cation par une divifion, comme en général on peut faire la de chaque opération par l'opération contraire.

preuve

40 Cette preuve se fait en divifant le produit trouvé par le multiplicande ou par le multiplicateur, pour avoir au quotient le multiplicateur ou le multiplicande. Par exemple fi en multipliant 45632 par 891, on a trouvé 40658112 au produit, on divifera ce nombre 40658112 par 45632 & on aura au quotient 891, ou bien on divifera 40658112 par 891, & le quotient fera 45632. 4I La preuve de la divifion eft plus fimple, elle fe fait en multipliant le diviseur & le quotient l'un par l'autre, & le produit doit être égal au dividende. Par exemple fi l'on a divifé 1102524 par 4652, & qu'aïant trouvé au quotient 237, on veuille s'affurer de la jufteffe de l'opération, on multipliera le divifeur 4652 par le quotient 237, & trouvant au produit le premier nombre ou dividende 1102524, on eft sûr que la divifion eft éxacte.

L

DEMONSTRATION DE LA DIVISION.

E quotient d'une divifion exprime éxactement la manière dont le dividende contient le divifeur.

Car en fuivant les regles données pour cette opération, onmultiplie les unités, les dizaines, les centaines, &c. du diviseur par chaque chifre du quotient, c'est-à-dire que l'on multiplie tout le diviseur par tout le quotient, & comme on en fouftrait le produit fur le dividende total, & que chaque comparaifon du divifeur avec le dividende fournit au quotient un chifre qui exprime comment, à chacune de ces comparaisons, le divifeur eft contenu dans le dividende partiel, par conféquent auffi le quotient entier exprime la manière dont le dividende contient le divifeur. c. q. f. d.

On verra ci-après au Calcul des fractions décimales, comment on approche du quotient éxact d'une divifion imparfaite, c'est-àdire d'une divifion dans laquelle le dividende n'eft pas multiple du

diviseur.

Le petit nombre d'exemples que nous avons donnés fuffit pour expliquer les opérations du premier degré fur les nombres entiers. On y pourra fuppléer en fe donnant à foi-même autant de nouveaux exemples qu'on le jugera nécessaire pour fe former à la pratique de ces opérations. Ce que nous pourrions en ajouter deviendroit une répétition plus propre à groffir le volume qu'à inftruire le Lecteur.

CHAPITRE II.

Du Calcul des quantités littérales entiéres.

Oppofition de l'Algebre à l'Arithmétique.

Nov

Ous avons vu dans ce qui a précédé comment on peut ajou ter, fouftraire, multiplier & divifer les quantités numériques entiéres ces opérations étendues aux fractions fuffifent pour les befoins les plus ordinaires; mais elles ne peuvent être regardées que comme une fimple introduction aux Mathématiques dans lefquelles on feroit arrêté à chaque pas, fi l'on négligeoit les fecours importans que nous offre l'Algébre.

Pour fe convaincre de cette vérité, il fuffit de remarquer que lorfque dans l'Arithmétique je compare ensemble deux ou plufieurs nombres, non-feulement je fais le rapport qui eft entre eux, mais encore je connois éxactement chacun de ces nombres : car je ne pourrois pas exprimer en nombres une quantité que je ne connoîtrois pas, puifque le nombre eft le rapport déterminé d'une quantité avec l'unité (7) mais dans les Mathématiques il arrive rarement que toutes les quantités que l'on compare ou fur lefquelles on opére foient connues, & par conféquent on ne pourroit réfoudre qu'un petit nombre de difficultés fi l'on s'en tenoit à l'Arithmétique. C'est pour cela qu'on a inventé un Calcul général & relatif, plus étendu qu'on ne peut penfer, dans lequel on ne donne aux caracteres aucunes valeurs abfolues, ce qui les rend capables de repréfenter toutes les grandeurs imaginables. Il faut donc bien fe garder de prendre l'AIgébre pour une Arithmétique par lettres (comme prefque tous les Auteurs l'ont définie jufqu'à préfent ). Les lettres font des caracteres que l'on a pris plûtôt que d'autres, parce que leur usage nous eft familier & révolte moins la vûe que les caracteres bizarres qu'on y emploïoit autrefois.

