2 Donc 5°. 4fp-dqp dx p2 = 8 p2 + 79 p2 + 7x p2, ou 4f-dq-dx = 8+79+7x, ou 4f+79+7x=8+79+7%, ou 4f=8, donc f=2. Donc + fp=+2p. Donc 6° 4gp-fqp - fxp =-92p-2qp 2 xp, ou 48-fqfx=-92—2q-2x, ou 48-29-2x=-92—29—2x, oyi 4g=-92, donc g=-23. Donc 7°: -gq-gx = +239 +23x, & comme (6°.)` g =—23; -g=23, & -g9¬gx=239+23x; c'est-à-dire, que le coefficient de ce dernier terme eft l'unité. Donc le véritable quotient eft 4p'— sp2+ 6p3—7p2+ 2p — 23 7 ce qu'on vérifiera en multipliant ce quotient par le diviseur 4p –q 81 On remarquera dans cette maniere de divisér, que’ X 1o. On pourra toujours trouver du premier coup la valeur abfolue 'du coefficient du premier terme du quotient, en divifant le coëfficient du premier terme du dividende par le coefficient du premier terme dur diviseur, & par conféquent on évitera un calcul inutil, en fubftituant cette valeur abfolue à la valeur indéterminée qu'on peut lui fuppofer. 2°. Quand on fçaura que la divifion doit être exacte, on trouvera de même le coefficient du dernier terme, ou plutôt on trouvera ce der-nier terme entier, puisqu'il ne contient point la lettre regnante dang e polinome, ou qu'il la contient avec un expofant o. Pour cet effet on divifera le dernier terme du dividende par le dernier terme du divifeur, & le quotient qui en réfultera fera le dernier terme du quotient cherché. 3o. Lorfque dans le dividende propofé il manque quelque dimenfion de la lettre qui y regne & par laquelle on l'a ordonné, on multiplie comme nous avons dit ci-deffus (80) le diviseur par le quotient fuppofé, & comme il vient nécessairement au produit un terme (foit monome ou polinome) où cette lettre a l'expofant qui manque dans~ te dividende, & que ce terme doit être affecté de coëfficiens qui fe détruifent, puifqu'il eft anéanti dans le dividende, on fuppofe ce terme du faux produit égal à zero, & fubftituant, comme dans les autres cas, les valeurs connues des coëfficiens que l'opération aura déja don→ nés, on trouvera la valeur du coëfficient qui répond au terme dont il s'agit.. 4°. On fuppofera toujours le figne + aux coefficiens indétermi nés, enforte que tous les termes du faux quotient feront pofitifs, ce qui ne change en rien la valeur des vrais coëfficiens; car loqu'en i 5, comparant ainfi un terme du faux produit avec un terme du dividende, on trouvera comme ci-dessus (80. 2o.) 4b 20, ou b -il est évident que le coëfficient 5 doit être affecté du figne-, e-, quoique le terme fuppofé 4b foit pofitif. 5o. Il n'eft pas néceffaire de multiplier le diviseur par le quotient pour s'affurer de la bonté d'une femblable divifion, foit qu'elle fe faffe exactement ou qu'il y ait un refte, car en fubftituant dans tous les termes du faux produit les valeurs abfolues des coëfficiens, ce produit ainfi changé rétablira le dividende fi l'on a bien operé & fi la divifion peut fe faire exactement; finon en fouftraïant ce produit fur le dividende, on trouvera le reste qu'on mettra à la fuite du quotient que l'opération a donné en quantités entieres, en écrivant le diviseur audeffous avec une ligne entre-deux (38). Cette quantité qu'on appelle une fraction algébrique, forte de grandeur dont nous parlerons dans la fuite, fera le fupplément du vrai quotient de la division proposée. 6o. On peut abréger l'opération en ne comparant qu'autant de termes qu'on a de coëfficiens à trouver : ainsi dans l'opération précédente, nous aurions pu nous difpenfer de comparer le feptiéme terme-gqgx du faux produit avec le septiéme terme 239+23x du dividende, parce que ce dernier terme ne contenoit point la lettre z, & ne devoit par conféquent avoir d'autre coëfficient que l'unité, en forte qu'il fuffifoit de comparer les fix premiers termes de part & d'autre. Nous appliquerons ces principes dans les opérations suivantes à mesure que nous en aurons occafion. EXEMPLE XIII. 6p"-20p+50p'-64p*+64p3—48p2+8pq—qs (2p3— 4p2+8p — s -3p's+2p'q-4p'q+6ps P*, P', P', P', P, a, b, c, Faux quotient 3p*+ap' + bp2 + cp +1 | 3P*+ap'+bp'+cp+1} 1o. 6p'=6p'. 2o. 2ap*- 12p=20p, ott 2a-12=-20, ou 2a =—8, donc a=-4. 3°. 24p' + 2bps - 4ap' = 50p', ou 24+ 2b-4a = 50, ou — 24−4a+2b = 50, ou 24+ 16+2b = 50, ou 40+2b = 50, Donc b=5. 4°. 