Si ==n, la formule

u

a" c

devient car alors l'exposant

น

bnd

n'eft que n divifé par feroit n divifé par n, ce qui le réduiroit à l'u

nité Or toute quantité qui a 1 pour l'expofant de fa puiffance ou de fa racine eft une quantité fimple.

204. Pour extraire une racine quelconque d'un radical, par exemple,

VE

nu

Formule...

bnd

Qui fe démontre comme la précédente.

Lorfqu'on aura fait quelque opération en fuivant une de ces formules, il faudra, s'il eft poffible, en réduire le résultat aux termes les plus fimples, fuivant ce qui a été dit ci-dessus.

205. Il ne fera pas difficile d'appliquer ces formules aux quantités exprimées par des nombres, non plus qu'à celles qui font exprimées par des lettres. Car, 1°. comme ces formules ont été conftruites pour des quantités fractionnaires, elles ne laiffent aucune difficulté pour les fractions: 2°. Elles fervent également aux entiers, puifque tout entier peut être fuppofé (80) une fraction dont le dénominateur foit 1; 3°. fi les radicaux n'ont pas de coefficients, on peut fuppofer qu'ils ont le coefficient. 4°. Si les quantités font complexes, on pourra les fuppofer égales à des quantités incomplexes prifes à volonté, & par des fubftitutions on leur appliquera les formules précédentes. Quelques exemples éclairciront ceci.

& prenant les deux radicaux propofés dans le n°. 201, je fais 4= p, 1=9, 2 = n, 2—b = a, 3adb, enfuite 1, 3, 4=u, aa + bb = c & 1 d. De forte que par la fubftitution,la formule de cet article qui eft

On veut divifer 4√ 5 par V. Je mets ces deux radicaux fous cette

2

forme, V. Je prends les deux radicaux propofés dans le n°.202. & je fais 4= p, 1 = q, 2 = n, 5 =a, 1 = b; & 1=y, 1=7, 2=u, 3=c,

4

1225, enfuite à 4 V 35

9

3

en

faifant l'extraction de la racine quarrée de chaque terme fous le figne.

206.

Des Équations ou de l'Analyse.

'ANALYSE eft l'art de réfoudre le calcul Al

par

Lgébrique tous les problèmes qu'on peut propofer

fur les grandeurs.

207. Propofer un problême, c'eft demander qu'on trouve la valeur d'une ou de plufieurs quantités inconnues or on conçoit que cela n'eft pas poffible, à moins qu'en propofant le problême, on n'affigne quelque rapport que ces quantités inconnues ont avec des quantités connues, lefquelles s'appellent les données du problême.

208. Chacun des rapports qu'on affigne entre les données & les inconnues, s'appelle une une condition du problême, parce que ces rapports expriment à quelle condition il y a égalité entre les inconnues & les données.

209. L'expreffion algébrique d'une condition d'un problême s'appelle une Équation.

210. Une Équation eft donc un affemblage de termes algébriques joints par le figne, & compofés de quantités connues & inconnues.

pre

211. On a coutume d'exprimer les données par les mieres lettres de l'Alphabet, & les inconnues par les dernieres comme x, y, z. Ce qui fert à les

premier coup d'œil.

212. Tous les termes qui font à gauche

diftinguer au

du figne ⇒

forment ce qu'on appelle le premier membre de l'Equation, & tous ceux qui font à droite en forment le fecond membre.

213. On appelle en général Equation du premier degré celle où l'inconnue n'eft qu'à fa premiere puiffance. On appelle Equation du fecond degré, celle où l'inconnue est élevée au quarré, par exemple, xx — ax = b, aayy + bzz c. &c. font des équations du fecond degré. On appelle Equation du troifieme degré, celle où la plus haute puiffance de l'inconnue eft le cube, comme a x3b x = c. Il en eft ainfi des autres degrés.

214. Refoudre un problême, c'est trouver la valeur de chacune des quantités inconnues qu'on a demandées; ou c'est faire voir qu'il eft impoffible de la trouver, ce qui arrive lorfque les rapports donnés impliquent quelques contradictions. On en verra des exemples dans la fuite.

215. Trouver la valeur d'une inconnue, c'est la réduire à être feule un membre d'une équation, dont l'autre membre foit compofé de quantités toutes connues.