Ces avantages de l'Algébre qui en établiffent la néceffité, ne font pas les feuls propres à ce Calcul. Il a encore celui de nous monarer dans le résultat de chaque opération la voie que nous avons prise

1

pour y parvenir. On pourroit dire à cet égard que l'Arithméticien ressemble à un voïageur, qui marchant dans un païs qu'il ne connoît -pas, s'avance vers l'objet auquel il tend & qu'il découvre de loin, mais qui ne remarquant pas le chemin qu'il a tenu, ne peut plus le reconnoître quand il s'agit de retourner fur fes pas; au lieu que l'Algébrifte en allant à fon but, marque néceffairement par des traces ineffaçables la route qu'il fuit, enforte qu'il ne lui eft pas poffible de la méconnoître.

En effet, après chaque opération arithmétique on ne voit dans le résultat que le résultat même. Si après avoir multiplié deux nombres l'un par l'autre on a trouvé au produit 144, on ne peut pas reconnoître fi ce produit vient de la multiplication de 72 par 2, ou de 48 par 3, ou de 36 par 4, ou de 24 par 6, ou de 18 par 8, ou de 16 par 9, ou de 12 par 12. Dans l'Algébre au contraire, il n'eft pas poffible de s'y tromper, les expreffions de ce Calcul forment un langage occulaire, trop expreffif pour permettre l'erreur, trop concis pour caufer d'embarras. Lorsqu'on verra une grandeur telle que ab, on pourra toujours affurer que c'eft le produit de la multiplication de a par

b.

L'oppofition de ces deux Calculs fera encore bien plus marquée, en obfervant que la folution arithmétique d'une queftion ne peut jamais être que fingulière, parce que l'Arithmétique étant un Calcul abfolu, ne peut avoir que des applications particuliéres; au lieu que dans Je résultat d'un calcul algébrique, on trouve non-feulement la foJution de la difficulté propofée, mais encore celle de toutes les queftions poffibles de la même efpèce, c'est-à-dire dans lesquelles les quantités auront les mêmes rapports entre elles.

Ce Calcul a encore bien d'autres utilités que nous reconnoîtrons mieux à proportion que nous avancerons davantage.

DE LA NATURE DE L'ALGEBRE.

42 granrapports abftraits & indéterminés par des caracteres dépouillés de toute fignification. L'idée que présente cette définition n'aura rien que de fort fenfible à l'efprit le plus ordinaire, si l'on veut faire attention que l'usage qu'on fait des lettres en Algébre eft conforme à celui qui s'observe journellement dans la plupart des eftampes. Toute éloignée que paroiffe cette comparaison, elle est si simple & fi jufte en mêmeLems, que je ne crois pas devoir l'omettre.

Algebre eft un Calcul général & relatif, dans lequel les
L'deurs de tout genre font défignées fous des

Je fuppofe, par exemple, avoir devant les yeux une vue de la ville

de Paris: ce deffein tout parfait qu'il fut d'ailleurs, ne me laifferoit qu'une idée fort imparfaite de cette grande Ville, s'il n'y avoit rien qui me défignât en particulier quels font les édifices que j'y vois représentés; mais auffi ce même deffein feroit trop confus, fi l'on avoit écrit fur chaque bâtiment le nom qui lui convient: c'est pourquoi on met aux lieux les plus apparens des lettres qui fervent de notes ou de renvois, & répétant ces mêmes lettres dans une table ou legende au-deffous du deffein, on en donne l'explication à côté. Perfonne n'eft révolté de voir dans une semblable légende a, Notre-Dame de Paris; b, les Tuilleries; c, le Louvre, &c. Pourquoi ne pourroit-on pas fe fervir du même moïen pour fimplifier des calculs qui deviendroient impoffibles fans cette abréviation? Ne nous fera-t'il pas permis d'emploïer auffi des lettres de renvoi dont nous pourrons expliquer les valeurs dans une légende à part fi nous le jugeons à propos? Je ne crois pas qu'on veuille nous refufer la liberté de fuivre un usage anffi général, puisque les chifres, les caracteres de l'alphabet, les notes de la mufique, &c. ne font autre chofe que des abréviations, renvois ou fignes femblables.

