ces deux forces Q, N, refultent. Ce qu'il falloit encore ici démontrer.

pa

PART. II. 1°. Si l'on confidere que dans la folut. 1. de Fre. 35. la part. 1. Fig. 352. 3 5 3. 3 54. La diagonale AS du 353 354 rallelogramme LM a été prife de grandeur & de pofition indéterminées, comme dans la part. 1. du cas 1. Cette raifon, qui dans ce cas 1. a fait voir (part. 2.) que le Proble me de cinq cordons de directions données en plans differens, & répandus en plus d'une demi-fphere, y étoit indéterminé, fera voir de même que celui-ci de cinq cordons de directions ici données toutes en même plan, & répandus en plus d'un demi-cercle, y eft auffi indéterminé, & ce d'autant plus que la pofition de AP y eft de plus indé

terminée.

rap

2o. Quant à la folut. 2. de la part. 1. Fig. 3 5 5. la liberté F10. 355* qu'on y a eue auffi de diviser AG en N, en tel rapport qu'on a voulu, rendant arbitraires non feulement les ports de NG à AK, AL, AH, AM, mais auffi ceux de AK, AM à AH, AL, rend les rapports entr'elles de ces cinq lignes variables à l'infini, quoique ceux de AK à AM, & de AH à AL, foient conftans, & qu'ils puiffent quelquefois être les mêmes, comme lorfque CAE & DAF font deux lignes droites. Donc auffi les rapports entr'elles de cinq puiflances B, C, D, E, F, proportionnelles (part. 1. folut. 2.) à ces cinq lignes NG, AK, AL, AH, ÂM, seroient ici variables à l'infini. Cependant on vient de voir (part. 1. folut. 2.) que cinq telles puiffances feroient toûjours équilibre entr'elles fuivant les directions ici données, defquelles ces cinq lignes font autant de parties. Donc une infinité de puiffances, cinq à cinq, en des rapports differens à l'infini, feroient ici équilibre entr'elles fuivant ces mêmes directions données de cinq cordons AB, AC, AD, AE, AF, tous en même plan, & répandus en plus d'un demi-cercle. Par confequent ce Problême eft encore ici indéterminé.

3°.De ce que dans la folut. 3. part. 1. Fig. 356. les deux F16.35 droites RAP, AS, font encore indéterminées de pofition,

FIG. 352. 353. 354. 355.356.

& AS de grandeur, le tout comme dans la folut. 1. Fig. 352.3 53.354. de la même part. 1. Cette raison, qui dans l'art. 1. de la prefente part. 2. vient de faire voir que le Problême dont il s'agit ici, y étoit indéterminé, fait voir de même qu'il l'eft pareillement ici.

4°. Mais ce qui prouve cela tout d'un coup & à la fois pour toutes les folut. 1. 2. 3. de la part. 1. Fig. 352. 3 53. 354.355.356. c'eft que les deux puiffances D, F, qui fe reduifent à une S dirigée fuivant AS dans les Fig. 352. 3 53.354. part. 1. folut. 1. comme font les deux puiffances E, F, dans la Fig. 356. de cette part. 1. folut. 3. & que les deux puiffances D, E, qui fe reduisent auffi à une V dirigée fuivant AV dans la Fig. 3 5 5. de la même part. 1. folut. 2. reduifant ainfi à quatre en même plan, & en plus d'un demi-cercle, les cinq cordons de cette part. 1. Le cas 2. du Problême 1. fait voir par cela feul que le Problême dont il s'agit ici, y eft toûjours indéterminé. Ce qu'il falloit 20. démontrer.

PART. III. C'eft ainfi (part. 1. 2.) que le Problême de cinq cordons de directions données toutes en même plan, eft toûjours indéterminé tant que ces cinq cordons fe trouvent répandus en plus d'un demi-cercle, dont leur nœud commun foit le centre. Il s'agit prefentement de faire voir que ce Problême eft toûjours impoffible, lorfque ces cinq cordons de directions données en même plan, ne font pas répandus en plus d'un demi-cercle: c'eft ce qui fe trouve démontré dans le Corol. 2. du Lem. 4. & ce qu'il falloit ici 3. faire voir.

CONCLUSION DES CAS I. IL

Donc quelques foient les directions données de cinq cordons attachez ensemble par un feul & même noeud aufquels il s'agit d'appliquer autant de puiffances (une à chacun) qui faffent équilibre entr'elles fuivant les directions données; le Problême eft toûjours indéterminé ou impoffible: fçavoir,

1o. Toûjours indéterminé ( part. 1. 2. des cas 1.2.) tant

que les cinq cordons de directions données, font en plans differens, & répandus en plus d'une demi-fphere, ou lorfqu'ils font tous en même plan, & répandus en plus d'un demi-cercle.

2o. Et toûjours impoffible (part. 3. des cas 1. 2.) tant que ces cinq cordons de directions données, font en plans differens, fans être répandus en plus d'une demi-fphere, ou tous en même plan, fans être répandus en plus d'un de

mi-cercle.

C'est-là tout ce qu'il s'agissoit de trouver & de démontrer dans le prefent Probl. 15.

REMARQUE GENERALE.

