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cisément l'ouvrage proposé 36 toises quarrées ; ce qui peut

servir de preuve à la régle. A l'égard de la preuve ordinaire de cet éxemple, il est encore évident que le produit de chaque force particuliere par le temps pendant lequel on l'a fait travailler, marque sa quantité totale d'ouvrage d'une maniere generale & indéterminée. Donc le seul produit de la force moyenne ou Equivalente (8) par son temps ros jours, sçavoir 840 doit être le même, que la somme des produits des forces extrémes s, 7 & 12, par

le

temps 35

de chacune ou des trois ensemble 24 par 35, ou enfin de 140 par 6; ce qui est manifefte; & lorsqu'il y aura des fractions dans les agents & dans leur temps, on fera les quatre multiplications ci-dessus par parties aliquotes; sinon on réfoudra les trois régles de proportion suivantes, selon la remarque de la preuve de l'article 1. [ Si I donne

s

liv. pesant de force..., onces.... drac. combien 35 jours

heures ., minutes ? Il viendra un 4° terme qui marquera en general le temps de la premiere force. (Si i donne 7, combien 35 ? [ Si i donne 12, combien 35? ] Et [ Si i donne 8, combien 105 ? il viendra un temps ou 4 terme qui doit étre seul égal aux trois réponses ci-dessus des trois forces extrémes ensemble, afin que l'agent moyen leur soit Equivalent à toutes 3 comme il le doit.

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Sur le gain, la dépense , l'ouvrage , &c. VI. Un certain nombre d'agents (comme 100)de differentes especes ont concouru à faire en mêmetemps, un certain ouvrage qui vaut 1800 livres; la premiere espece ou classe gagnoient chacun 30

1

liv. la deuxiéme 20 liv. la troisiéme is liv. & la quatriéme 10 liv. On demande combien il y avoit d'agens dans chaque classe.

6 EX E M P L E ou l'Equivalent n'est point donné. premiere claffe , 30+

Pour répondre à cette deuxième classe, 2011 question, il faut remar

quer que l'espece moyenclaffe moyenne , 18it ne, ou l'Equivalent de

l’Alliage n'est point ici troisiéme claße , 1st donné, comme dans les quatriéme claffe, 10h éxemples précédens. Mais

il n'est rien de plus aisé que de le connoître ; puisque l'ouvrage entier de 1800 liv. divisé par le nombre entier d'ouvriers, sçavoir 100, donnera 18 pour le gain Equivalent, ou moyen qui conviendroit à chaque ouvrier , s'ils travailloient tous également. Il ne reste donc que de résoudre la Régle d'Alliage à l'ordinaire, qui donnera 32 pour la premiere classe d'ouvrers, 12 pour la seconde, pour la 3°, & 48 pour

la & ces quatre valeurs font précisément les 100 ou. vriers proposez.

Résolution. 8 linombre de 32. nombre de la jre claffe. 3

12. nombre de la 2e claffe. Ht

x08
4

8. nombre de la 3e claße:

48. nombre de la 4* clafe. A l'égard de la preuve, il eft évident que les 32 agents multipliez par le gain de chacun, sçavoir par 30 ; plus les 12 multipliez par le gain de chacun ; sçavoir 20; plus les. & multipliez par

le

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4° ;

"Allage.

I

2

I 2

7

gain de chacun, sçavoir 15 ; plus enfin les 48 multipliez par le gain 10 de chacun ; le tout ensemble doit composer les 1800 parties de gain, aussibien que

les 100 ouvriers multipliez par leur quantité de gain Equivalent , ( 18 ) ce qui se voit ici à l'ail,

Il faut remarquer que les éxemples de l'espece de ce dernier ne réussissent que par le plus grand hazard du monde , à cause que toutes les réponses que l'on demande doivent arriver sans fractions

; c'est la même chose lorsqu'on demande de faire une certaine somme, comme par exemple 9 liv. 10 sols avec des pieces des

,

de 1o, de car il y a beaucoup à taronner avant d'amener 4 réponses, en entiers, comme les 4 nombres 1, 2, 3, 4; c'est pourquoi cet éxemple & le précédent ne sont bons, au plus, que pour éxercer les commençans.