216. Pour trouver la valeur des inconnues d'un problême, il faut faire fucceffivement fur chaque équation diverfes opérations felon l'état où les inconnues fe trouvent. Ces opérations font la Tranfpofition, la Divifion; la Multiplication, l'Extraction des racines & la Subftitution, Voici les cas où il faut fe fervir de chacune.

Dans une équation, ou il n'y a qu'une lettre inconnue ou il y en a plufieurs.

1o. S'il n'y a qu'une inconnue, ou bien elle fait dans un membre une fomme ou une différence avec des données, comme fi on avoit ax-bc, alors on fe fert de la tranfpofition. Ou bien cette inconnue fait un produit avec une ou plufieurs données, comme ax + bxcd, alors on fe fert de la divifion. Ou bien l'inconnue fait une fraction avec une ou plufieurs données, comme =cd, ou bien

ax

b

a+b

x

= c, & alors on fe fert de la multiplication. Ou enfin cette inconnue eft élevée à quelque puiffance, comme ax-xx=c, & alors on fe fert de l'extraction des racines.

II. S'il y a plufieurs inconnues, il faut auffi qu'il y ait dans l'expreffion du même problême d'autres équations qui contiennent les mêmes inconnues; comme fi on avoit les deux équations du même problême xa yb, & bx + d. Dans ce cas on fe fert de la fubftitution.

De forte qu'on doit voir dans tous les cas, quelle eft celle des cinq opérations fuivantes qu'il faut actuellement appliquer à l'équation qu'on veut réfoudre, pour trouver la valeur de l'inconnue qui s'y trouve.

De la Tranfpofition.

217. LA Tranfpofition fert à faire paffer un terme d'un

membre de l'équation dans fautre membre, fans changer l'égalité entre ces membres. Pour cela il faut effacer ce terme dans le membre où il eft, & l'écrire dans l'autre membre avec un figne contraire.

Par exemple, pour tranfpofer ae dans l'équation ae + x=b, j'efface ac du premier membre, je mets ac dans le fecond, & j'ai x= =b- ac car le membre a c + x étant égal au nombre b, fi je retranche a c de chacun, les reftes feront égaux (17). J'aurai donc ae +x ac bac, & faifant la réduction, xbac.

218. COROLL. I. On peut donc par la tranfpofition rendre pofitif un terme négatif, & réciproquement.

219. II. Par la tranfpofition on peut prendre la valeur d'un terme quelconque, en le laiffant, feul dans un membre.

220. Remarquez que nous diftinguons ici entre prendre la valeur d'un terme, & trouver fa valeur. Prendre la valeur d'un terme ou d'une lettre, c'eft faire enforte que ce terme ou cette lettre faffe feul un membre d'une équation, de quelques quantités connues ou inconnues que l'autre membre foit compolé. Trouver la valeur d'un terme ou d'une lettre, c'eft en faire un membre d'une équation, dont l'autre foit compofé de quantités toutes connues ( 215 ).

221.

De la Divifion.

LA divifion fert à dégager une ou plufieurs quantités connues qui fe trouvent multipliées par l'inconnue, ou en général à féparer les deux racines d'un produit. Pour cela il faut divifer tous les termes de l'équation par la quantité connue qui multiplie l'inconnue, ou en général par la racine qu'on veut dégager. Ce qui ne doit pas changer l'égalité entre les membres de l'équation (17).

Ainfi pour dégager 6 dans l'équation bx-ac-bd-cd,

il faut tout divifer par b, & mettre

bx

a c

b d

cd

qui

222. REMARQUES. 1°. Une même lettre qui fe trouve dans plufieurs termes confécutifs, fait un produit avec la fomme de toutes les autres lettres ou coefficients qui font dans ces termes. Ainfi axbx + 3x eft le produit de a— 3 par x, de forte que fi on avoit à féparer fi on avoit à féparer dans l'équa

-b

b+3

De même pour féparer x dans l'équation axxb, il faut mettre x = : parce que axx eft le produit de

I par *.

b

223. II. Quand une même lettre fe trouve dans tous les termes d'une équation, on doit les divifer tous par cette lettre, ce qui rend l'Equation plus fimple. Ainfi aab-bxx bd devient abxx=d. De même aac aa aabd, devient € 1= bd en divifant tout par aa.

De la Multiplication.

224. Lfactions qui s'y rencontrent : ce qui fe fait en mulA Multiplication fert à délivrer les équations des

tipliant tous les termes de l'équatión par le produit des dénominateurs de chaque fraction qu'on veut ôter. Ce qui ne doit pas en changer l'égalité ( 17 ).