Imágenes de páginas
PDF
EPUB

2

[ocr errors]

3

[ocr errors]
[ocr errors]

2

[ocr errors]

l'ondie qu'ilsen composentuneGéométrique,quand
its fe contiennent les uns les autres également, fans
interruption, comme les termes (2, 4, 8, 16, 32,
&c. ) ou ( 1, 3, 9, 27, 81, &c.) De sorte que
dans la Proportion arithmetique, les differences
entre les termes pris 2 à 2 doivent être toutes éga-
gales. Ainsi la difference de o à 3 eft 3; celle de
s
à S est

3;
celle de 9 à 12 eft 3. Il en elt de même

3
dans la Progression arithmetique ; la difference de
2 à 4, de 4 à 6, de 6 à 8, &c. est toujours la mê.
me; sçavoir 2. Mais dans la Proportion géométri-
que, c'est le rapport des termes pris 2 à 2, qui est
par tout le même. Ainsi le rapport de 2 à 4, est le
inême

que de s à 10, que de 10 à 20, &c. parce que 2 est en 4, 2 fois; s en 10 pareillement 2 fois ; & 10 en 20, 2 fois. A l'égard de la difference entre tous ces derniers termes,elle est par tout inégale: car la difference de 2 à 4 est ( 2,) celle de eft (,) & celle de 10 à 20 est ( 10;) ce qu'il

s faut bien remarquer , crainte de confondre la difference qui régne dans la proportion arithmetique, avec le Rapport qui régne dans la géométrique. C'est la même chose dans la Progression géométrique, coinme dans ( 1, 3, 2, 27, 81:) car i est 3 fois en 3 ; 3 eft 3 fois en 9; 9 est 3 fois en

3 27,&c. Mais à l'égard des differences entre tous les termes de cette progression, elles sont toutes inégales entr'elles ; car de 1 à 3 il ya ( 2, ) de 3 à 9

à il y a (6,) de 9 à 27 ( 18 ) de 27 à 81 (54) &c.)

. On peut même remarquer en passant, comme une chose particuliere à la Progression géométrique, qu'elle se réproduit elle-même à l'infini par fes differences. Câr dans la Progression géométrique triple ci-dessus ( 1, 3, 9, 27, 81, &c.) les differences sont ( 2, 6, 18, 54, &c. ) qui composent' encore entr'elles une semblable Progression

[ocr errors]

a 10

I

[ocr errors]
[ocr errors]

ز

géométrique triple, & de même à l'égard des differences de cette derniere, & de toutes les autres à l'infini.

Au reste le nombre qui marque combien ou comment chaque terme de la Progression géométrique est contenu dans son superieur d'un degré, s'appelle l'Exposant de la Progression, à laquelle il donne le nom ; ainsi dans la Progression triple cidessus ( 1, 3, 9, 27, S1, ) chaque terme est le tiers de celui qui le suit immédiatement en montant; & le nombre ( 3 ) qui marque ce rapport perpetuel, s'appelle , à cause de cela l'Exposant de la Progression, comme qui diroit son Dénominateur, parce que c'est lui qui fait qu'on la nomme Progression triple. Il en est de même de toutes les autres progressions géométriques possibles. A l'ém gard de la raison pour laquelle on appelle cette Progression géométrique & l'autre arithmétique, je n'en sçai aucune ; ces deux progressions étant également numeriques, & même la Géométrique étant d'un usage sans comparaison plus étendu dans l'arithmetique, que la Progression Arithmé. tique même.

ir E x E M P L E Sur les Progressions arithmétiques. I!. On suppose qu'il faille tirer d'une Pépiniere quantité d'arbres, pour les planter en égale dif-. tance le long d'une Allée qui y aboutiroir étant

y prolongée, & qu'on n'en puiffe transporter qu'un à la fois. On demande combien il y aura de chemin à faire en tout, tant pour aller que pour reyenir.

Soit le nombre des arbres 304; la distance de la pépiniere au ff ou plus proche 80 toises, & au dernier ou plus éloigné, 1212 toises. Je fais une fom,

me de ces deux distances, sçavoir 1292, que je multiplic par le nombre des arbres ( 304; ) le produit est ( 392768,) qui est le nombre de toises qu'il faudra faire en tout pour transporter les arbres proposez de la pépiniere à leurs places ; le chemin d'ailer & de revenir

у

étant compris. Il est évident au reste que ce que l'on demande en cette question n'est autre chose que le double de la somme des termes d'une Progression arithmétique, dont le premier terme est so, le dernier 1212, & le nombre des termes 304; puisque la distance de la Pépiniere à chacun des arbres de l'Allée, augmente pour chaque arbre d'une même quantité ou difference, qui est la distance qu'il y a entre chaque arbre, sçavoir ici 4 toises.

. Le plus petit terme de la Progression pourroit être zero, comme si le premier arbre commençoit à la Pépiniere même: en ce cas la somme du plus petit,.& du plus grand terme se trouveroit être seulement ce inême plus grand terme ; & le reste de l'opération seroit le même. Comme si l'on demande la somme des ro termes élementaires ( 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 89: ) ajoutant o, à 9, la somme eft

à toûjours 9; laquelle étant multipliée par le nombre des termes 10,

donne 90 pour produit, dont la moitié est la somme des 10 termes proposez.

