effectivement augmenter à l'infini dans le mouvement* que la direction AR peut avoir depuis la fituation où elle feroit un angle droit avec AO perpendiculaire à cet-te furface, jufqu'au concours de ces deux mêmes lignes. en une, & demeurer cependant toûjours en équilibre avec le même poids EON fur le même point O d'une furface inclinée quelconque SV.

On vient de fuppofer dans ce Corol. 15. & on le fuppofera toûjours dans la fuite, conformément au Corol. 4. qu'en cas d'équilibre entre la puissance quelconque R & le poids EON fur la furface auffi quelconque SV, la direction AB de cette puiffance R ne peut jamais être au dehors de l'angle DAN; parce que fi cette direction AB paffoit dans quelqu'un des angles NAC, CAO, l'impreffion refultante du concours d'action de la puiffance quelconque R& de la pefanteur du poids EON fur ce poids, devant (Lem. 3. Corol. 2.) le porter fuivant une ligne qui du point A paferoit auffi à travers de cet angle, Sans pouvoir jamais être perpendiculaire à la furface SV fux laquelle 40 l'est déja (Hyp.) & l'unique qui s'y puisse mener du point A par la bafe du poids EON ce poids ne pourroit jamais alors (Lem. 3. Corol. 8. & Th. 26. Corol. 1.) faire équilibre fur cette furface avec la puiffance R, quelle qu'elle fûts ce qui ferait contre la prefente hypothefe, dans la quelle on les y Suppose en équilibre. C'eft, dis-je, pour cela qu'on vient de fuppofer dans le précedent Corol. 15.& qu'on Juppofera toujours dans la fuite, qu'en cas d'équilibre entre ane puissance R & un poids quelconque EON fur une furface auffi quelconque SV, la direction AB ou AR de cette puissance R ne peut jamais fortir de l'angle DAN compris entre la direction AC du poids EON prolongée vers N, & la perpendiculaire AO ou AD menée du point A fur la furface SV (par la bafe du poids EON) à laquelle, dans le prefent Th. 26. & dans tous fes Corollaires on fuppofe qu'on n'en peut mener qu'u ne feule du point A, pour la raison qu'on en dira dans le Scho-lie fuivant, de peur de digreffion dans ce Théoreme-ci..

COROLLAIRE XV I.

Tout le contenu du précedent Corol. 15. peut encore Fio. 21 être démontré fans le fecours des finus. Imaginons d'abord la direction AR de la puiffance R, perpendiculaire à la droite AX qu'on fuppofe l'être en O'à la furface SV ou HG par la bafe du poids EON en équilibre fur ce point O avec la puiffance R; & confequemment que le côté CD du parallelogramme BACD foit perpendiculaire à la diagonale AD de ce parallelogramme. Il eft manifefte que cette perpendiculaire CD eft la plus courte de toutes les droites CD, Cd, C, &c. qu'on peut mener du même point C fur cette diagonale prolongée, & que les plus éloignées de CD font les plus grandes. Par confequent la puiffance R qui foûtiendroit le poids EON en Olur la furface quelconque SV, fuivant AR, devant être à ce poids (Corol. 6.) comme AB ou CD eft à AD, feroit ici la plus petite qui l'y pût foûtenir, & moindre que toute autre qui l'y foutiendroit fuivant toute autre direction Arou Ap, &c. parallele à Cd ou C, &c. cette nouvelle puiffance en r ou en p, &c. devant alors (Ccr.6.); être à ce même poids EON en raifon de Cd ou C, &c: côté du parallelogramme bACd ou BAC♪, &c. à son autre côté AC, le même pour tous ces parallelogrammes comme le poids EON eft ici (Hyp.) toujours le même à foutenir par chacune de ces puiffances placées en R,,pi &c. fur le même point O de la furface SV. Donc,

1o. Le côté Éd du parallelogramme bACd augmentant à mesure que l'angle ACd ou fon égal NAr fe trouve plus aigu, & cela jufqu'à ce que ce côté Cd confondu · avec.CA, lui foit égal; la puiffance en r pour foûtenir le poids EON fur le même point O de la furface SV fui- vant une direction Ar parallele à Cd, doit toujours augmenter jufqu'à ce que cette direction Ar foit confondue avec AN, ou fa parallele Cd avec CA; & à cet inftant de confusion être égale au poids EON, fans pouvoir deve- nir plus grande de ce côté, Cd ne pouvant devenir plus

grande que CA par l'approche de fa parallele Ar vers AN, au-delà de faquelle elle ne peut (Corol. 4.) paffer en fortant de l'angle DAN fans rompre l'équilibre fuppofé. Donc depuis la fituation de fa direction AR perpendiculaire à AO, cette puiffance R enr, doit toujours augmenter par l'approche de fa nouvelle direction Ar vers AN, jufqu'à ce que cette direction Ar fe trouve confondue avec AN ; & à cet inftant de confusion fe trouver égale au poids EON, fans pouvoir être plus grande de ce côté-là, ainfi qu'on l'a déja vu dans le nomb. 1. du précedent Corol. 15.

