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intervalle une heure cinq minutes, vingt-fept fecondes, trois onziémes mais ici le Calcul eût été déplacé ; le raisonnement ne peut jamais l'être.

La folution que l'Analyse donneroit de cette queftion feroit encore plus fimple, mais beaucoup plus utile, en ce qu'elle feroit applicable à une infinité de cas differens.

Nous venons de voir ( 2 ) qu'il y a une multitude infinie d'espèces differentes de grandeurs; par conféquent on peut fuppofer les Mathématiques particuliéres divifées en autant de parties diftinctes les unes des autres mais comme ce travail n'eft pas fait, pas fait, & que probablement il ne le fera jamais, ceux qui pénétrent le plus avant dans les Mathématiques, fe contentent affez ordinairement d'en étudier les principales parties, & qui jusqu'à présent sont aussi les plus connues.

La première, la baze de toutes les autres qui empruntent d'elle l'efprit d'ordre, la clarté, l'exactitude, eft la Géométrie ou la fçience de l'étendue confiderée suivant fa longueur, fa largeur & fa profondeur.

La Trigonométrie qui n'eft autre chofe qu'une application de quelques principes de la Géométrie au toisé, est l'Art de mefurer toutes fortes de diftances acceffibles ou inacceffibles.

Par le moïen de la Géodefie, autre fuite de la Géométrie, on rénssit à partager une pièce de terre en deux ou plufieurs parties, fuivant des conditions propofées.

Le Nivellement nous enfeigne à trouver de combien un lieu eft plus ou moins éloigné que l'autre du centre de la terre à donner aux eaux la pente qui leur eft néceffaire pour leur conduite ou leur écoulement; & à calculer la hauteur & la folidité des montagnes les plus élevées & les plus irréguliéres.

La Mécanique qui contient la Dynamique, la Statique, l'Hydraulique & l'Hydrotaftique, nous apprend les loix du mouvement & de l'équilibre de tous les corps folides & liquides. Elle nous enseigne à conftruire les machines qui en facilitent l'exécution, foit en multipliant ou en continuant les effets d'une force qui leur eft appliquée.

La Phyfique expérimentale recherche les caufes de ce qui fe passe dans la Nature, en appuïant fes raifonnemens fur l'expérience & fur les Mathématiques. A l'égard de la Physique générale, les fujets dont elle traite ne font point de notre reffort. Ses principes la plûpart applicables au pour & au contre, ne fimpatifent aucunement avec l'ordre & l'efprit Géométrique, qui doit regner dans toutes les Mathématiques.

La Cofmographie confidère le détail, l'ordre & l'arrangement des

parties de l'Univers, ou la Sphere; le cours, le mouvement & la fituation réciproque des Aftres, ou l'Aftronomie ; & la difpofition rélative de toutes les differentes parties de la terre & de l'eau ; c'est-à-dire, la Géographie & l'Hydrographie.

La Gnomonique eft l'art de tracer des Cadrans Solaires & Lunaires fur des furfaces planes ou courbes, verticales, horisontales ou inclinées. L'Architecture Civile donne l'art de conftruire les differens Edifices dont une Ville eft compofée & ornée.

L'Architecture Militaire apprend l'art de fortifier, de défendre & d'attaquer les Places.

L'Architecture Navale regle la construction & la manoeuvre des Vaiffeaux.

L'Architecture Hydraulique a pour objet les Ponts, Chauffées Fontaines, Aqueduc's & Canaux.

L'Optique traite de la théorie de la vue, des raïons vifuels & des differens effets produits par les réflexions & réfractions de la lumière. Elle enfeigne auffi l'art de repréfenter les objets fur une furface plane, comme ils paroiffent fur le terrein : ce qu'on appelle la Perfpective, regle immuable de la Peinture.

L'Acoustique eft la fçience du fon; c'est par fon moïen que nous apprenons comment la percuffion de l'air produit des fons qui fe réfléchiffent dans nos oreilles, & tous les accords poffibles que les differens fons peuvent former entre eux : ce qui n'est autre chose que les principes invariables de la Mufique, foit vocale, foit inftrumentale.

Enfin, la Pyrotechnie nous enfeigne la compofition & l'ufage de la poudre à canon, & de toutes fortes de feux d'artifice, tant pour les fpectacles que pour la guerre.

