nes qu'on retient; enfuite quand on veut prouver l'addition comme on vient de l'enseigner (21) on trouve tout placés fous chaque colomne les chifres qu'on y mettroit pour la preuve.

En fe fervant de cette méthode, on a encore l'avantage de ne pouvoir oublier ce qu'on a retenu de la colomne précedente.

A la première colomne à droite on retient 1 pour la deuxième, & on place le chifre 1 fous cette deuxième colomne au-deffous de la fomme: à la deuxième on retient 3, pour la troifiéme;on place 3 fous cette troifiéme colomne; à la troifiéme on retient pareillement 3, qu'on avance fous la quatrième. Enfin, à la quatriéme on retient 2; mais comme on l'avance tout de fuite dans la fomme, on n'a pas besoin de le mettre dans le rang au-deffous.

Enfuite en faisant la preuve on trouve que la première colomne à gauche vaut 21 ; & comme les deux chifres de la fomme qui y répondent font égaux à 24, il refte 3 qui eft déja placé fous le 4, & qui avec les de la fomme compofe 35. De même la fomme de la deuxième colomne fera 3 2, qui retranchés de 35 donnent pour refte 3, qui fe trouve d'avance où la preuve exigeroit qu'on le mit. Enfin, la fomme de la troifiéme colomne eft 30 qu'on fouftrait de 31, & le chifre 1, qui ainfi que les précédens, fe trouve tout placé, avec le dernier chifre 8 de la fomme, compofe le nombre 18 égal à la fomme de la quatrième & dernière colomne. Par conséquent il ne refte rien de part ni d'autre & l'opération eft bonne.

On peut remarquer à ce fujet que l'on reconnoîtra facilement la colomne où l'on aura fait quelque erreur de Calcul; car on fera certain de n'en avoir commis aucune, tant que le chifre placé au-deffous de la colomne fera égal à celui que la preuve y feroit mettre.. Mais l'addition eft une opération fi facile qu'on s'y trompe rarement, & dans le cas où l'on craindroit quelque erreur, on auroit prefque auffi-tôt fait de la repéter que de la faire de cette manière.

22 La preuve de la fouftraction eft fort fimple, elle se fait par Faddition.

On ajoute le fouftracteur avec la différence, & fi leur fomme eft égale au fouftréande, la fouftraction eft bonne; fi au contraire cette fomme eft plus grande ou plus petite, c'eft une preuve qu'on s'eft trompé, ce qui eft fort clair; car le fouftracteur & la différence font les deux feules parties du fouftréande, & par conféquent la fomme de ces deux parties doit être égale à leur tout (ax. 3.)

DEMONSTRATION DE LA SOUSTRACTION.

A différence qui refulte de la fouftraction d'un nombre fur un autre, eft la vraie différence de ces deux nombres.

Car en fuivant les principes donnés pour cette opération, on prend la différence des unités, la différence des dizaines, la différence des centaines, &c. de ces deux nombres, puisque dans tous les cas on prend pour différence particulière la véritable différence qui fe trouve entre les nombres exprimés par les chifres d'une même colomne : mais la différence totale eft la fomme ou la réunion de toutes les différences particuliéres, puifqu'elle eft compofée de la différence des uni és, de la différence des dizaines, de la différence des centaines, &c. & puifque (ax. 3) le tout eft égal à toutes les parties prifes enfemble, reciproquement toutes les parties prifes ensemble font égales à leur tout, & par conféquent la réunion de toutes ces différences particuliéres compofe un tout égal à la différence entiere.

Donc la différence qui refulte de la fouftraction d'un nombre fur un autre nombre, eft la vraie différence de ces deux nombres, c. q. f. d. DE LA MULTIPLICATION.

23 L

A Multiplication est une opération dans laquelle on prend une quantité comme il eft marqué par une autre.

La quantité que l'on multiplie s'appelle multiplicande, celle par laquelle on multiplie fe nomme multiplicateur; de forte qu'on peut dire que la multiplication eft une opération dans laquelle on prend le multiplicande comme il eft marqué par le multiplicateur.

Le refultat de cette opération s'appelle produit.

Relativement à ce nom que l'on donne au refultat de la multiplication, on nomme aussi assez souvent d'un même nom le multiplicande & le multiplicateur les produifans ou les racines du produit.

AVERTISSEMENT.

24 Nous fuppoferons dans la fuite qu'on fait multiplier l'un par l'autre deux nombres chacun moindre que to, ce qui fuffit dans la multiplication où on ne multiplie jamais à la fois qu'un nombre expri

mé par un chifre feul par un autre nombre aussi représenté par un feul chifre; c'eft pourquoi nous allons donner une Table qu'on appelle communément la Table de Pythagore ou la Table de Multiplication, dans laquelle on trouvera les produits de tous les nombres d'un feul chifre jufqu'à 81, produit de 9 multiplié par 9.

L'ufage de cette Table eft de prendre pour produit de deux nombres celui qui fe trouve commun aux deux fuites de célules qui commencent par ces nombres.

On appellera chaque bande verticale de la Table une colomne, & chaque bande horisontale fera nommée un rang.

Ainfi pour le produit de 7 par 8 on cherchera 7 dans la première colomne à gauche, & on prendra dans le rang qui commence par 8 le nombre 56, qui se trouve au-deffous de 8, c'est-à-dire qui est dans la huitiéme colomne ou dans la colomne qui commence par 8. Si l'on veut multiplier 6 par 9, on cherchera dans le rang qui commence par 6, le nombre placé fous 9 ou dans la neuviéme colomne, & l'on trouvera 54 pour le produit de 6 par 9.

