Le but de la Souftraction eft de connoître la différence qui fe trouve entre les deux quantités qu'on y compare. Cette différence s'appelle excès dans la plus grande, & défaut dans la plus petite. Par exemple, fi l'on compare les deux nombres 15 & 12, on dira que 3 leur différence eft l'excès de 15 fur 12, & le défaut de 12 à 15. D'où l'on voit que c'est la même quantité 3 qui manque à 12 pour être égal à 15, & qui eft de trop à 15 pour qu'il foit égal à 12. On voit encore de là que cette opération ne peut jamais avoir lieu qu'entre deux quantités, & par conféquent fi le fouftréande ou le fouftracteur étoient compofés l'un ou l'autre ou tous les deux, de plufieurs quantités particuliéres, il faudroit additionner toutes les quantités dont on veut fouftraire, & retrancher de leur fomme celle de toutes les quantités que l'on veut en fouffraire après les avoir auffi ajoutées ensemble. 20 Pour foustraire une quantité numérique d'une autre quantité numérique plus grande & connoître leur différence. 1o. On pofera le fouftracteur fous le fouftréande, enforte que les unités de l'un foient fous les unités de l'autre, les dizaines fous les dizaines, les centaines fous les centaines, les milles fous les milles, &c. & on tirera une ligne au-deffous. II°. On commencera par fouftraire les unités du fouftracteur des unités du fouftréande, & alors il fe préfentera l'un des trois cas fuivans; le chifre fupérieur qui exprime les unités dans le fouftréande, peut être plus grand que le chifre inférieur qui lui correfpond dans le fouftracteur, il peut lui être égal, il peut être plus petit. J'entens par chifre plus grand, égal ou plus petit, celui qui vaut plus, autant ou moins qu'un autre. 1o. Si le chifre du fouftréande eft plus grand que fon inferieur correfpondant, on retranchera le plus petit du plus grand, & on pofera fous la ligne & au-deffous de la même colomne leur différence. Ainfi pour fouftraire 34 de 66, on pofera ces nombres en cette forte: 66 34 3 2 Et on dira 4 de 6 refte 2, 3. de 6 refte 3. 2o. Si ces deux chifres font égaux, en retranchant l'un de l'autre il reftera zero qu'on pofera fous la ligne & dans la même colomne, Ainfi pour fouftraire 25 de 35. Tome I. D 35 25 I O 'On dira d'abord 5 de 5 refte o, & enfuite 2 de 3 refte 1. 3o. Enfin, fi le chifre du souftréande eft plus petit que celui du fouftracteur placé dans la même colomne, on lui a outera par la penfée une dizaine, & après avoir fouftrait de cette fomme le chifre inférieur correfpondant & pofé le reste au-deffous, on retiendra cette dizaine ajoutée pour la compter comme unité avec le chifre fuivant dans le fouftra&teur. Par exemple, pour fouftraire 27 de 43, après avoir difpofé ces deux nombres à l'ordinaire, comme il eft clair qu'on ne peut retrancher 7 fur 3, on dira 7 de 13, refte 6 & retiens 1 & 2 font 3 de 4 refte 1. 4 3 1 6 Il faut remarquer qu'en opérant de cette façon on augmente également les deux quantités fur lesquelles on opère ; & nous avons vû (axiome 10) que fi à des grandeurs inégales on en ajoute d'égales, les totalités font encore inégales avec la même différence : or cette différence eft le feul objet de la fouftraction (19) & par conféquent la dizaine que l'on ajoute de part & d'autre, n'empêche point que la fouftraction foit éxacte. III°. On fera les mêmes opérations fur les chifres fuivans, c'està-dire qu'on pratiquera fur les dizaines, fur les centaines, fur les milles, &c. les regles que nous venons de prefcrire pour les unités, & le nombre qui refultera de toutes ces fouftractions particuliéres, fera la différence demandée. EXEMPLE S. Pour fouftraire du nombre 4568, le nombre 3245, on les pofera l'un fous l'autre, & commençant par les unités on dira 5 de 8 reste 3, que l'on pofera au-dessous, & continuant aux autres colomnes 4 de 6 refte 2, 2 de 5 reste 3, 3 de 4 reste 1, & l'on aura 1323 pour la différence demandée. 4568 3245 1 32 3 Si l'on demande la différence des nombres 2647 & 647, en les: difpofant comme ci-après, on dira 7 de 7 refte 0, 4 de 4 reste 0 ́. 6 de 6 refte o, rien ou zero de 2 refte 2, ce qui donne 2000 pour la différence demandée. 2647 2000 Pour trouver la différence des deux nombres 4653 & 3987, après les avoir difpofés comme on a déja vû, on fera la fouftraction en difant 7 de 13 refle 6 & retiens 1; r retenu & 8 font 9, de 15 refte 6 & retiens 1; 1 & 9 font 10, de 16 refte 6 & retiens 1 & 3 fonts 4 de 4 refte rien. La différence eft donc 666... 