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reffort LMN soit arrêté de part & d'autre, par les ré sistances actives R & S, lefquelles ayent auffi les forces neceffaires pour empêcher que ce reffort ne fe dilate. Je fupofe de plus, & la chole me paroît affez évidente pour n'avoir pas befoin de démonftration, que la réfistance Peft autant preffée par l'effort du reffort DEF, que chacune des deux autres résistances R & S, l'eft par l'effort du reffort LMN; car la réfiftance paffive du plan -immobile mn, refluë fur Pavec autant de force, que la réfiftance active R refluë fur celle qui lui eft oposée en S, & reciproquement. C'est une confequence neceffaire de l'égalité parfaite qu'il y a toujours entre l'action & la réaction.

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3. De là il s'enfuit que s'il y a une fuite de plufieurs FIG. 5. refforts égaux, & également bandez ACB, BED, DGF FIH, rangez en ordre l'un à côté de l'autre, dont le premier ACB foit appuyé contre un plan immobile mn : le fecond BED, contre le premier ACB; le troifiéme contre le second, & ainsi jufqu'au dernier la puiffance L qui leur réfifte, & les empêche de fe débander, eft égale a la puiffance P qui refifte à un feul de ces refforts, auffi bandé que chacun des autres, & appuyé en A contre le plan inébranlable mn; car par l'article precedent le premier reffort ACB, ne preffe le fecond reffort BED, & n'en eft reciproquement preffé, que de la même maniere qu'il le feroit, fi ôtant le premier reffort on fubftituoit à fa place un plan immobile, contre lequel le fecond reffort appuyeroit en B. Par la même raifon le fecond reffort.confideré ici comme le premier, preffera le troifiéme reffort DGF, & en fera reciproquement preffé, comme fi celui-ci étoit effectivement à la place du fecond reffort, & ainfi de tous les autres, jufqu'au dernier reffort FIH. Il est donc manifefte que le dernier reffort FIH, agit contre la résistance L, de la même maniere que s'il étoit immediatement apuyé contre le point fixe F, ou ce qui revient à la même chose, la puiffance L qui résiste à un nombre de refforts égaux, & également ten

dus

dus, rangez en ligne droite, dont le premier eft arrêté par un plan immobile mn, ou retenu contre un point fixe 4, eft égale à la puiffance P, qui refifte à un feul de ces refforts tendu de même, & apuyé contre un point fixe A. C. 2.F. D.

, COROLLAIR E.

4. Si il y a plusieurs rangs compofez d'un nombre different de refforts égaux & également bandez, & que chacun de ces rangs foit apuyé d'une part contre un point fixe, & que de l'autre il foit retenu par une puiffance qui l'empêche de se débander; il eft clair que ces puiffances feront égales entre elles, chacune d'elles étant égale à la puissance qui peut retenir bandé un feul de

ces refforts.

5. Concevons à prefent deux rangs de refforts égaux & également bandez, composez l'un de douze refforts, & l'autre de trois ; dont une des extremitez foit apuyée contre les points fixes A & B, & l'autre arrêté par les boules L & P, que des puiffances R & S empêchent de se mouvoir ; il est visible par le Corollaire précedent, que les deux boules L & P, feront également preffées par l'effort que font les refforts pour fe débander; & que par confequent les forces mortes de ces boules, qui ne font autre chofe que ces preffions mêmes, feront auffi égales.

6. Voyons maintenant ce que ces preffions mises en œuvres, peuvent produire de force vive; pour cet effet imaginons-nous que les puiffances R & S, fe retirent fu-' bitement. Il est conftant que les boules L & P n'opofant à l'effort des refforts que la réfiftance qui provient de leurs inerties; ces boules feront obligées de céder, & dans le mouvement acceleré, que leur imprimeront les refforts, la boule Lacquerera plus de vîteffe par lés efforts continuez de douze refforts, que la boule P égale à la boule Z n'en peut acquerir par les efforts continuez de trois refforts; car fupofé que le point E fut fixement

que

L

F

FIG. 6.

Q

arrêté, les trois derniers refforts 10, 11, 12, produiront. feuls autant d'acceleration dans la boule 4, que les trois refforts. 1, 2, 3 ›. dans la boule P mais il eft vifible que le point E n'étant pas fixe, les trois derniers refforts 10, I I, I 2, ne fçauroient fe relâcher en fuivant la boule L, que les neuf premiers ne fe relâchent auffi, & ne pouffent, chemin faifant, le point E, d'où il s'enfuit que les trois refforts qui les précedent cauferont à la boule L, une acceleration plus grande que les trois refforts 1, 2, 3, ne la peuvent caufer à la boule P.

7. Il n'est donc pas moins clair que la boule Laura acquis une plus grande vîteffe que la boule P, foit que tous les refforts qui compofent ces deux, rangs. fe foient, entierement débandez, foit, que retenus par un obftache qui les arrête, ils ne fe foient débandez qu'en partie, & d'une maniere uniforme, en s'ouvrant, par exemple, de telle forte, que d'un angle de 30 degrez que ces refforts formoient auparavant, ils parviennent à en former un de 60 degrez.