TABLE DE MULTIPLICATION.

On peut remarquer dans cette Table de multiplication : 1°. Que chaque rang eft égal & femblable à la colomne qui commence par le même nombre, c'est-à-dire que le premier rang ou qui commence par 1, eft égal & femblable à la colomne qui commence auffi par 1; que le fecond rang eft égal à la feconde colomne; le troifiéme rang à la troifiéme colomne; le quatriéme rang à la quatriéme colomne, &c.

2°. Que par conféquent chaque nombre fe trouve au moins dans deux célules, excepté les neuf nombres qui font communs aux rangs & colomnes de même numero, & qui ne peuvent être produits que par la multiplication de chacun des neuf premiers nombres par luimême, & qui font appellés les carrés de ces neuf premiers nombres.

3°. Qu'ainfi tous les nombres qui font répétés peuvent être pro'duits par deux ou plufieurs multiplications différentes; que 24 (par exemple) peut être produit par la multiplication de 8 par 3, de 6 par 4, de 4 par 6, ou de 3 par 8; que 6 peut être produit par la multiplication de 2 par 3, ou de 3 par 2; que 15 eft le produit de 3 par 5, ou de 5 par 3; que 18 peut auffi être produit par la multiplication de 2 par 9, ou de 9 par 2. de 3 par 6, ou de 6 par 3, &c. & par conféquent lorsqu'on veut multiplier un nombre exprimé par un feul chifre, par un autre nombre auffi moindre que 10, on voit dans cette table qu'on aura toujours le même produit en prenant indifféremment lequel on voudra pour multiplicande & l'autre pour multiplicateur; car 8 multiplié par 9, ou 9 multiplié par 8 donne également 72 au produit; mais on ne multiplie jamais à la fois qu'un chifre du multiplicande par un chifre du multiplicateur, & nous allons voir que le produit total eft la fomme de tous les produits particuliers qui résultent de toutes ces multiplications particuliéres; d'ailleurs quand on continueroit cette table à l'infini, il eft clair que le même ordre fubfifteroit & continueroit aussi à l'infini. 25 Donc en général, foit qu'on multiplie le plus grand nombre par le plus petit, ou le plus petit par le plus grand, on aura toujours le même produit.

4°. Enfin, nous conclurons encore qu'on peut multiplier la moitié, le tiers ou le quart, &c. d'un des deux produifans, par le double, le triple ou le quatruple, &c. de l'autre produifant. (Par exemple) On aura également 36 pour le produit de 9 & de 4, foit qu'on multiplie 9 par 4; ou 3, par 12; ou 18, par 2; &c. Car en multipliant la moitié d'un produifant par l'autre produifant entier, on n'aura que la moitié du produit qu'on auroit eu en multipliant l'un par l'autre les deux produifans entiers. Donc pour avoir le produit

Tome I.

E

total il faudra doubler ce premier produit, ou, ce qui revient au même, en prenant la moitié d'un des deux produifans on doublera l'autre, & en général on aura toujours le même produit si l'on multiplie la feconde racine par le nombre qui aura divifé la première.

Quoique ces remarques paroiffent affez peu intéreffantes, on a tant d'occafions de les appliquer, qu'il eft nécessaire d'y faire attention. 26 Pour multiplier un nombre quelconque par un autre nombre, & trouver leur produit, 1°. On placera le multiplicateur fous le multiplicande, enforte que les unités de l'un foient fous les unités de l'autre, les dizaines de l'un fous les dizaines de l'autre, les centaines fous les centaines, &c. & on tirera une ligne au-deffous.

2o. On multipliera tout le multiplicande par les unités du multiplicateur, & pour cela on commencera par multiplier les unités du multiplicande par les unités du multiplicateur, & fi le produit n'excède pas 9, on placera ce produit fous la ligne & dans la colomne des unités. Si ce produit furpaffe 9, on doit placer les unités fous les unités, & on retiendra autant d'unités pour ajouter au produit fuivant, qu'il y a de dizaines dans ce premier produit.

3o. On multipliera enfuite les dizaines du multiplicande par les unités du multiplicateur, & on pofera les unités de ce produit au rang des dizaines, en y ajoutant ce qu'on aura retenu du premier produit, & on retiendra les dizaines pour être ajoutées aux unités fuivant.

du rang

4°. On fera les mêmes opérations fur les centaines, les milles, &c. du multiplicande, en retenant toujours les dizaines d'un produit pour être ajoutées comme unités avec le rang fuivant.

5°. Après avoir multiplié tout le multiplicande par les unités du multiplicateur, on multipliera de même tout le multiplicande par les dizaines du multiplicateur, en obfervant de placer au rang des dizaines le premier nombre qui réfultera du produit des unités du multiplicande par les dizaines du multiplicateur, parce que les unités de ce produit font réellement des dizaines.

6o. Enfin, on fuivra les mêmes regles jufqu'à ce qu'on ait multiplié tout le multiplicande par chaque chifre du multiplicateur, en avançant toujours le produit des unités du multiplicande par un chifre quelconque du multiplicateur, fous le chifre du multiplicateur par lequel on a multiplié pour avoir ce produit.

EXEMPLES.

Pour multiplier 45 par 8, on les écrira l'un fur l'autre, & on