2o. Au contraire, lorfque la direction A, de la puiffance Ren p, s'éloigne de la fituation AR perpendiculaire à AO, en s'approchant de AO ; cette puiffance en ce cas d'équilibre avec le poids EON fur le point O de la furface SV, devant être (Corol. 6. à ce poids comme Aẞ ou C♪ à AC, il est visible que plus la direction AC de cette puissance en e, fera près de AO, fa parallele C♪ en devenant d'autant plus grande, quoiqu'en raifon differente; cette puillance en en devra être d'autant plus grande pour foûtenir le même poids EON fuivant cette direction Ap fur le même point O de la furface SV ; & être enfin infinie lorfque cette direction Ap fe trouvera confondue avec AX, fa parallele C♪ fe trouvant alors infinie. C'eft auffi ce qu'on a déja vû dans le nomb. 2. du précedent Corol. 15.

P

COROLLAIRE XVII.

Les nomb. 1. 2. du précedent Corol. 16. font voir non feulement que pour foûtenir un même poids EON fur le même point Od'une furface quelconque SV toùjours également inclinée, fuivant differentes directions AR, Ar, Ap, &c. des puiffances capables de l'y foûtenir chacune fuivant la fienne, il leur faut d'autant plus de force que les angles rAO, AO, &c. de leurs directions avec AO, different davantage de l'angle droit RAO, ainsi qu'on l'a déja vu dans le Corol. 15. mais encore

que lorfque les differences rAR, pAR, &c. en feront égales, ces forces (Corol. 6.) le feront auffi entr'elles, les cotez Cd, C, des parallelogrammes bACd,&AC, alors également éloignez de CD perpendiculaire (Hyp.) fur AX, fe trouvant alors égaux entr'eux.

COROLLAIRE XVIII.

pro- '

Il fuit encore des Corol. 15. 16. que de toutes les di-rections AR, Ar, Ap, &c. fuivant lefquelles differentes puiflances peuvent chacune fuivant la fienne foûtenir` . un même poids EON fur un même point O d'une furface quelconque SV toûjours également inclinée ; la direction AR perpendiculaire à AO; ou parallele au plan GH, qui foit auffi le plan touchant en O de la furface SV pofée, fi cette furface eft courbe, eft celle qui exige la moindre de toutes ces puiilances pour l'y foûtenir ; & que la perpendiculaire AO à ce plan, est de toutes ces directions celle qui exige la plus grande de toutes ces puiffances: la premiere fuivant AR, doit être à ce poids. EON (Corol. 1o.) comme la longueur GH de ce plan est à fa hauteur HK ; & la feconde fuivant AO, devroit (nomb. 2. des Corol. 15. 16. ) être infinie.

COROLLAIRE XIX.

208

Pour les furfaces planes HG paralleles à la direction F13:297. AC du poids EON, & pour les points des furfaces courbes SV, d'où l'on peut mener des plans touchans qui foient auffi perpendiculaires à l'horifon : la ligne de direction AR de la puillance R qui foutient ce poids EON fur ou contre ces plans, our ces points de furfaces courbes, ne pouvant (Carol. 4. ) s'éloigner de la fituation où elle feroit perpendiculaire à AO, qu'en s'approchant de cette même AO perpendiculaire (Hyp.) en à la furface HG ou SV, puifque l'angle NAO en ce cas eft droit 5 › zette puillance R ne peut auffi augmenter (Cor. 15. 16.). dans ce mouvement de fa direction, depuis AN, o4 elle feroit égale au poids EON, jufqu'en AÓ, où elle de-

que

?

vroit être infinie pour foutenir ce poids, fini quelconque EON contre le point O de la furface HG où SV verticale en ce point, fuivant AO perpendiculaire (Hyp.) à cette furface en ce même point O.

Il est à remarquer que fuivant l'avis qui précede le Corol. 13. lorfqu'on dit ici qu'un poids est foûtenu fur ou contre le même point d'une furface, l'on ne prétend pas dire qu'il ne la rencontre jamais qu'en un feul point: l'on entend feulement que la droite AD, qui du concours A des directions de ce poids EON & de la puissance R en équilibre avec lui fur cette furface quelconque SV, tombe perpendiculairement fur cette même furface, la rencontre toujours dans le même point O tant que ce poids eft foûtenu deffus, quoique ce foit fuivant differentes directions de puiffances. La raison de cette précaution eft évidente du côté des furfaces courbes, dont tous les points ont chacun un plan touchant d'une direction particuliere. Pour du côté des furfaces planes, on la reconnoîtra dans les Corol. ·35. 36. 37. où l'on verra que dans l'hypothefe du concours des lignes de direction des poids en quelque point de la Terre que ce foit, ils ne pefent pas toujours également fur ces plans, quoique la direction de la puissance appliquée à chacun d'eux, demeure toûjours la même, & quand meme ces poids feroient de pefanteur conftante, c'est-à-dire, chacun de pefanteur abfolue toujours la même, malgré le Corol. 37. du Th. 21. Au contraire ils pefent toûjours également chacun fur le même point de quelque furface que ce fait, & la charge de cette Surface y est toujours la même, à moins qu'on ne change la direction de la puissance, ou la fituation de cette furface. C'est pour cela que dans les fept précedens Corol. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. où l'on examine feparément le changement que peuvent caufer dans l'action du poids fur une furface, & dans la charge de cette furface, les differentes inclinaifons de la même ou de differentes furfaces für lefquelles ce poids feroit foutenu,& les differentes directions des puissances qui l'y foûtiendroient, on a regardé ce poids comme appliqué non feulement à une méme furface de même inclinaison, mais aussi Toujours au méme point de cette furface.

COROL