ci-deffus (73) en écrivant le divifeur fous le dividende avec une ligne entre-deux. Cependant il eft quelquefois avantageux dans une divifion impoffible, d'avoir un autre quotient que celui qui ne fait qu'indiquer P'opération. On parvient dans ce cas à trouver pour quotient une fuite infinie de termes qui approchent à l'infini de la véritable valeur du quotient; mais comme cette opération exige la connoiffance du calcul des fractions, nous la donnerons ci-après à la fin du calcul des fractions génériques.. DEMONSTRATION. Il est évident que l'indication de la divifion n'eft autre chofe que l'ufage d'un figne convenu, & dont on n'a rien de plus à dire. Nous diviferons cette démonftration en quatre parties comme celle de la multiplication.. 1o. En vertu de la convention d'écrire dans le produit d'une multiplication, l'une à côté de l'autre, & en forme de fillabes les lettres qui compofent les produifans, on doit dans la divifion effa-cer dans le dividende les lettres qui lui font communes avec le divifeur, puifque dans cette opération on décompofe ce qu'on a compofé dans la précédente. Ce qu'il falloit 1°. démontrer. II°. On doit divifer le coefficient du dividende par le coefficient du divifeur, car on doit divifer le dividende entier par le divifeur entier, & fi l'on ne divifoit pas les coëfficiens, on ne diviferoit pas le dividende entier, & par conféquent on contreviendroit aux regles données pour cette opération (39.) Donc il faut divifer les coefficiens. Ce qu'il falloit 2°. démoutrer.. III. On doit fouftraire l'expofant d'une lettre du divifeur de l'expofant de la lettre semblable du dividende; car (50.) l'expofant fait voir le nombre de fois que la lettre qui en est affectée devroit être écrite dans le terme où elle eft, & fi elle eft écrite dans le dividende un nombre de fois exprimé par m, & que l'on fupofen. le nombre de fois qu'elle eft écrite dans le divifeur, il faudra (10.) effacer cette lettre dans le dividende un nombre de fois égal à n: & par conféquent elle n'y fera plus écrite qu'un nom-bre de foism-n, donc l'expofant fera =m-n (50): Donc on doit fouftraire les expofans. Ce qu'il falloit 3°. démontrer.. IVo. Nous avons vû (38) que le divifeur multiplié par lé quotient devoit rétablir le dividende, que +x+ou-x-=+ & que +x-ou-x+= Donc 1°.+s; car du pofitif divifé par du pofitif ne peut donner au quotient que du pofitif; d'ailleurs en multipliant le diviseur+p, par le quotients, on rétablira le dividende + ps. Donc - = + == 2o. Si le dividende eft pofitif & le divifeur négatif, le quotient fera négatif, ainfi s; car en multipliant le divifeur -p par le quotients, on aura au produit +ps (71). Donc 3°. Si au contraire le dividende étant négatif, le diviseur eft pofitif, le quotient fera auffi négatif: par exemple,s, car on aura +px-3=-ps (71). Donc == 4°. Enfin, quand le dividende & le divifeur feront tous deux négatifs, le quotient fera pofitif; c'eft-à-dire, que+s, car -px+s=―ps (71). Donc+. Donc en général quand le dividende & le divifeur auront le même figne, le quotient aura le figne+, au contraire il fera affecté du figne quand le dividende & le diviseur auront des fignes différens. Ce qu'il falloit 4°. démontrer. AVERTISSEMENT. Comme la plus grande partie de ce qui nous reste à dire du Calcul, peut également convenir à l'Algebre, & à l'Arithmétique; pour en faciliter l'intelligence, & éviter les répetitions inutiles nous confidererons en même tems dans la fuite de ce Livre les grandeurs algébriques & numériques ; & à mesure que nous aurons expliqué quelque regle que ce foit, nous l'appliquerons par des exemples à chacune de ces deux efpeces de Calcul, autant que cette application fera poffible, CHAPITRE III. Des Fractions en général. LORSQUE que une l'on veut divifer une quantité quelconque par une autre quantité plus grande qu'elle, il eft évident que le quotient loin d'être plus grand que l'unité, ne peut même lui être égal, puifque le dividende étant plus petit que le divifeur, ne peut pas le contenir une fois. Dans ce cas le quotient fera donc moindre que l'unité (32 & 38). Pour aprécier la valeur de ce quotient, on divife l'unité principale en autant de parties égales que le divifeur contient d'unités, en forte que chacune de ces parties puiffe être exprimée par une division indiquée dans laquelle l'unité principale prife pour dividende eft cenfée divifée par le divifeur propofé, & prenant autant de ces parties égales que le dividende propofé contient d'unités, la quan tité réfultante eft le quotient demandé. Par exemple fi l'on veut divifer 3 par 4, comme le diviseur 4 eft plus grand que le dividende 3, on divifera l'unité principale en quatre parties égales, & l'on aura 1=+++¦ (ax. 3), & comme le dividende 3 indique qu'il faut prendre trois de ces parties égales, on aura++ pour le quotient. = Chacune de ces parties égales s'apelle unité fractionnaire, & comme l'unité principale égale à la fomme des unités fractionnaires qui la divifent (hip.), contient chacune d'elles exactement & fans reste autant de fois que le divifeur contient d'unités, cette même unité principale eft multiple de l'unité fractionnaire, & réciproquement l'unité fractionnaire eft aliquote de l'unité principale. Nous avons vû (10) que l'on appelle fraction tout nombre qui contient une ou plufieurs parties aliquotes de l'unité. 