, on aura donca. x. b, donc (316) ab=xx donc (225)

x = √ ab.

2o. Qu'entre a & b il faille inférer deux moyens proportionnels, on aura donca. x. y. b, donc (318) a: b:: a3: x3; donc a3bax3, & en divifant (223) aab=x3; donc x = √ aab. Or ayant le premier & le fecond terme, il fera aifé de trouver le troisieme; car on aura a: Vaab :: & en élevant tout au cube,

Vaab.

a3 =abb: donc y = √ abb.

3

3

y : b

: aab :: ÿ 3: 63; donc

3o. En général, qu'entre a & b il faille mettre un nombre n de moyens proportionnels, l'intervalle des termes a & b sera n + 1, on aura donc (318) a2+1: x2+1::a: b; donc x2+1

n

antib

a

n-tr

en

réduifant, x+1a"b, & en extrayant la racine, on aura x=Vanb, ou bien x ++ Et c'est la valeur du premier des moyens proportionnels demandés. Par un calcul femblable au précédent, on trouvera que le fecond moyen eft y an—1 b2, le troisieme Van-263,

le quatrieme Va—3 b. Et ainfi de fuite jufqu'à ce que l'expofant de b foit devenu➡n+1, auquel cas celui de a fera

333. PROBLEME IX. Inférer un nombre m de moyens proportionnels entre chacun des termes d'une progreffion géométri que, comme aq°. aq1. aq2, aq3, &c. ?

SOLUTION. Inférez (285) un nombre m de moyens proportionnels arithmétiques entre les expofants confécutifs des termes de la progreffion donnée; & vous aurez les expofants de la progreffion cherchée (319). Par exemple, fi on veut inférer 3 termes entre chacun de ceux de la progref fion précédente, on aura ÷ aq° . aqa. eg3. eqa, aq3, aq TM4.

334.

Des Logarithmes;

De leur nature & de leurs ufages.

fubftitue aux nombres ordinaires, pour changer Es Logarithmes font des nombres artificiels qu'on toutes les efpeces de multiplications en additions, & toutes les efpeces de divifions en fouftractions.

Toute progreffion géométrique eft repréfentée par la formule aq°. aq1, aq2, aq3. aq4, aq5. aq3. aq1. aq8, &c. dans Laquelle a & q peuvent exprimer un nombre quelconque. Si donc on fait a 1, on aura q°. q1. q2. q3. 94. gs. go. q2. gs.

&c. D'où il fuit.....

*

2

335. 1°. Que le produit de deux des termes de cette pro greffion a pour expofant la fomme de leurs expofants (142) ainfi le produit de q3 x q4, 7. Si donc on veut favoir quel eft le terme de cette progreffion, qui eft égal au produit de deux autres, il faut chercher quel eft celui qui a pour expofant la fomme de leurs expofants.

336. 11°. Que le quotient de deux de ces termes, eft le terme qui a pour expofant la différence des expofans de ces deux termes. Ainfi le quotient de q8 divifé par q3 eft 95 ou

8- -3. Donc pour connoître quel est le terme égal au quotient de deux autres, il faut chercher quel eft celui dont l'exposant eft égal à la difference des expofants de ces deux termes.

337. Le logarithme d'un nombre eft l'expofant de la puiffance de 10 qui fe trouve égale à ce nombre. Ainfi ayant la progreffion géométrique......

10o. 101. 102. 103. 104. 10. 10. &c. Et mettant les valeurs de ces termes.....

1. 10. 100. 1000; 10000. 100000. 1000000. &c. L'expofant o eft le logarithme de 1, l'expofant 1 eft le logarithme de 10, l'expofant 2 eft le logarithme de 100, de même l'expofant 3 eft le logarithme de icoo, &c. Mais parce que ces expofants ne donnent les logarithmes que des

nombres entiers en progreffion décuple 1, 10, 100, 1000 &c. & qu'il eft néceffaire d'avoir les logarithmes des nombres intermédiaires 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, &c. on a ajouté 7 décimales à chacun de ces expofants, ce qui a changé la forme de la progreffion en celle-ci.....

I

IOL.0000000 102,0000000 103,∞∞∞∞∞∞∞. &c. Or (319) tant que ces expofants feront en progreffion arithmétique, les valeurs de io élevé aux puiffances qu'ils défignent, feront des nombres en progreffion géométrique, & ces mêmes expofants feront les logarithmes de ces nombres. Donc en faifant croître ces décimales confécutivement de ou ce qui revient au même, en inférant 9999999 moyens proportionnels arithmétiques entre chacun des expofants de la progreffion (285), on a une nouvelle progreffion géométrique qui commence ainfi.....

I 10000000

10, ∞∞∞∞∞∞0. 100,0000001 io, 0000002 100, 0000003. &c. Et les valeurs correfpondantes de chacun de ces termes font des nombres qui vont en croiffant fort lentement depuis l'unité; puifque le premier terme vaut 1 & le dix million unieme vaut 10. Il y a donc parmi ces termes intermédiaires, un terme qui vaut 2, un autre qui vaut 3, un autre 4, &c. Ainfi on a trouvé que 2 étoit la valeur du terme 10°, 3010300 , que 3 étoit 10°4771213 , que 4= 10^ &c. de forte que ces expofants font les logarithmes de 2, de 3, de 4, &c.