4653 666 Il en feroit de même si le souftréande étoit exprimé par un feul chifre réel fuivi de plufieurs zeros, & le fouftracteur par des chifres réels, parce qu'alors les zeros n'aïant aucune valeur par eux-mêmes, on n'auroit qu'à retrancher chaque chifre réel du fouftracteur de la dizaine qu'on ajouteroit à chaque zero correfpondant du fouftréande, & retenir une unité pour l'ajouter au chifre fuivant du fouftracteur. Ainfi pour connoître la différence des nombres 5000 & 3973, on les écrira comme nous avons dit, & enfuite on fera l'opération en i cette manière. Difant 3 de 10 refte 7 & retiens 1; 1 & 7 font 8, de ro refte 21 & retiens ; & 9 font 10, de 10 refte o & retiens 1; & 3. font 4de 5 refte 1. On aura donc 1027 pour différence. Mais il arrive le plus fouvent que les trois cas ci-dessus expliqués fe trouvent réunis dans une feule opération, c'est-à-dire que dans une même fouftraction, on trouvera des chifres du fouftréande plus. grands que leurs correfpondans dans le fouftracteur; qu'on en trou--vera d'égaux de part & d'autre ; & enfin, qu'il y en aura aussi dans le : fouftréande de plus petits que ceux qui leur correfpondent dans le fouftracteur alors on emploie chacune des Regles, particuliéres dont nous venons de faire l'application, felon l'occafion & la néceffité. Par exemple, fi l'on veut connoître la différence qui fe trouve entre les deux nombres 457859 & 438957, on fera la foustraction de la manière fuivante. On ne met point ce zero, parce que le zero ne fervant qu'à avancer les chifres réels qui le fuivent à gauche, il ne feroit d'aucun ufage, puifqu'il ne feroit fuivi d'aucun chifre en ce fens. Si l'on avoit à fouftraire l'un de l'autre deux nombres exprimés chacun par un ou plufieurs chifres réels, fuivis d'un même nombre de zeros, il fuffiroit de fouftraire les chifres réels du foustracteur des chifres réels du fouftréande qui leur répondent, & d'ajouter à la différence autant de zeros qu'il y en a dans chacun de ces nombres. Ainfi pour fouftraire 142000 de 475000, on fouftraira feulement 142 de 475, & à la différence 333, on ajoutera ooo ou trois zeros en cette forte. 475 3 3 3 0 0 0 pour Mais fi l'un de ces deux nombres a plus de zeros que l'autre, alors on ne négligera dans la fouftraction que le même nombre de zeros dans l'un & dans l'autre, & on fera le refte à l'ordinaire. Ainsi fouftraire 256700 de 300000, on soustrairoit 2567 de 3000, laissant deux zeros de part & d'autre ; & à la différence 433, on ajoutera deux zeros pour rendre à cette différence 433 fa véritable valeur 43300. C'eft ici le lieu de parler de la preuve ordinaire de l'addition qui fe fait par une fouftraction. 21 Elle confifte à ôter de la fomme qu'on a trouvée tous les nombres qui ont été ajoutés pour la composer, & si l'addition est éxacte, il ne reste rien; car (ax. 3) un tout est égal à toutes fes parties prises ensemble, & (ax. 4) après avoir ôté toutes les parties d'un tout, il ne refte rien. Pour cet effet on commence par ajouter ensemble tous les nombres qui font dans la colomne des hautes efpèces, c'est-à-dire la première en allant de gauche à droite, on fouftrait la fomme de cette colomne fur le nombre de la fomme totale qui y correfpond augmenté du chifre qui le fuit à gauche s'il y en a ; on écrit le refte au-dessous, & on joint par la penfée ce refte avec le chifre fuivant à droite dans la fomme; & comme ce refte vaut des dizaines par rapport à ce chifre fuivant à droite, on le compte par conféquent comme exprimant autant de dizaines qu'il repréfente d'unités ; & fur ce reste ainsi joint avec le chifre fuivant, on retranche la fomme des chifres de la feconde colomne en écrivant le refte au-deffous, & l'uniffant enfuite comme nous venons de le dire avec le chifre fuivant dans la fomme; & continuant toujours ainfi jufqu'à la fin, s'il reste ou manque quelque chofe, on s'eft trompé dans l'addition ou dans la preuve. Par exemple, 8504 7609 3405 19518 ΙΟΙΟ Si l'on a les nombres ci-dessus qui aïent donné pour somme celui qui eft entre deux lignes; pour éprouver fi l'on ne s'eft pas trompé, on dira à la colomne des hautes espèces, c'est-à-dire à la première à gauche, 8 & 7 font 15 & 3 font 18. de 19 refte 1, pofe 1, qui joint au de la fomme vaudra 15; à la feconde colomne, 5 & 6 font 11 & 4 font 15. de 15 refte o, enforte qu'on n'a qu'une unité pour la colomne fuivante; mais comme cette colomne eft remplie de zeros, cette unité refte pour faire 18 avec le dernier chifre 8: enfin à la quatriéme colomne, 4 & 9 font 13 & 5 font 18, de 18 refte o. L'addition est juste, puisqu'il ne refte ni ne manque rien. On peut encore faire l'addition de manière que l'opération porte fa preuve avec foi. Pour cela, à mesure qu'on fait la fomme d'une colomne, on avance dans la colomne fuivante le chifre qui exprime le nombre de dizai |