83 1°. Ainfi les fractions numériques peuvent être regardées comme des quotiens de divisions dans lesquelles le dividende eft moindre que le divifeur. Mais la même chofe ne peut manquer d'arriver fur les grandeurs algébriques, lorfque le divifeur ne fera pas contenu dans le dividende, ainfi a I = d'ailleurs (73) lorfque le dividende & le divifeur a algébriques ne contiennent ni termes femblables, ni lettres semblables dans des termes différens, foit que le dividende foit plus petit ou plus grand que le divifeur, comme ce divifeur ne paroît pas contenu dans fon dividende, on ne peut faire la divifion réelle ; on eft obligé de se contenter de l'indiquer, & cette division indiquée est une véritable fraction algébrique, par exemple. 2o. Donc les fractions algébriques font des quotiens de divifions 'dans lesquelles le dividende ne peut être exactement divisé par le diviseur, ou parce qu'il eft plus petit que ce divifeur, ou parce qu'on ne connoît pas le raport qui eft entre eux. 84 Dans l'un ou l'autre de ces deux cas on écrit le divifeur fous le dividende avec une ligne entre-deux. La quantité qu'on écrit fur la ligne & qui exprime le dividende s'appelle numérateur ou premier terme de la fraction, & le divifeur qu'on écrit au-deffous, eft appellé dénominateur de la fraction ou fon fecond terme. Ainfi dans les fractions,, 2 & a font les numérateurs de ces frac tions dont 3 & b font les dénominateurs. Le dénominateur indique en combien de parties égales on fuppofe l'unité principale partagée, &le numérateur marque combien onprend de ces parties égales ou unités fractionnaires. 85 Donc toute fraction contient l'unité comme le numérateur de la frac‐ tion contient fon dénominateur. On peut prouver d'une maniere bien fimple que le refte d'une divifion imparfaite eft néceffairement le numérateur d'une fraction à laquelle le divifeur fert de dénominateur; par exemple fi l'on veut divifer 42 par 9 on pourra exprimer cette divifion par la fraction; mais=+=4+;; car la premiere partie fe peut réduire à 3 l'entier 4, puifque 36=9×4. Donc le quotient entier fera 4+. De même en divisant ab + d par b, on aura 4+ = a + /= =a+24 b d ab 86 On remarquera qu'on peut toujours féparer une fraction en autant d'autres fractions, que le numérateur de la fraction proposée contiendra de parties, pourvû qu'à chacune on donne pour fecond terme le dénominateur entier. Par ex.=+=+=+¦+÷+:+¦s mais on ne pourroit pas féparer la fraction= 3 342 342 445 3+3 442 3.4-3 44-2 3 en d'autres fractions+=1;,;+=1;{}, }+=q}, {+=1;,&c. fans en changer la valeur, puifque les fommes 1, 1, 1, &c. qui en résultent font différentes entre elles, & que chacune d'elles différe de la fraction propofée qui eft moindre que l'unité (85).. On pourroit de même séparer une fraction algébrique en plufieurs autres fractions, en confervant à chacune le dénominateur de la pre ab + bc + cd miere. Ainfi ac + bd ab bc cd ac + bd ac + bd ac+bd ; mais on en changera la valeur, fi on ne met qu'une partie du premier dénominateur à quelqu'une des parties du numérateur. Par exemple les frac tions ab+bc ac cd ab+be+cd ac + bd Il est aifé d'en fentir la raifon. Soit qu'on fépare la fraction en plufieurs autres, foit qu'on ne la fépare pas, on conferve toujours le même numérateur, par conféquent on a toujours le même nombre de parties mais ces parties changeront de valeur & deviendront plus grandes, dès qu'on les divifera par des divifeurs plus petits: or en féparant le dénominateur en plufieurs parties, chacune d'elles devient néceffairement un divifeur moindre que le divifeur propofé dont elle eft partie; le quotient qui en résulte eft donc plus grand. On prendroit donc un même nombre de parties plus grandes, & par conféquent on auroit une valeur plus grande que celle de la fraction propofée. Donc en féparant une fraction en plufieurs autres fractions, il fau dra donner à chacune le dénominateur entier de la fraction propofée, On exprime une fraction numérique comme par un-demi, deux-tiers, trois-quarts, quatre-cinquièmes, on fous entend de l'unité : car (83 &85) ces fractions montrent qu'aïant partagé l'unité principale en 2, 3, 4, 5 &c. parties égales, on doit prendre une, deux, trois ou quatre de ces parties aliquotes de l'unité. a Une fraction algébrique telle que fe lit a divifé par b; on les exprime ainfi parce que toute fraction algébrique doit être regardée comme le quotient d'une divifion indiquée, & réciproquement toute divifion indiquée peut être prife pour une fraction. |