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l'ondit qu'ilsen composentuneGéométrique, quand ils se contiennent les uns les autres également, sans interruption, comme les termes (2, 4, 8, 16, 32, &c.) ou ( 1, 3, 9, 27, 81, &c.) De sorte que dans la Proportion arithmetique, les differences entre les termes pris 2 à 2 doivent être toutes égagales. Ainsi la difference de o à 3 eft 3; celle de s à 8 est 3; celle de 9 à 12 eft 3. Il en elt de même dans la Progression arithmetique ; la difference de 2 à 4, de 4 à 6, de 6 à 8, &c. est toujours la mê. me; sçavoir 2. Mais dans la Proportion géométrique, c'est le rapport des termes pris 2 à 2, qui est par tout le même. Ainsi le rapport de 2 à 4, est le inême

que de s à 10, que de ro à 20, &c. parce que 2 est en 4, 2 fois; s en 10 pareillement 2 fois; & 10 en 20, 2 fois. A l'égard de la difference entre tous ces derniers termes, elle est par tout inégale: car la difference de 2 à 4 est ( 2,) celle des à 10 elt (,) & celle de 10 à 20 est ( 10;) ce qu'il faut bien remarquer, crainte de confondre la difference qui régne dans la proportion arithmetique, avec le Rapport qui régne dans la géométrique. C'est la même chose dans la Progression géométrique, coinme dans ( 1, 3, 2, 27, 81:) car i est 3 fois en 3 ; 3 est 3 fois en 9; 9 eft 3 fois en 27,&c. Mais à l'égard des differences entre tous les termes de cette progression, elles sont toutes inégales entr'elles ; car de 1 à 3 il y a ( 2, ) de 3 à 9 il ya (6,) de 9 à 27 ( 18 ) de 27 à 8 1 (54) &c.)

On peut même remarquer en passant, comme une chose particuliere à la Progression géométrique, qu'elle se réproduit elle-même à l'infini

par fes differences. Cår dans la Progression géométrique triple ci-dessus ( 1, 3, 9, 27, 81, &c.) les differences sont ( 2, 6, 18, 54, &c. ) qui composent encore entr'elles une semblable Progrellion

géométrique triple, & de même à l'égard des differences de cette derniere, & de toutes les autres à l'infini.

Au reste le nombre qui marque combien ou comment chaque terme de la Progression géomés trique est contenu dans son superieur d'un degré s'appelle l’Exposant de la Progression, à laquelle il donne le nom ; ainsi dans la Progression triple cidessus ( 1, 3, 7, 27, 81,) chaque terme est le tiers de celui qui le suit immédiatement en montant; & le nombre ( 3 ) qui marque ce rapport perpetuel, s'appelle, à cause de cela l'Exposant de la Progression, comme qui diroit son Dénominateur parce que c'est lui qui fait qu'on la nomme Pro. gression triple. Il en est de même de toutes les autres progressions géométriques possibles. A l'ém gard de la raison pour laquelle on appelle cette Progression géométrique & l'autre arithmétique , je n'en sçai aucune; ces deux progressions étant également numeriques, & même la Géométrique étant d'un usage sans comparaison plus étendu dans l'arithmetique, que la Progression Arithmé. tique même.

ir EXEMPLE, Sur les Progressions arithmétiques. II. On suppose qu'il faille tirer d'une Pépiniere quantité d'arbres, pour les planter en égale diftance le long d'une Allée qui y aboutiroir étant prolongée, & qu'on n'en puiffe transporter qu'un à la fois. On demande combien il y aura de chemin à faire en tout, tant pour aller que pour reyenir.

Soit le nombre des arbres 304; la distance de la pépiniere au fr ou plus proche so toises, & au dernier ou plus éloigné, 1212 toises. Je fais une som, me de ces deux distances, sçavoir 1292, que je multiplie par le nombre des arbres ( 304;) le produit est ( 392768,) qui est le nombre de toises qu'il faudra faire en tout pour transporter les arbres proposez de la pépiniere à leurs places ; le chemin d'ailer & de revenir y étant compris.

Il est évident au reste que ce que l'on demande en cette question n'est autre chose que le double de la somme des termes d'une Progression arithmétique, dont le premier terme est so, le dernier 1212, & le nombre des termes 304; puisque la distance de la Pépiniere à chacun des arbres de l’Allée, augmente pour chaque arbre d'une même quantité ou difference, qui est la distance qu'il y a entre chaque arbre, sçavoir ici 4 toises.

