3

4

Lorfqu'une grandeur foit numérique foit algébrique eft composée d'entiers & de fractions, comme 2, 4, a+, il eft fouvent plus commode de réduire le tout en une feule fraction, foit pour calculer plus facilement ces quantités, foit pour connoître plus diftinctement le rapport qu'elles ont avec d'autres grandeurs: par conféquent on peut avoir des fractions dans lefquelles le numérateur foit plus grand que dénominateur : & ces grandeurs mixtes ainfi réduites feront régardées comme des fractions.

On trouvera encore quelquefois des fractions d'entiers, des fractions de fractions, & des fractions de mixtes; par exemple on peut demander les deux-cinquièmes de fept, les trois-quarts de deux-tiers, les fept-dixiémes de deux-tiers; mais comme ces fortes de fractions peuvent toujours (ainfi que nous le verrons dans la fuite) fe réduire à des fractions de Funité principale, on les y réduit, & on les calcule enfuite comme les autres fractions.

Il est évident que la fraction fera d'autant plus grande que fon numérateur fera plus grand & fon dénominateur plus petit; car le quotient qu'elle représente exprime comment le divifeur eft contenu dans le dividende, & il y fera contenu davantage à proportion qu'il fera moindre que lui. Au contraire la fraction fera d'autant plus petite que le numérateur fera plus petit & le dénominateur plus grand, puis qu'alors le divifeur plus grand fera moins contenu dans le dividende plus petit. Pour en donner une idée plus familiere, fi un pere en mourant laisse rooooo" de bien, & dix enfans à partager fa fucceffion, chacun aura un dixième de ce bien, ou #10000", mais s'il n'avoit que deux héritiers, chacun des deux auroit la moitié de l'héritage entier ou 100000 50000# puifque l'objet du partage fera le dividende ou le numérateur, le nombre des partageans fera le divifeur ou le dénomina-'teur, & la part de chacun fera la fraction résultante ou le quotient: 87 Donc les fractions qui ont même dénominateur font entre elles comme leurs numérateurs: & au contraire des fractions qui ont même numérateur font entre elles à rebours de leurs dénominateurs.

=

10

88. Eorfque l'on connoîtra le raport du numérateur au dénominateur: c'est-à-dire dans toutes les fractions numériques en général, & en particulier dans les fractions algébriques dont les termes feront des grandeurs connues, (comme ces fractions pourront être réduites à des fractions numériques) on nommera fractions défaillantes, celles qui feront moindres que l'unité; comme;,;, ; car le dénominateur étant

a

plus grand que fon numérateur, le quotient eft moindre que l'unité. Celles dont les termes feront égaux (le calcul en peut donner de femblables) feront appellées fractions adéquantes, parce que ces fractions telles que, &c. font égales à l'unité. Enfin celles qui feront plus grandes que l'unité, c'est-à-dire celle dont le numérateur furpaffera le dénominateur feront nommées fractions excédentes. Par exemple les 2ab+c qui peuvent être les résultats des quantitéş

fractions,

26

mixtes 1, 2, ab + réduites en fractions; car ces fractions font plus

grandes que

l'unité.

On fait fur les fractions les mêmes opérations que fur les grandeurs entieres; mais comme quelques unes de ces opérations exigent différentes préparations dans lesquelles il s'agit de changer les termes d'une fraction fans rien ajouter ni retrancher à la valeur de cette fraction. nous commencerons par examiner toutes les variations dont ces grandeurs font fufceptibles, & pour ainfi dire toutes les figures qu'elles peuvent recevoir fans changer de valeurs.

Pour cet effet nous diviferons le calcul des fractions felon les deux fortes d'opérations qui leur font propres, & après que nous aurons expliqué les préparations ou opérations acceffoires, nous passerons aux opérations principales dans lefquelles nous ferons l'application des pre

mieres.

DES OPERATIONS ACCESSOIRES AU CALCUL FRACTION Ș.

DES

89 1°. Un nombre qui n'a point d'autre aliquote que lui même ou l'unité, c'eft-à-dire qui ne peut fe divifer exactement par aucun autre nombre s'apelle nombre primitif. Par ex. les nombres 1, 2, 3, 5, 7, &c. font primitifs.

2o. Tout autre nombre c'eft-à-dire tout nombre qui peut être exactement divifé par quelqu'autre nombre s'appelle nombre compofé, tels font les nombres 4, 6, 8, 9, 10, &c.

3o. On appelle divifeur primitif d'une grandeur, tout nombre primitif aliquote de cette grandeur. Tout autre diviseur de la même quantité fe nomme divifeur compofé de cette quantité. Par exemple 3, 5, 7 font. les feuls divifeurs primitifs de 105:15 & 21 en font des divifeurs compofés.