I. La folution du prefent Probl. 15. de cinq cordons FIG. 352. attachez ensemble par un feul noeud, & de directions 353. 354* données à volonté, fait affez voir comment on pourroit refoudre de même tout autre Problême de tant de cordons qu'on voudra, attachez ainfi enfemble, & de directions données à volonté. Mais il n'est pas befoin d'entrer fur cela dans un plus grand détail pour voir ce que j'ai dit d'abord, que lorfque le nombre des cordons de directions ainfi données, eft au-deffus de quatre, le Problême eft toûjours indéterminé ou impoffible; puifque tel eft (cas 1. 2. du Probl. 15.) celui de cinq cordons, & que par la méthode précedente qui le fait voir, on reduira toujours à ce nombre de cinq tel autre plus grand nombre de cordons qu'on voudra, précisement de la même maniere que dans la part. 1. des cas 1.2.de la folut. du Probl. 15. les cinq cordons AB, AC, AD, AE, AF, ont été reduits à quatre: AB, AC, AD, AS, dans les Fig. 3 5 2. 3 5 3. 3 54. defquels AS pris ainfi pour un cordon tiré par une puiffance S, qui feroit à chacune des deux D, F, comme cette diagonale AS à chacun des côtez correspondans AL, AM, du parallelogramme LM, équivaudroit ( Lem. 2.) aux deux cordons AD, AF, tirez par ces deux puiffances D, F. Et comme ç'a été l'indétermination de pofition de ce nouveau cordon AS fubftitué au lieu des deux AD,›

FIG. 355. 356.

AF, avec une telle puiffance S, au lieu des deux D, F, qui a caufé l'indétermination de ce Probl. 15. dans les part. 1. 2. de fon cas 1. & l'a augmentée dans les part. 1. 2. de fon cas 2. On voit que plus il y aura de cordons de directions données au-deffus de cinq, plus il y aura auffi de nouvelles raisons d'indétermination dans tous les autres Problêmes; lefquels, comme les deux précedens, feront toûjours poffibles tant que les cordons y feront répandus en plus d'une demi-fphere, ou en plus d'un demi-cercle, & toûjours impoffibles (Lem. 2. Corol. 2.) dans tous les

autres cas.

Ce qu'on vient de dire des cinq cordons AB, AC, AD, AE, AF, reduits à quatre AB, AC, AE, AS, dans les Fig. 352.353.554. part. 1. des cas 1. 2. de la folut. du Probl. 15. fe dira pareillement des cinq cordons qui y ont été reduits de même à quatre AB, AC, AD, AS, dans la Fig. 3 56. & auffi à quatre AB, AC, AF, AV,dans la Fig. 355. pour faire encore voir que tel nombre de cordons qu'on voudra au-deffus de cinq, pourra toûjours fe reduire de même à cinq ; & de cette maniere reduire au Probl. 15. chacun de tous ces autres Problêmes, qui parlà feront (comme lui) toûjours indéterminez ou impoffi

bles.

II. Quant aux Problèmes de deux ou de trois cordons ainfi attachez ensemble par un feul nœud, & de directions auffi données à volonté, on voit affez,

1°. Que lorfqu'il n'y a que deux cordons de directions données, le Problême eft tot jours déterminé à deux puiffances égales entr'elles, lorfque ces cordons font en ligne droite; & toûjours impoffible, lorfqu'ils font quelqu'angle entr'eux: ce cas eft celui d'une fimple corde, aux extrêmitez de laquelle il faudroit appliquer deux puiffances propres à faire équilibre entr'elles, lesquelles la rendroient toûjours en ligne droite.

2°. Que lorfqu'il n'y a que trois cordons de directions données, le Problême eft toûjours auffi déterminé ou impoffible.

Il

Il eft toûjours déterminé, lorfque les trois cordons AB, FIG. 357. AC, AD, en font donnez en même plan, & répandus en plus d'un demi-cercle. Car alors le prolongement de chacun d'eux; par exemple, le prolongement AQ du cordon AB divifant toûjours l'angle CAD des deux autres AC, AD, en raison déterminée, le parallelogramme KL d'une diagonale quelconque AG, prife à volonté fur AQ, & de côtez AK, AL, ainfi déterminez fur AC, AD, aura toùjours cette diagonale en raifon déterminée à chacun de ces côtez ; & confequemment les trois puiffances B, C, D, requifes aux trois cordons AB, AC, AD, pour faire équilibre entr'elles fuivant ces directions ici données, devant être entr'elles comme les parties correfpondantes AG,AK, AL, de ces directions, chacune de ces trois puiffances fera toûjours ici en raifon déterminée à chacune des deux autres ; & confequemment auffi le Problême y fera toûjours déterminé.

Au contraire il fera impoffible (Lem. 4. Coroi. 2.) en tout autre cas; fçavoir, lorfque les trois cordons en mê:ne plan, n'y feront pas répandus en plus d'un demi-cercle; & auffi lorfqu'ils feront en plans differens, n'y pouvant être répandus en plus d'une demi-sphere.

III. Joignons prefentement ces deux articles avec les folutions des deux Problêmes précedens ; & l'on verra pour tous les Problêmes imaginables où il s'agira d'affigner des puiffances, qui appliquées chacune à chacun de tant de cordons qu'on voudra, attachez ensemble par un feul nœud, & de directions données à volonté, feroient équilibre entr'elles fuivant ces directions: on verra, dis-je, 1o. Que (art. 2.) le Problême de deux ou de trois cordons, fera toûjours déterminé ou impoffible.

2°. Que (folut. du Probl. 14.) le Problême de quatre cordons fera tantôt déterminé, tantôt indéterminé, & quelquefois impoffible.

3°. Qu'enfin (folut. du Probl. 15. & art. 1. d'ici ) tous les autres Problêmes de plus de quatre cordons à l'infini, feront toûjours indéterminez ou impoffibles.

Tome II.

Y y