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pour le temps qu'il employe à faire fon ouvrage, que donnera 41 valeur des 4 agents, enfemble? ] Il viendra au quotient le temps qu'ils employeront tous ensemble à faire l'ouvrage propose; fçavoir 8 heures 3 I minutes pour les 4. On trouvera de même que les 3 derniers ensemble employeroient 3 heures 54 minutes.

Théorie.

II. Pour entendre la pratique de ces régles, il faut fe fouvenir d'un principe naturellement connu; fçavoir [ Que file temps d'un 1 agent n'est par exemple que les du temps d'un fecond agent, c'est une marque certaine, que la force, ou le nombre, ou la quantité de ce fecond agent n'est que les de ceux du I, & de même pour toute autre proportion. ] Ainfi l'expofant (3) du temps du 1, eft auffi l'expofant de la force du fecond, & réciproquement Ï'expofant (4) du temps du fecond eft en même temps l'expofant de la force, nombre, quantité, &c. du 1, & de même pour tous les autres agens. De plus, il faut fe fouvenir que les 4 produits (3456) (2592,) 15552, ) & ( 13824,) des expofans non réduits des 4 agens; fçavoir (48.8.9) (36. 8. 9.) ( 36. 48. 9.) (36. 48. 8.) ont même raport entr'eux, que les 4 produits réduits (4) (3) (18) (16,) qui en font tirez; comme on l'a démontré dans la Théorie des proportions compofées. Or les 2, (3456) & (2592) (par éxemple) peuvent être regardez comme faits. des 2 nombres 48, & 36, multipliez chacun par 8 fois 9, ou 72, donc le 1 ( 3456) a même raport au fecond (2592,) que le temps du fecond 48 au temps du 1 36; c'est-à-dire que la force du

1 à celle du fecond. (fuivant ie 1 principe cideffus) Donc auffi le i produitréduit (4) a même raport au 2d réduit (3,) que la force du 1 à celle du fecond. Regardant de même les 2 produits (2592 & ( 15552,) comme faits de la multiplication de (8) & (48) par 9 fois 36, ou par (324,) le fecond produit ( 2592) aura même rapport au 3e (15552, que le temps (8) du 3, au tems ( 48 ) du fecond, Donc auffi le fecond produit réduit 3, a même rapport au 3o 18, que le tems 8 du 3e au temps 48 du fecond, ou que la force, quantité, &c.du fecond à celles du ge, & de même du 3e agent comparé au 4, & d'un plus grand nombre; ce qui vient de ce que tous ces produits pris 2 à 2, comme ( par éxemple) (3456) & (13824) ont tous les mêmes multiplicateurs communs,excepté un dans chacun, qui eft l'expofant du temps de fon agent opofé, & par confequent celui de fa force propre : comme dans ces 2 éxemples, 9 & 36, marquent les temps du fecond & du 1 agent, & les forces du 1 & du fecond. Donc les 4 produits réduits 4, 3, 18, 16, expriment directement les forces, nombres, ou quantitez des 4 agens pris dans le même ordre, on feparément, ou conjointement à fouhait; c'eft-à-dire que la fomme des deux Irs produits marquera en même-tems celles des deux Is agens; la fomme des trois its produits marquera celles des trois r's agens ; & enfin la fomme des 4 produits marquera celles des 4 agens: ce qui étant entendu, le refte fe conçoit de foi-même.

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CHAPITRE XVII.

Des Régles d'Alliages, ou des Equivalens.

Ces Régles fervent à méler ou allier les prix, les poids, les volumes ou grandeurs, les temps, les forces, les nombres, & en un mot toutes fortes de quantitéz d'une maniere équivalente.

I.

ART. 1. O
O

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N fuppofe que l'on a de deux efpeces de marchandises, dont la premiere vaut (par exemple) 35 liv. & la feconde 22 liv. & qu'on veut, en prenant de l'une & de l'autre faire un compofé, ou mélange, ou Alliage, qui pefe 100 livres, & dont le prix foit de 27 francs la livre pefant, qui eft un prix moyen entre 22 liv. & 35 liv. & l'on demande le poids qu'il faut prendre de chaque efpece de marchandise, pour faire le compofé Equivalent.