45

Théorie pour les Proportions & Progrellions

Arithmétiques. III. Suivant la définition que nous avons donnée de la Proportion Arithmétique 2, 4; 5, 7; 10, 12, &c.) dans le premier article ci-devant, il est aisé de voir, que li l'on prend 4 de ses termes 2 à

[ocr errors]
[ocr errors]

:

2

2

ܪ ܐ

2 ;

que 7 sur

2, comme par exemple les 4 (2,4; 5,7,) ou ( 2, 4; 10, 12, ) ( 5, 7; 10, 12, &c.) la somme des deux termes moyens 4 & s dans le 1e éxemple

, s

11 sera toujours égale à celle des deux extrémes 2 & 7, sçavoir 9. De même les 2 extrémes 2 & 12 dans le 2d éxemple, font 14, comme les 2 moyens 4 & 10 font 14 ; S & 12 font 17 dans le ze éxem

& ple, de même que 7 & 10 font 17 : dont la raiIon elt que si d'un côté l'on veut que la somme de

fi 4 & de ş ( dans le is éxemple ) surpasse de 2 celle

it de 2 & de 7, à cause que 4 surpasse 2 de 2; d'un autre côte l'on doit oonfiderer que la somme de 2 & z doit surpasser aussi la įre de à cause

7 palle s de 2. Ainsi ces deux sommes ont un avantage égal ou réciproque l'une sur l'autre. Donc l'une ne doit pas surpasser l'autre : de même qu'on a vû dans les Régles de proportion droites de4 termes, que toujours le produit des 2 termes moyens est égal à celui des 2 termes extrêmes, à caused'une compensation toute semblable qui se ramontie en- VeneOS tre ces deux produits. C'est la même chose dans progressions Arithmétiques ( 2, 4, 6, 8, 10, 12,) &c du ir article. Car les 2 termes extrémes 2 & 12 font 14; les 2 prochainement moyens 4 & 10 font aussi 14; les 2 moyens fuivans G & & font encore 14. De même dans la Progression ( 0, 3, 6, 9, 12.) Les 2 extrémes o & 12, font 12, les prochaine

, ment moyens 3 & 9, font encore 12 ; 6 & 6, ou 6 ,

6 pris 2 fois fait toujours 12. On prend le terme moyen 6, deux fois ; parce qu'on peut toujours, avec les trois termes en progression ( 3, 6, 9,) en composer cette Proportion arithmétique de quatre termés 3, 6! 6.9 ) dans laquelle lå somme des deux termes moyens 6 & 6, ou le double de 6 est toujours égale à celle des deux cxgrémes 3.2; & par consequent aulii à celle de zéro & 12.

I iij

2

le Moyen

[ocr errors]

ii fuit évidemment delà, que si l'on prend la somme 14 cidessus 3 fois, c'est-à-dire la moitié autant de fois qu'il y a de termes dans la progresfion Arithmétique ( 2, 4, 6, 8, 10, 12, ) ou tout d'un coup autant de fois qu'il y a de termes dans cette Progression,& qu'on prenne ensuite la moitié du produit, on aura la somme de toute la progreffion, Et si dans la Progression (0, 3, 6, 9, 12, ) Pon prend la somme de o, & de 12, sçavoir 12, deux fois; c'est-à-dire une pour(o & 12,) & l'autre pour 3 & 9; plus une demie fois

pour arithmétique 6, ou si l'on prend tout d'un coup cette même somme ( 12 ) quatre fois pour

les quatre termes ( 0, 3, 9, 12, ) plus une fois pour le Moyen (6, ) c'est-à-dire s fois pour les s termes

) (0, 3, 6, 9, 12, ) & que l'on prenne ensuite la moitié du produit ; on aura encore la même somme de la progression. Ainsi la régle que nous avons donnée pour trouver la somme d'une Progression Arithmetique, est generale à toute forte de Progression arithmetique,

On peut tirer de ces principes quelques consequences utiles, comme (par exemple;) Qu'ayant une Progression arithmétique quelconque, comme ( 2, 4, 6, (7) 8, 10, 12, ) ou (2, 4, 6, (8,) 10, 12, 14,) & concevant un Moyen ou Milieu arithmétique, comme 7 ou 8 ; deux fois ce Moyen vaudront autant que ses deux termes voisins ensemble ; & trois fois ce même Moyen vaudront encore autant que tous les trois termes ensemble: ainsi dans le it éxemple, 2 fois 7 font 14, comme ne 6& S font 14; de plus trois foiş 7 font 21, de même que 6 (7)&8 font 21; & dans le see, cond éxemple, 3 fois 8 font 24, de même (6, 8 & 10.) Dans le même 11 éxemple 4 fois le Moyen (7) font autant que les quatre voisins

que

« AnteriorContinuar »