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de

8. Ceci étant une fois admis, peut-on douter que deux corps égaux, celui qui a le plus de vîtesse, n'ait auffi le plus de force? Cependant nous venons de voir que les preffions ou, forces mortes, que les boules L & P en repos, reçoivent des refforts, avant que ces refforts fe dilatent, font égales ; & que ces mêmes boules mifes en mouvement par les mêmes, refforts, ont des vîteffes inégales, d'où l'on pourroit déja, inferer qu'il faut que ces forces. foient d'une nature differente, & que par confequent on a eu tort de les confondre, & de foutenir que puifque le moment où l'énergie des forces mortes., eft en raifon des produits des maffes par leurs vîteffes virtuelles, les forces vives doivent aufli être proportionnelles aux produits des maffes par leurs viteffes actuelles. 9. Il ne f ne fuffit pas, d'avoir prouvé que la force vive de la boule 4, doit être plus grande que celle de la boule P; un peu d'attention fera voir que la boule La précisement quatre fois autant de force vive que la boule P, en quel

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que raifon que foient leurs maffes. Car dès que les puif-
fances réfiftantes R & S font ôtées, les preffions des ref-
·forts qui étoient contrebalancées par ces puiflances, se
tournent fur le champ vers les boules £ & P, & celles-
ci commencent à ceder ainfi, chaque reffort fe déban-
dant, chacun faifant ufage de fa force, & rien ne pé-
riffant inutilement ; il faut de toute neceffité que la force
de chacun de ces refforts foit employée à produire fon
રે
effet : & à quel effet feroit-elle employée, finon à mou-
voir les boules? Le mouvement de chaque boule fera
donc tel que fa force vive fera précifement égale à l'ef-
fet complet & total de ce que tous les refforts pris en-
femble y auront contribué or chacun de ces refforts
fe dilatant également, par exemple, de 30 à 60 degreż,
chacun d'eux contribue également à produire cette force:
donc les forces vives produites dans les boules & P
feront comme le nombre des refforts qui ont contribué
à leur production; fçavoir comme, 12 à 3, ou comme
4 à 1. C. 2. F. D.

CHAPITRE VII.

J...

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Où l'on démontre que les forces vives des corps, font en raison compofée de leurs maffes, des quarrez

I.

de leurs viteffes.

Uant aux vîteffes acquifes des boules, que je
fupofe prefentement égales en masses,

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dis que ces vitcifes ne font point entre elles comme le nombre des refforts qui les ont produites ; mais comme les racines quarrées de ces nombres, fçavoir, dans cet exemple, comme V12, à V3; comme V4, à VI, ou enfin comme 2 à 1. En voici la démonftration.

Je fupofe deux lignes droites quelconques, données FIG. 7. AC, BD, que je prends pour deux rangs de petits ref

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forts égaux & également bandez je fupofe de plus que deux boules égales commencent à fe mouvoir des points C & D, vers F & I, lorfque les refforts commencent à fe dilater, foient CML, DNK, deux lignes courbes dont les apliquées G M, HN, expriment les vîteffes acquifes aux points G & H. Je nomme BD—a, l'abfciffe DH x, fa differentielle HP, ou NT dx, l'apliquée H N=v, fa differetielle To-du je prends enfuite les abfciffes CG, CE, de la courbe CLM telles, quelles foient aux abfciffes de la courbe DNK, comme AC eft à BD, ou ce qui eft la même chofe, je fais BD, AC:: DH, CG:: DP, CE. Supofant donc AC na, on aura CG-nx, GE ndx foit enfin l'apliquée GM, Tout ceci fupofé, je raifonne ainfi.

در

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2. Les boules étant parvenues aux points H & G, chaque reffort, tant de ceux qui étoient refferrez dans l'intervalle 4, que de ceux qui l'étoient dans l'intervalle AC, BD, fera dilaté également, parce que AC. CG :: BD. DH, chacun de ces refforts aura donc perdu de part & d'autre, une partie égale de fon élasticité, & il leur en reftera par confequent à chacun également. Donc (Ch. 6. §. 3&4.) les preffions & les forces mortes que les bou. les en reçoivent, font auffil égales entre elles: je nomme cette preffion p. Or l'accroiffement élementaire de la vitelle en H, je veux dire la differentielle TO, ou dv, eft par la loi connuë de l'acceleration, en raifon compofée de la force motrice, ou de la preffion p, & du petit tems que le mobile met à parcourir la differentielle HP, ou dx, lequel tems s'exprime par donc du

pdx

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Ι

HP dx
HN ข

on aura

& partant vdv=pdx, ce qui donne

par l'integration vv=fpdx. Par la même raison on a,

20

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I

2

, par confequent zdz=npdx ; & en

integrant zz=nfpdx, d'où il fuit que vv. zz::

Spdx.

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