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Si 13 donnent 5|| combien 100| Rép. 381.p.7on. 3 dra,
Si 13 donnent 8 combien 100| Rép. 611.p. Sondra.

Ces fortes de queftions fe réfoudent aisément

par

par les régles de focieté, & n'en different que dans le préparatif, comme on va le voir.

Je prens donc la difference du prix moyen, ou de l'Alliage (27) à chaque prix extrême 35 & 22, ôtant 27 de 3: ce qui donne la rre difference 8; & ôtant 22 de 27, ce qui donne la 2e difference 5. Je regarde enfuite ces deux differences 8 & 5 comme les mifes particulieres d'une Régle de focieté; c'eft pourquoi j'en fais le 2d lieu de cette régle, mais en renverfant leur ordre, c'eft-à-dire mettant la difference de 22 au droit de 35, & celle de 35 au droit de 22. J'écris de plus leur fomme B, au I Lieu de la régle à l'ordinaire ; & la quantité défirée de l'Alliage, fçavoir too liv, pefant au 3, qui tient lieu de gain total. Enfin je résous la Régle de focieté, comme ci-devant chapitre 14: ce qui me donne pour la part de la focieté, qui répond à la differences, & en même-temps au prix 35 1. (38 liv. pef. 7 onces, ; drac.) (& (61 liv. pef. 8 Onc. 5 drac.) pour la part de la focieté qui répond à la difference 8, & en même-temps au prix 22 liv. Ainfi la premiere part eft la quantité qu'il faut prendre de la marchandise à liv. & la ze part eft celle qu'il faut prendre de la marchandise à 2 liv, pour compofer l'alliage ou l'équivalent propofé.

Preuves.

Ces fortes de régles, outre la preuve de leur opé ration, qui eft celle de la Régle de focieté, ort encore leur preuve particuliere, qui eft celle de leur méthode. Car il eft évident que puifque le prix moyen de l'Alliage (27 liv.) doit être équiyalent aux deux extrêmes (35 liv. & 22 liv.) la valeur totale de l'Alliage doit être la même, foir

H

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qu'on multiplie le prix moyen ( 27 liv.) par la quantité de liv. qu'on en prend, c'eft-à-dire par la quantité de l'Alliage, fçavoir ici par 100; foit qu'on multiplie chaque prix extreme 35 livres, & 22 livres par la quantité qu'on tire de chacun, fçavoir 35 par 38 livres pefant, 7 onces, 3 drachmes, & a2 liv. par 61 liv. pef. 8 onc. s pour faire une fomme des deux produits.

drac.

Or on a vû dans les régles de proportion fimples que ces fortes de multiplications d'efpeces differentes fe réduisent à des Régles de Trois, lorfque les 2 multiplicateurs contiennent des parties, & & que ces parties font compofées; ce qui fe fait ainfi. [ Si liv. pef. ou 128 drachmes valent 35 liv. o fols o den. combien 38 liv. pef. 7 onc. 3 drach. ou 4923 drachmes? Réponse. 1346 liv. 2 fols 8 den. ] & [ Si 128 drachmes valent 22 liv. o f. o den. combien 61 liv. pef. 8 onc. 5 drac. ou 7877 drachmes? Réponse. 1353 liv. 17 fols 2 den. ] Or ajoutant les deux quantitez produites par ces deux régles de proportion, ou leurs Réponfes, on trouve pour la valeur entiere ou totale de l'Alliage (2699 liv. 19 fols 10 den.) qui ne differe de 2700 liv. ci-deffus, que de 2 den. ce qui n'eft icy prefque rien.

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27

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100

Mais quand il n'y a point de parties dans les efpeces de l'Alliage, comme 2700lt dans cet éxemple, où il n'y a que des liv. fçavoir 35 liv. 27 liv. & 22 liv. fans fols, ni deniers; il eft plus court de multiplier tout d'un

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