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par

lôi, nous feront encore remarquer que des trois con55 fervations qui fe font, 1°. de la vîteffe refpective; 2°. de la quantité de direction ; 3°. de la fomme des produits des maffes par les quarrez des vêteffes, deux étant accordées, la troifiéme l'eft auffi d'une neceffité geometrique ; ce que je démontre ainfi, foient A & B deux corps, leurs vîteffes avant le choc a & b, & leurs vîteffes après le chocx & y; fupofons d'abord qu'avant & après le choc, ces corps fe meuvent du même côté. La premiere confervation donnera a-by-x; la feconde 4a+Bb= Ax-By. J'en déduis la troifiéme de cette maniere la tranfpofition des termes il vient a+x=b, & Aa-Ax―By Bb. Qu'on multiplie les membres de ces deux équations, fçavoir Aa-Ax, par ax, & By-Bb, par yb, les produits donneront une nouvelle équation Aaa-Axx-Byy-Bbb, laquelle par la tranfpofition des termes, fe changera en AaaBbb—AxxByy, formule qui exprime parfaitement ce qu'on cherche, je veux dire la confervation de la fomme des produits, par les quarrez des vîteffes. On voit aifemement que fi on rend a ou b, de même que x ou y negatif, pour marquer le mouvement en fens contraire des corps A & B, tant avant qu'après le choc, cette fupofition ne changera rien dans les fignes des termes de l'équation trouvée Aaa-+Bbb=Axx-+Byy, parce que les dimenfions de ces lettres font en nombre pair dans tous les termes de cette équation.

4. Il paroît par ce calcul que la confervation de la fomme des produits des maffes par les teffes, à une connexion neceffaire avec les deux autres quarrez des vêconfervations ; & toute perfonne un peu Geometre, auroit pû l'en tirer comme un fimple Corollaire, fans en penetrer l'utilité, c'auroit été entre fes mains, une verité fterile & purement geometrique. Et c'est ce qui est effectivement arrivé à M. Huguens, quoique grand Ma thematicien, & genie du premier ordre. Il a formé de cette propofition un Theorême qu'il a enfuite démontré

a (*) fa maniere, mais fans trouver dans ce Theo rême la confervation de la quantité des forces vives qui y eft cachée, Monfieur Huguens ignoroit fans doute que la force d'un corps en mouvement, eft proportionnelle au produit de fa maffe par le quarré de sa vîtelle, où il refufoit d'admettre cette propofition, faute de recourir à la nature & à fes premiers principes, les Théorêmes les plus importans dégenerent en de fimples fpé, culations.

5. Mais à prefent que cette verité est mise dans fon jour, & hors de toute atteinte, on a lieu d'admirer la parfaite conformité qui regne entre les loix de la Natu re, & celles de la Geometrie ; conformité qu'elle obferve fi conftament, & dans toutes les circonstance; il femble que la Nature ait confulté la Geometrie, en établiffant les loix du Mouvement. Car fi il eut été poffible que les forces des corps qui font en mouvement, n'euffent pas été en raifon des produits des maffes par les quarrez des viteffes, & que la Nature les eut faites en un autre raifon; elle fe feroit démentie, l'ordre de la Geometrie auroit été violé. La quantité des forces vives, fource unique de la continuation du mouvement dans l'Univers, ne fe feroit pas confervée ; plus d'égalité par confequent entre les caufes efficientes & leurs effets ; en un mot toute la Nature feroit tombée dans le defordre.

Du choc de trois corps durs, felon differentes directions.

I.

L

Orfque trois corps durs fe choquent à la fois, felon differentes directions, il eft difficile de déterminer leurs vîteffes après le choc, parce que la con

(*) Voyez la longue Démonftration qu'il en a donnée dans fon Taité, De motu corporum ex percuff prop. XI.

fervation

fervation de la vîteffe refpective n'a pas lieu ici, comme il est aifé de le voir, pour peu d'attention qu'on y faffe. Mais on en peut venir à bout par le moyen la veritable eftime des forces vives, & de la confervation de la quantité de direction, lefquelles ont lieu en toutes fortes de choc, quelque foit le nombre des corps qui fe rencontrent.

2. Soient A & B deux boules que je fuppofe en repos, FIG. I & dont les maffes font égales; foit une troifiéme boule C, d'une maffe quelconque qui fe meuve contre les deux premieres, fuivant la direction CD, perpendiculaire à la droite qui joint les centres des deux boules A & B ; enforte que celles-ci foient frapées tout à la fois par la boule C parvenue en D, on demande quelle fera la direction & la vîteffe de chacune de ces boules après leur choc?