Telles font les principales parties d'entre les Mathématiques particuliéres, dont chacune fe divife & fe fubdivife encore en beaucoup d'autres qu'il eft inutile de détailler ici.

Mais comme il y a certains termes d'ufage dans les Mathématiques, & quelques premiers principes évidens, d'où dépend l'intelligence de ceux qui font plus compliqués, il eft nécessaire de s'inftruire des uns & des autres avant de paffer aux Mathématiques générales. DES PRINCIPES GÉNÉRAUX DES MATHÉMATIQUES.

L

Es Principes généraux des Mathématiques font des vérités claires, des conventions fimples, & des propofitions évidentes fur lefquelles on établit les démonstrations des autres propofitions,

Il y a trois fortes de Principes généraux, qui font les Défini tions, les Axiomes & les Demandes,

La Définition est une explication ou déclaration de ce qu'on entend par un mot dont on veut faire usage; on s'en fert pour abréger le difcours & pour éviter les équivoques. Ce qui précede ( 1, 2, 3, 4, &c. ) & ce qui fuit eft prefque rempli de Définitions. Cet article & le fuivant ne contiennent pas autre chofe que des Définitions, ou pour ainfi dire, des conventions femblables.

Les Axiomes font des Propofitions dont la vérité est si évidente, qu'elle n'a pas besoin d'être démontrée : ce font des vérités inconteftables. Auffi loin d'exiger des preuves, ils font au contraire les derniéres preuves des autres propofitions. Par exemple, tout le monde conviendra que de deux lingots d'un même métal, le plus grand contient plus de matiére que le plus petit.

Les Demandes font des propofitions ou des pratiques fi fimples & fi faciles à entendre ou à exécuter, qu'on fe contente ordinairement de les fuppofer. Par exemple, fi pour donner à quelqu'un une idée de la fituation d'une maifon de campagne qu'on auroit vuë, on en traçoit le Plan fur le fable, & qu'on lui dit : Ce carré repréfente le bâtiment, ceci eft une grande allée, là c'eft un baffin circulaire,ici un bosquet ovale, &c.Celui à qui l'on parleroit de la forte auroit-il bonne grace d'objecter que dans les figures qu'on lui trace, il ne voit ni carré, ni rond, ni ovale? Il en eft de même des demandes Mathématiques. Pour fixer l'attention de l'efprit par des images sensibles, il est à propos de tracer les figures dont on explique les propriétés. Si quelqu'un venoit dire, votre ligne n'eft pas droite, votre cercle n'eft pas rond'; je le fais, lui répondroit-on, auffi n'eft-ce pas de cette figure dont il s'agit: Je parle de celle que vous devez concevoir, & dont celle-ci peut n'être qu'une mauvaise representation; il me fuffit de la fuppofer bonne..

DEFINITIONS GÉNÉRALES.

LA Propofition eft l'énoncé du jugement de notre ame. Lorsqu'a

près avoir comparé deux grandeurs, j'affirme que l'une eft plus grande que l'autre, j'exprime le jugement qui réfulte de la comparaifon que j'en ai faite, ce jugement eft une propofition.

En Mathématiques une propofition eft un principe que l'on établit; & le corps entier, mais inépuifable de toutes ces propofitions, compose la fçience des Mathématiques.

Toutes ces propofitions doivent être démontrées.

La Démonftration eft un raisonnement que l'on fait enfuite d'une propofition pour en prouver la vérité. Elle doit éclairer & convaincre. Si j'ai avancé qu'une ligne droite eft la plus courte qu'on puisse

tirer d'un point à un autre point, je démontrerai cette propofition en prouvant que toute autre ligne fera plus longue, ou ne differera pas de la première.

On diftingue en Mathématiques trois fortes de propofitions, les Théoremes, les Problêmes & les Corollaires.

Le Théoreme eft une propofition de théorie, dont il faut démontrer la vérité. Par exemple, deux lignes droites ne peuvent renfermer un espace. Le Problême est une propofition de pratique dont on doit démontrer la jufteffe. Quand on enfeigne à tracer un cercle, à construire un carré, ou à faire quelque figure que ce foit, on donne des Problêmes.

Le Corollaire eft une conféquence que l'on tire d'un Théoreme ou d'un Problème déja démontré. Si j'ai prouvé que deux lignes droites ne peuvent pas renfermer un espace, j'en conclurrai par Corollaire, qu'un espace quelconque ne peut être enfermé par moins de trois lignes droites.

