateur pour avoir leur fomme ainsi que nous avons fait (121). On aura donc en général a" b―*+p" c― pour la fomme des quanréduites en grandeurs exponentielles. p" kités b* DE LA SOUSTRACTION. 257 Pour fouftraire une quantité exponentielle d'une autre quantité exponentielle où d'une autre puiffance de la même grandeur, il faut écrire le fouftracteur après le fouftréande en changeant le figne du fouftracteur: & réduire la différence à fa plus fimple expreffion quand on aura des termes femblables, Ainfi pour fouftraire+a"b" de p*q", on écrira p*q'—a”b”. De +p"q" =+ fouftraire-x'y' = on aura p"q"+x'y'. p" Pour fouftraire+a* de -amon écriraa" - a" mer par les quantités ±a"b", +p* q qui leur font égales, on DE LA MULTIPLICATION. 258 Pour avoir le produit de deux quantités exponentielles, on les écrira à l'ordinaire à la fuite l'une de l'autre. 259 Si l'on demande le produit de deux puiffances différentes d'une même grandeur a, il ne faut qu'écrire la même lettre une fois au produit, en lui donnant pour expofant la fomme des expofans des deux produifans. |