Le plus petit terme de la Progression pourroir être zéro, comme si le premier arbre commençoit à la Pépiniere même: en ce cas la somme du plus petit,& du plus grand terme se trouveroit être Teulement ce même plus grand terme ; & le reste de l'opération seroit le même. Comme si l'on demande la somme des 10 termes élementaires ( 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 9 : ) ajoutant o, à 9, la somme est toûjours 9; laquelle étant multipliée par le nombre des termes 10, donne 90 pour produit, dont la moitié

est la somme des 10 termes proposez. 45

Théorie pour les Proportions & Progrellions

Arithmétiques. III. Suivant la définition

nous avons don.. née de la Proportion Arithmétique 2, 4; 5, 7; 10, 12, &c.) dans le premier article ci-devant, il est aisé de voir, que li l'on prend 4 de ses termes z à

que

H

2, comme par exemple les 4(2,4; 527,)ou( 2, 4;10, 12,) (5, 7; 10, 12, &c.) la fomme des deux termes moyens 4 & 5 dans le 1e éxemple sera toujours égale à celle des deux excrémes 2 & 7, sçavoir 9. De même les 2 extrémęs 2 & 12 dans le 2d éxcinple, font 14, comme les 2 moyens 4 & 10 font 14 ; S & 12 font 17 dans le 3e éxemple, de même que 7 & 10 font 17 : dont la raison est

que si d'un côté l'on veut que la somme de 4. & de s ( dans le it éxemple) surpasse de 2 celle de 2 & de 7, à cause que 4 surpasse 2 de 2; d'un autre côte l'on doit oonfiderer que la somme de 2 & z doit surpasser aussi la įre de 2 ; à cause que 7 surpasse , de 2. Ainsi ces deux sommes ont un avantage égal ou réciproque l'une sur l'autre. Donc l'une ne doit pas surpasser l'autre: de même qu'on a vû dans les Régles de proportion droites de 4 termes, que toujours le produit des 2 termes moyens est égal à celui des 2 termes extrêmes, à caused’une compensation toute semblable qui se ramor cn- Venue One tre ces deux produits. C'est la même chose dans progressions Arithmétiques ( 2, 4, 6, 8, 10, 12,) &c du ir article. Car les 2 termes extrémes 2 &

14;

les 2 prochainement moyens 4 & 10 font aussi 14; les 2 moyens suivans & & & font encore 14. De même dans la Progression ( 0, 3, 6, 9, 12.) Les 2 extrémes o & 12, font 12,les prochaine ment moyens 3 & 9, font encore 12; 6 & 6, ou 6 pris 2 fois fait toujours 12. On prend le terme moyen 6, deux fois; parce qu'on peut toujours, avec les trois termes en progression ( 3, 6, 9,) en coinposer cette Proportion arithmérique de quatre termés 3, 6 | 6.9 ) dans laquelle la somme des deux termes moyens 6 & 7, ou le double de 6 est toujours égale à celle des deux extrémes 3. 2 , & par consequent ausii à celle de zéro & 12.

1 2 font

I iij

le Moyen

Il suit évidemment delà, que si l'on prend la somme 14 cidessus 3 fois, c'est-à-dire la moitié autant de fois qu'il y a de termes dans la progreffion Arithmétique ( 2, 4, 6, 8, 10, 12, ) ou tout d'un coup autant de fois qu'il y a de termes dans cette Progression,& qu'on prenne ensuite la moitié du produit, on aura la somme de toute la progression, Et si dans la Progression (0, 3, 6, 9, 12, ) Pon prend la somme de 0, & de 12, sçavoir 12 , deux fois; c'est-à-dire une pour(o & 12,) & l'autre pour 3 & 9; plus une demie fois

pour arithmétique ó, ou si l'on prend tout d'un coup cette même somme ( 12 ) quatre

fois
pour

les quatre termes ( 0, 1, 9, 12, ) plus une fois pour le Moyen (6,) c'est-à-dire ş fois pour les s termes (0, 3, 6, 9, 12, ) & que l'on prenne ensuite la moitié du produit ; on aura encore la même somme de la progression. Ainsi la régle que nous avons donnée pour trouver la somme d'une Progression Arithmetique, est generale à toute forte de Progression arithmetique,

On peut tirer de ces principes quelques consequences utiles, comme par exemple ;) Qu'ayant une Progression 'arithmétique quelconque, comme ( 2, 4, 6, (7) 8, 10, 12, ) ou (2, 4, 6, (8,) 10, 12, 14, ) & concevant un Moyen ou Milieu arithmétique, comme 7 ou 8 ; deux fois ce Moyen vaudront autant que ses deux termes voisins ensemble ; & trois fois ce même Moyen vaudront encore autant que tous les trois termes ensemble: ainsi dans le réxemple, 2 fois 7 font 14, comme 6&S font 14; de plus trois fois 7 font 21, de inême que 6 (7)& 8 font 21; & dans le fer, cond éxemple, 3 fois & font 24, de même que (6, 8 & 10.) Dans le même it éxemple 4 fois le Moyen (7) font autant que

les

quatre voisins

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