IS, & de

30 fols

;

le

Théorie. VII. L'on a vû dans tous les éxemples précedens que la nature des Alliages demande, que la somme de tous les produits de chaque espece extréme, comme 30. 20, 15, 10, (dans le 6e éxemple ) par sa réponse ( 32, 12,8, 48,) soit toujours égale au seul produit de l'Espece moyenne par ze lieu de la régle de societé, commme ici de 18 par 100,

afin

que cette espece moyenne devienne un Equivalent à l'égard des especes proposées ( 30, 20, 15, 10,) & de leurs quantitez ( 32,12, 8 48.)

Or c'est une proprieté de tout nombre, comme 18 pris entre plusieurs autres à souhait 30, 20, IS 10, en nombre égal au dessus & au dessous de lui

repetez

2

repetez ou non repetez. [ Que toujours la somme des produits de chaque nombre, par la difference de son correspondant ( comme ici de 30 par 8, difference de 10; de 20 par 3 , difference de 15; de is par 2, difference de 20; & de 10 par 12, difference de 30,) est égale au seul produit de la quantité moyenne ( 18,) par la somme 25 de toutes ces differences : ] dont la raison est, que le produit de 18 par 2 s est la même chose que le produit de 18 par 8, ensuite par 3, ensuite par 2, enfon

par 12 ; en ajoutant ces quatre derniers produits. Or si après avoir multiplié 30 par 8 & 20 par 3, on multiplie ausfi 18 par 8 & par 3 , il est évident que les deux derniers produits ensemble seront moindres que les deux premiers ensemble du produit de 8 par l'excès de 30 sur 18, sçavoir 12, & du produit de 3 par l'excès de 20 sur 18; sçavoir 2. Mais en recompense fi l'on multiplie encore is par 2 & 10 par 12 ; & qu'ensuite on multiplie 18 par 2 & par 12, ces deux derniers produits surpasseront ces 2 premiers du produit de 2 par l'excès de 18 sur 15, sçavoir 3; & du produit de 12 par l'excès de 18 sur 10, sçavoir 8. Donc ces deux derniers produits surpasseront ces deux premiers , d'autant que les deux premiers de la premiere opération ci-dessus surpassent les deux derniers de cette même opération. Donc la somme des quatre derniers produits des deux opérations doit être parfaitement égale à celle des quatre premiers des deux mêmes opérations, à cause de la compensation qui se trouve entre les quatre d'une part, & les quatre de l'autre.

. Mais c'est aussi une proprieté de la Régle de compagnie dont on s'est servi pour résoudre celles de l'Alliage. [ Que les parties de profit ( 32. 12. 8. 48.) ont toujours le même rapport entr'elles,

&

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& chacune avec leur sommt totale ( 100,) que les differentes parties de la mise ( 8. 3. 2. 12.) ont entr'elles, & chacune avec leur somme totale ( 25 )] D'où il suit que si au lieu de multiplier 30 par 8, 20 par 3, 15 par 2, & 10 par 12, on multiplie 30 par 32, 20 par 12, IS par 8, & 10 par 48;& qu'en même-temps, au lieu de multiplier i8 par 25, on multiplie 18 par 100 ; ce dernier produit sera encore seul égal aux quatre 30 par 32, 20 par 12, 15 par 8,& 10 par 48 ; ce qu'il falloit prouver,

CHAPITRE XVIII.

Des Proportions & Progressions arithmetiques,

& des Progressions Géométriques. ART. L. S passent également les uns les autres ,

I l'on a plusieurs nombres qui se surétant pris de suite deux à deux seulement, comme les nombres ( 2, 4; 5,7; 10, 12, &c.) ou (0, 3; 5,8; 9, 12, &c.) on dit qu'ils sont en proportion arithmetique , comme l'on dit que des nombres sont en Proportion géométrique, lorsqu'ils se contiennent également les uns & les autres, étant pris de suite, seulement 2 à 2; comme les nombres (2, 4; 510; 10, 20, &c.) ou comme ceux-ci (1, 3; S, 15; 8, 24, &c. ) C'est de ces dernieres proportions dont on a fait usage jusqu'icy.

Mais si tous les termes se surpassent également fans interruption, comme ceux-ci ( 2, 4, 6, 8, 10, 12, &c.) ou (0, 3, 6, 9, 12, &c.) on dit alors qu'ils forment une progression arithmétique; &

I.

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