6020600

338. Par des calculs fondés fur cette idée, mais que l'on a rendu pratiquables par des regles tirées de principes qui font plus qu'élémentaires, on a conftruit des Tables des logarithmes de tous les nombres depuis 1 jufqu'à 100000, & qui fervent à trouver ceux des nombres plus grands. Il y a de ces Tables où pour une plus grande précision, les logarithmes ont dix & quinze décimales; les communes n'en ont que 7, & même on ne fe fert guere que de; cinq premieres décimales. Les Tables ordinaires commencent ainfi.

(

339. D'où l'on voit 1°. que les logarithmes de tous les nombres compris entre 1 & 10 doivent commencer par o; que ceux de tous les nombres qui font entre 10 & 100 commencent par 1; que le premier chiffre des logarithmes des nombres compris entre 100 & 1000 est 2, &c. Ce premier chiffre, qui eft l'entier de l'expofant, s'appelle la caractéristique du logarithme, parce qu'il fert à faire connoître de combien de caracteres eft compofé le nombre qui répond à un logarithme donné. Car il eft évident qu'il doit y en avoir un de plus que la caractéristique ne contient d'unités. Ainfi je vois tout d'un coup que ce logarithme 4,8145605 appartient à un nombre de cinq chiffres, parce que fa caractéristique eft 4.

340. 2°. Que le produit (335) de deux nombres répond à la fomme de leurs logarithmes, & que leur quotient (336) répond à la différence de leurs logarithmes. Ainfi pour multiplier 48 par 166, j'ajoute leurs logarithmes, qui font 1,6812412 & 2,2201081; la fomme eft 3,9013493; c'est un logarithme qui répond dans la Table au nombre 7968, qui eft le produit de 48x 166. Pour divifer 7336 par 56, il faut retrancher le logarithme de 56, qui eft 1,7481880, du logarithme de 7336, qui eft, 3,8654593, & la différence 2,1172713 eft un logarithme, qui répond dans la Table à 131. Donc 131 eft le quotient de 7336 divifé par 56.

341. 3°. Donc pour faire une Regle de trois par les logarithmes, il faut ajouter enfemble les logarithmes des termes qu'il eût fallu multiplier, & de la fomme retrancher le logarithme de celui par lequel il eût fallu divifer le produit; le refte eft le

logarithme du terme cherché. Par exemple, foient donnés 2843 :8529:: 3147: x. Il faudroit (320) pour avoir la valeur dex, multiplier 3147 par 8529, & divifer leur produit. 26840763 par 2843, le quotient feroit 9441 = x; cette opération eft longue, & par conféquent fujette à erreur, fi f'on n'y prête une grande attention; mais par les logarithmes, il faut ajouter enfemble les logarithmes de 8529 & de 3147, qui font 3, 93090 & 3,49790, & de la fomme 7, 42880 ôter 3,45378 logarithme de 2843, le refte 3, 97502 est le logarithme de x, lequel répond dans les Tables à 9441.

34 4°. Que pour élever une quantité à une puiffance quelconque, il faut en ajouter le logarithme à lui-même autant de fois qu'on auroit multiplié cette quantité; c'eft-à-dire, qu'il faut multiplier fon logarithme par l'expofant de la puiffance. Ainfi pour élever 8 à la quatrieme puiffance, il faut multiplier fon logarithme 0, 90309 par 4, & le produit 3,61236 est le logarithme de 4096, quatrieme puiffance de 8.

le

343. Qu'enfin fi on divife le logarithme d'une quantité donnée par l'expofant de la racine qu'on en veut extraire, quotient fera le logarithme de cette racine; ainfi pour extraire la racine cubique de 6859, divifez fon logarithme 3,83626 par 3, & le quotient 1, 27875 fera le logarithme de 19, qui eft la racine cherchée.

Sur l'ufage des Tables des Logarithmes, principalement dans les opérations des fractions.

Es Tables des Logarithmes font toujours accompagnées d'un

344. Li Tours qui en enfeigne les ufages; c'eft pourquoi nous n'en

trerons pas dans un long détail là deffus. Nous infifterons cependant fur les opérations des fractions par leurs logarithmes. La méthode en eft extrêmement commode & utile; mais on ne la trouve pas communément bien expliquée de la maniere dont on l'emploie à préfent.

Il faut favoir d'abord qu'étant donné le logarithme d'un nombre qui n'eft pas entier, pour avoir ce nombre avec une fraction décimale, il faut fuppofer que la caractéristique de ce logarithme eft augmentée, d'autant d'unités qu'on veut avoir de décimales; & ayant trouvé la valeur du nombre entier qui répond à ce nouveau logarithme, il en faut féparer fur la droite autant de chiffres qu'on a ajouté d'unités à la carac