8ap*—4bp*+2cp*—3p*s——64p*—3p*s, ou 8a-4b+2c=-64, 32-20+ 20 = — 64, ou 26 = 52-64, ou 26 — — 12, donc c=- 6. ou En fubftituant daus le produit fupofé, les valeurs des coefficiens indéterminés, on trouvera que le produit eft le même que le dividende. Car le dernier terme qs du dividende divifé par le dernier terme-s du divifeur, donnera +q pour le dernier terme du tient. quo Ainfi le quotient véritable fera 3p-4p2+ sp2—6p+q, & comme le produit fupofé affecté de fes vrais coëfficiens fe trouvera égal & femblable au dividende, & qu'il ne manquera ni ne restera rien de part ni d'autre, on n'aura pas befoin de fe donner la peine de multiplier le divifeur propofé par le quotient trouvé pour juger de l'exactitude de l'opération. Lors qu'il manque dans un polinome quelques dimensions de la lettre régnante, on fubftitue ordinairement une étoile à la place. de chaque terme. EXEMPLE XIV. Soit 27a2 * -93a2 + 9a* — 118a3+ 15.0a'+ 25 ap—pq -9ap+12a'p- zap -6aq pour dimensions de a pour leurs coëfficiens. on aura & enforte que qu'on multipliera par le diviseur m, n, s, 9a+ma'+na+sa+1 fera le faux quotient 27a'+3ma+3na'+zsa*+za3 — 54a3—6ma*—6na'—6sa”—6a On aura donc 1o. 27a’=27a'. 2o. 3ma+36a°=0, ou 3m+36=0, ou m+12=0, conféquent m➡ 12. & par 3°. 3na'+ 4ma'-54a'=—93a', ou 3n+4m-54-93, ou 3n+48-54-93, ou 3n-102-93, ou 3n = 102-93, ou 3n=9, donc n = 3. 4°. 3sa*+4na*-6ma*—9a1p=9a*—9a*p, ou 3s+4n—6m =9, ou 3s+12+729, ou 35=9-84, ou 3s=-75, donc s=-25. On aura donc pour vrai quotient 9a-12a+3a2 — 25a +9, car le dernier terme - pq du dividende divifé par-p dernier terme du divifeur donne +q pour le dernier terme du quotient, & comme en fubftituant dans le faux produit les coëfficiens trouvés, ce qui en résultera fera égal & femblable au dividende, on fe convaincra de l'exactitude de l'opération. 1. 28x28x', ce qui ne donne rien. 2o. 4ax* +21x* = 45**, ou 4a+21= 45, ou 4a=24 donc a=6. 3°. 4bx3+3ax3-14x3 —— 28x3, ou 4b+3a—14=-28, ou 4b+18—14=-28, ou 4b+4=—28, ou 4b——32, donc b——8. En continuant les comparaifons, on trouvera que le produit fuppofé n'est pas égal au dividende, & en le retranchant de ce dividende, on aura un refte=12x-8, en forte que le quotient entier de la divifion proposée sera 7x+6x2—8#+9+ 12x 8 4x2+3x-2 82 On peut éviter les divifions algébriques impoffibles en faifant les remarques fuivantes. 1o. S'il y a moins de termes au dividende qu'au diviseur, & qu'une lettre cómmune à tous deux n'ait point d'expofant plus grand dans le dividende que dans le divifeur, il n'eft pas poffible de faire la division exactement; ainfi fi l'on a le dividende p’q+mn', à di-: viser par p'q+mn' + pmn; comme la lettre q a le même expofant, dans le dividende & dans le divifeur, le quotient qui résulteroit de cette divifion feroit fimple, & fi l'on multiplie le divifeur par ce quotient, fouftraïant le produit du dividende il y aura un reste dans lequel la lettre q ne fe trouvera point, & par conféquent la divifion exacte fera impoffible.. 2o. Lorsqu'il y aura dans le diviseur quelque lertre qui ne fera pas dans le dividende, il fera encore impoffible de divifer exactement, par exemple foit le divifeur 2p'-3pq+5sm, & le dividende 8p'q-6p'q'+10mn', on tenteroit inutilement cette divifion; car tel quotient qu'on pût avoir, comme en multipliant.le divifeur par le quotient on auroit dans le produit trois termes qui contiendroient la lettres qui n'est point dans le dividende, il est évident que ce produit ne feroit jamais femblable au dividende, & par conféquent la division exacte est impossible. 3o. Si tous les termes du dividende étant pofitifs, il y a dans le divifeur des termes pofitifs, & des termes négatifs, il n'eft pas poffible de divifer l'un par l'autre exactement car en multipliant le divi- › feur par le quotient, il fe trouvera dans le produit des fignes diffé-; rens, & comme le dividende eft fuppofé avoir le figne✈ à tous ses termes, ce produit ne pourra jamais lui être égal, par conféquent on ne pourra pas divifer p'+q' par p-q. 4°. Si une même lettre fe trouve plus élevée dans le divifeur que dans le dividende, le quotient le plus exact ne pourra encore être qu'une fraction : ainfi en divifant 8p'q+ 54p'q' par 4p' + 27p*q. le quotient fera la fraction 29 P Si le dernier terme du dividende ne peut pas être exactement divifé par le dernier terme du divifeur (fuppofant ces deux quan tités bien ordonnées par rapport à une même lettre) la divifion ne fe faire exactement. pourra Dans ces différens cas; c'eft-à-dire, lorfque la divifion ne pourra être exacte, on fe contentera de l'indiquer, comme nous avons vû |