Nous pouvons donc regarder les lettres dont on fe fert en Algé*bre & en général tous les caracteres que ce Calcul emploïe, comme des notes ou fignes propres à fixer l'attention de notre efprit, & imaginés feulement pour nous représenter d'une manière abrégée & felon certaines regles convenues, toutes fortes de grandeurs & tous les rapports & changemens dont elles font fufceptibles. On peut même pouffer plus loin la comparaifon; car de même que les lettres qui, dans le deffein que j'ai fuppofé, défignent telle ou telle chofe, indiqueront des chofes toutes différentes dans un autre dessein, de même auffi les lettres qui dans un certain cas auront représenté telle ou telle grandeur, exprimeront des quantités toutes différentes dans une autre occafion, fitôt que la convention, ou, fi l'on veut, la légende ceffera d'être la même.

43 L'objet de ce Calcul eft de réfoudre facilement & généralement toutes fortes de problêmes. Il les réfout facilement, parce qu'il ne fait qu'indiquer les opérations nécessaires pour parvenir à la folution. H les réfout généralement, parce que les caracteres dont on fe fert n'aïant par eux-mêmes aucune fignification particulière, peuvent également s'appliquer à toutes fortes de quantités. Enfin l'Algebre calcule avec la même facilité les grandeurs connues & inconnues, pofitives & négatives, & même les imaginaires ou impoffibles.

Nous verrons dans la fuite par quels moïens on éxécute chacune

de ces chofes; nous allons commencer par éxaminer comment on exprime les grandeurs algébriques.

DE LA SIMBOLISATION.

44 LA Simbolifation eft l'art d'exprimer les quantités algébriquement.

On fe fert en Algébre de trois fortes de caracteres différens; de lettres, de fignes & de chifres.

45 On y emploïe des lettres pour exprimer toutes fortes de grandeurs d'une manière vague & indéterminée, en quoi confifte (ainfi qu'on l'a déja dit) le caractere propre & diftinctif de ce Calcul.

La plupart des Auteurs fe fervent ordinairement des premières lettres de l'alphabet jufqu'à l'o exclufivement, pour exprimer les quantités connues. L'o n'eft jamais emploïé que comme zero. Ils emploïent les autres lettres à commencer par les dernières, & remontant jufqu'à l'o auffi exclufivement, pour repréfenter les quan

tités inconnues.

Il eft d'ufage de fe fervir de l'x pour défigner l'inconnue d'un problême, de prendre x & y quand il y a deux inconnues & d'y ajouter lorfqu'il y en a trois : mais tout fréquent que foit cet usage, chacun est le maître d'y déroger, & de prendre toute autre lettre qu'il juge à propos felon les occafions & la commodité, rien n'eft plus indifférent.

Si la liberté qu'on a de repréfenter les grandeurs par tels caracteres qu'on veut, nous difpenfe de fuivre la méthode ordinaire: le défir de fimplifier de plus en plus le Calcul, de le rendre plusintelligible, nous engage à en choifir une autre qui paroîtra plus facile en ce qu'elle foulagera davantage la mémoire.

Autant qu'il sera poffible nous défignerons les grandeurs algébriques par les lettres initiales des mots qu'elles doivent exprimer. Par exemple fi nous voulons indiquer quatre quantités qui doivent garder entre elles un ordre conftant, nous nommerons la première p, la fecondes, la troifiéme t, la quatriéme q: foit que ces quantités foient connues ou inconnues en tout ou en partie. 46 Les fignes algébriques font des caracteres inventés en Algébre pour exprimer d'une manière abrégée & indéterminée certains rapports généraux, & pour indiquer certaines opérations générales.

Dans les comparaifons que l'on fait des quantités algébriques, on en trouve d'égales & d'inégales ; & pour découvrir leurs rapports on les ajoute, on les fouftrait, on les multiplie, on les divife comme les quantités numériques; c'eft pourquoi l'on eft convenu d'expri