SOLUTION.

3. La direction de ces boules après leur choc ne fouffre aucune difficulté ; car fi du centre de la boule D, on tire les droites DF, DG, par les points d'attouchement, ou par les centres des deux autres boules, il eft vifible que ces lignes feront les directions des boules frapées, & que la boule C reculera, s'arrêtera, ou s'avancera dans la ligne de fa direction CD, felon que les boules qu'elle aura frapées auront plus ou moins de maffe ; l'expreffion de leurs vîteffes eft un peu plus difficile : je la détermine par le calcul fuivant.

4. Soient exprimez la vîteffe de la boule C, par CD=a; la vîteffe de la même boule après le choc, par DE=x; & la viteffe des boules A & B, par 4F, & BG -y, foit la maffe de la boule A, ou de la boule Bn, & la maffe de la boule Cm, la quantité de la direction avant le choc, ferama, & la quantité de direction après le choc, fera=mx+ny. Je fupole que H est le P point du milieu de la droite qui joint les centres des, deux boules A & B, parvenues en F & G, & qu'ainfi ce

H

1

point eft le centre commun de gravité des deux boules F & G ; & je nommep à q, la raifon de DF à DH, j'aurai donc, en vertu de la confervation de la quantité de direAion, cette égalité ma=mx+ny. Or la quantité de la force vive avant le choc, eft maa, & la quantité des forces après le choc, eft =mxx+2nyy, donc maamxx 2nyy, on trouve la valeur des inconnuës x &y, par la comparaison de ces deux équations : le calcul donne * — ppm a―2qqna грута

Ppm-2qgn

, &y=

P

COROLLAIRE I

5. Sippm = 2qqn, ou ce qui revient à la même chofe, fi pp. qq:: zn. m, c'est-à-dire, fi la fomme des deux bou les A & B eft à la boule C, comme le quarré du sinus total, eft au quarré du finus de l'angle DFH, complement de l'angle FDH, on aura x=0; auquel cas la boule C s'arrêtera tout court après le choc en D; la vîteffe de 2pqm a chaque boule A & B, ouy, -). Sera = 29. ppm 2qqn & AF, ou B G deviendra quatriéme proportionnelle du finus total, du finus de l'angle DFH, & de CD, qui exprime la vîteffe de la boule C..

COROLLAIRE II.

qa

P

6. Il s'enfuit encore que fi les trois boules C, A, B, font égales, & que FDG foir un angle droit, ou FDH un demi angle droit, la boule C s'arrêtera en D, & chacune des deux autres fe mouvra avec une vîteffe qui fera à celle de la boule C avant le choc, comme le côté d'un quarré eft à fa diagonale, ou comme 1 à √2, car dans ce cas on aura pp. qq:: 2.1 :: 2mm, & 7 ( 2 ) I a av = ..

2

(2)

7.

COROLLAIRE III.

Sippm eft plus petit que 2992, la valeur de x, ou DE fera negative, & par confequent la boule C rebrousfera après qu'elle aura frapé les boules A & B, & fi la boule C étoit infiniment petite par raport aux autres, elle rebroufferoit avec la même vîteffe qu'elle avoit avant le choc, & les deux boules A & B refteroient immobiles, 2pqoa 299n

car on auroit x=9q nga, &y=

=

COROLLAIRE IV.

0.

8. Et fi au contraire les boules A & B étoient infiniment petites par raport à la boule C, celle-ci continuëroit à se mouvoir après le choc fans aucune perte fen-· fible de fa vîteffe, & les boules A & B acquereroient chacune une viteffe double de celle qu'elles auroient euës dans le cas du premier Corollaire; car x deviendroitppaa, &y=2pqma — 29a D'où on voit

Ppm

Ppm

qu'en diminuant à l'infini les boules A & B, on augmen tera leurs vîteffes, mais fans parvenir jamais au double de la quatriéme proportionnelle du finus total, du finus de l'angle DFH, & de la vîtesse de la boule C.

9. Si l'angle FDG eft infiniment aigu, je veux dire, fiq, les directions AF, BG, tomberont fur DH, & les boules A & B pourront être regardées comme réunies en un feul corps, ce qui eft un cas du choc direct expliqué ci-deffus Chapitre 4. §. 2. En effet faifant p=q, conformement

on aura x=

-, &y=

2 ma mzn

à ce qui a été trouvé dans l'endroit cité, où on a exprimé par A & B ce qui l'eft ici par m & zn.