Il arrive quelquefois qu'on démontre un Théoreme, ou qu'on réfout un Problême, feulement pour parvenir à la démonstration d'un Théoreme ou à la folution d'un Problême plus compliqué ; enforte que cette propofition eft hors de fa place, & pour ainfi dire ifolée. Dans ce cas on donne à cette propofition le nom de Lemme.

Les Anciens appelloient Scholie un Difcours fommaire ou une courte récapitulation de quelques vérités importantes déja démontrées, pour en faire voir l'ufage & l'application. C'eft ce qu'on appelle aujourd'hui une Remarque.

Les grandeurs qu'on confidère comme n'ayant rapport à aucun objet particulier, font nommées grandeurs ou quantités abftraites. On appelle au contraire quantités concretes ou grandeurs concretes, celles qui font déterminées à une espèce particuliére.

Ainfi le nombre trois pris en lui-même eft un nombre abftrait; mais il devient concret fi on lui fait exprimer trois toises,trois livres,&c. Des quantités que l'on peut comparer ensemble, font des quantités de même espèce ou homogenes: Au contraire, on nomme grandeurs hétérogenes ou de differente espèce, celles qui n'ont entre elles aucun rapport. Il est aisé de fentir qu'on ne peut pas faire la comparaison d'un tas de bled avec un mois, ni d'un jour avec un écu; parce que l'étendue, la durée & la monnoïe font des quantités hétérogenes. Mais on trouvera fort bien le rapport d'un muid à un feptier, d'un mois à un an, d'un écu à un louis, parce que ces grandeurs font homogenes chacune à chacune.

On appelle Propriété, ce qu'une chofe eft en elle-même & fans comparaifon avec aucune autre.

Од

On nomme Rapport la manière d'être d'une chose, rélativement à quelqu'autre à laquelle on la compare.

Par exemple, être compofé de corps & d'ame, eft une propriété qui appartient à tout homme. Quand il n'en existeroit qu'un feul, il n'en auroit pas moins cette propriété : mais il ne pourroit être Roi, Père, Ami, Concitoïen; parce que ces qualités ne peuvent fe trouver dans un homme que par rapport à d'autres hommes qui foient fes Sujets, fes Fils, fes Amis, fes Concitoïens.

Une quantité que l'on regarde comme compofée de l'assemblage de plufieurs quantités plus petites, s'appelle un Tout.

Une Partie eft une quantité que l'on confidère comme entrant dans la compofition d'un tout plus grand.

La même grandeur peut donc être prife tantôt comme un tout, & tantôt comme une partie, felon qu'on la comparera à une autre quantité plus petite ou plus grande.

Un tout qui contient fa partie plufieurs fois exactément & fans refte, eft appellé Multiple de cette partie : & la partie contenue exactement & fans refte dans fon tout, fe nomme Aliquose de ce tout. Par exemple, douze eft multiple de deux, de trois, de quatre & de fix, fes aliquotes; mais il eft lui-même aliquote de tous fes multiples, vingt-quatre, trente-fix, quarante-huit, foixante, &c.

Les Multiples & les Aliquotes prennent differens noms assez conmus, qui expriment la manière dont les touts contiennent leurs parties.

Un Multiple qui contient fon Aliquote deux fois, s'appelle Double, on le nomme triple. quatruple, quintuple, fextuple, feptuple, octuple, noncuple, décuple, s'il la contient trois, quatre, cinq, fix, sept, huit, neuf ou dix fois.

Reciproquement l'Aliquote contenue deux, trois, quatre, cinq, fix, sept, huit, neuf ou dix fois dans fon Multiple, eft appellée sousdouble, fous-triple, fous-quatruple fous-quintuple, fous-fextuple, fous-feptaple, fous-octuple, fous-noncuple, ou fous-décuple de fon Multiple.

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De tous ces noms le dernier feul & les trois premiers font les plus ufités. Soixante, par exemple, eft double de trente, triple de vingt, quatruple de quinze, &c. & décuple de fix. Par la même raifon fix eft fous-décuple de foixante, fous double ou moitié de douze, fous triple ou tiers de dix-huit, fous-quatruple ou quart de vingt-quatre, &c. AXIOMES GÉNÉRAUX.

I.

U Ne même chofe ne peut pas être & n'être pas en même-tems.

Tome L

B

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