4°. Deux

4o. Deux ou plusieurs nombres qui n'ont aucune aliquote commune, c'est-à-dire qui ne peuvent être exactement divifés par un même nombre font nommés nombres primitifs entre eux: fi ces nombres tels que 5,7, 11, font primitifs en eux-mêmes, il feront à plus forte raison primitifs entre eux. Si l'un d'eux eft primitif, il sera aussi primitif rélativement à tout nombre compofé dont il ne fera pas aliquote, & par conféquent ces nombres feront relativement primitifs entre eux, comme les nombres 5, 9, 14, dont le premier eft primitif & n'eft aliquote d'aucun des deux nombres compofés 9 & 14. Enfin deux ou plusieurs nombres compofés feront primitifs entre eux quand il n'auront aucune aliquote commune: par exemple, les nombres 9, 16 & 25 qui n'ont pour aliquotes que les nombres différens 3, 2, 4, 8 & 5.

On pourra dire la même chofe des grandeurs algébriques, tant qu'on les confiderera généralement, & par raport aux caracteres qui les expriment, fans avoir égard aux valeurs différentes qu'elles peuvent avoir dans le calcul: ainfi les grandeurs a, b, c, d, m, n, &c. font primitives; & ab, bc, cd, dm, mn, font des quantités composées. Les grandeurs compofées ab, cd, mn, font primitives entre elles, & les grandeurs ab, bc, bd, bm, bn, qui ont un diviseur commun ou une aliquote commune b, ne font pas primitives entre-elles.

90 Pour trouver tous les nombres primitifs jufqu'à un nombre donné par exemple jufqu'à 1000, 10000, 100000, &c.

On pofera par ordre dans une table tous les nombres depuis 1 jufqu'au nombre donné 1000, & on effacera de cette table tous les nombres compofés en faisant les obfervations fuivantes.

1o. Tout nombre pair eft multiple de 2: ainfi 2 eft le feul nombre pair primitif; par conféquent on pourra effacer tous les nombres pairs plus grands que 2.

2o. Tous les multiples de 3 font difpofés de 3 en 3.

3°. Ceux de 5 le font de 5 en 5, ceux de 7, de 7 en 7, &c. on pourra donc effacer tous les nombres multiples de 3, de 5, de 7, &c; mais on ne commencera qu'au carré de chaque nombre primitif 3, S, 7, &c. parce que les multiples de ces nombres qui font plus petits que leurs carrés, auront déja été effacés comme multiples de 2, de 3, de 5, &c.

Mais on peut extrêmement abréger & fimplifier cette opération, en ne mettant dans la table aucun nombre pair, & pofant des points

Tome I.

N

au lieu des nombres impairs comme dans la table fuivante, plaçant au deffus de chaque colomne les cinq nombres impairs moindres que dix fçavoir: 1, 3, 5, 7, 9, & à côté de chaque rangée les chiffres. 0, 1, 2, 3, 4, 5, &c. jusqu'à 99; car en joignant le chifre qui eft au deffus d'un certain point à celui qui eft devant ce point, on aura le nombre dont ce point tient la place.

Ainfi les points qui fe trouvent dans le premier rang tiennent la place des nombres 1, 3, 5, 7, qui font au deffus: car ce rang n'étant précedé que de zero ou o, les chiffres 1, 3, 5, 7, qui fuivent leo, ne feront point augmentés par cette addition.

Au contraire dans le fecond rang, les points tiennent la place de 11, 13, 17, 19; car en écrivant les chiffres 1, 3, 7, 9, qui font au deffus de ces points, après le chiffre 1 qui précede le rang entier, on

aura 11, 13, 17, 19.

On voit de même que les points qui font dans le troifiéme rang tiennent la place l'un de 23, & l'autre de 29.

Toute la table fuit le même ordre..

On opérera fur ces points comme on feroit fur les nombres mêmes dont ils tiennent la place, & au lieu des points qui fe trouveroient à la place des multiples de 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31,&c. on mettra les lettres. a, b, c, d, e, f, g, h, i, k, &c. pourvû que ces places ne foient pas deja occupées par quelqu'une des lettres précedentes, & on commencera à pofer chacune de ces lettres. au carré du nombre primitif dont elles repréfentent les multiples.

On trouvera que les lettres a vont en diagonale, que les lettres b font toutes comprises dans la colomne du milieu; & d'autres facilités. qui diminueront la longueur de l'opération.

Puifque a doit tenir la place des multiples de 3, on mettra a dans la derniere colomne & au premier rang, pour representer 9 = 3 × 3.

La même lettre a dans le fecond rang, & à la troifiéme colomne exprimera 15 = 3×5, parce que 15 eft un multiple de 3 & de 5, plus. petit que 25 quarré de 5 ; & ce n'eft qu'à ce quarré 25, qu'on commencera à emploïer la lettre b, qui doit remplacer les multiples de 5.

De même le premier nombre remplacé par la lettre c, sera 49 quarré de 7; 121 quarré de 11 fera le premier nombre marqué par d; 169 quarré de 13 fera le premier qu'on exprimera par la lettre e ; &c.