l'on dit qu'ils en compofentuneGéométrique,quand ils fe contiennent les uns les autres également, sans interruption, comme les termes (2, 4, 8, 16, 32, &c.) ou (1, 3, 9, 27, 81, &c.) De forte que dans la Proportion arithmetique, les differences entre les termes pris 2 à 2 doivent être toutes égagales. Ainfi la difference de o à 3 eft 3; celle de 5 à 8 eft 3; celle de 9 à 12 eft 3. Il en est de même dans la Progreffion arithmetique; la difference de 2 à 4, de 4 à 6, de 6 à 8, &c. est toujours la même; fçavoir 2. Mais dans la Proportion géométrique, c'eft le rapport des termes pris 2 à 2, qui eft par tout le même. Ainfi le rapport de 2 à 4, eft le inême que de 5 à 10, que de 10 à 20, &c. parce que 2 est en 4, 2 fois; 5 en 10 pareillement 2 fois ; & 10 en 20, 2 fois. A l'égard de la difference entre tous ces derniers termes,elle eft par tout inégale: car la difference de 2 à 4 eft ( 2,) celle de 5 à 10 est (5,) & celle de 10 à 20 est (10;) ce qu'il faut bien remarquer, crainte de confondre la difference qui régne dans la proportion arithmetique, avec le Rapport qui régné dans la géométrique. C'eft la même chofe dans la Progreffion géométrique, comme dans ( 1, 3, 9, 27, 81:) car 1 eft 3 fois en 3; 3 eft 3 fois en 9; 9 eft 3 fois en 27,&c. Mais à l'égard des differences entre tous les termes de cette progreffion, elles font toutes inégales entr'elles; car de 1 à 3 il ya (2,) de 3 à 9 il y a ( 6, ) de 9 à 27 ( 18 ) de 27 à 81 (54) &c.)

On peut même remarquer en paffant, comme une chofe particuliere à la Progreffion géométrique, qu'elle se réproduit elle-même à l'infini par fes differences. Car dans la Progreffion géométri que triple ci-deffus ( 1, 3, 9, 27, 81, &c.) les differences font (2, 6, 18, 54, &c.) qui compofent encore entr'elles une femblable Progreffion

géométrique triple, & de même à l'égard des dif ferences de cette derniere, & de toutes les autres à l'infini.

Au refte le nombre qui marque combien ou comment chaque terme de la Progreffion géomé→ trique eft contenu dans fon fuperieur d'un degré, s'appelle l'Expofant de la Progreffion, à laquelle il donne le nom; ainfi dans la Progreffion triple cideffus ( 1, 3, 9, 27, S1,) chaque terme eft le tiers de celui qui le fuit immédiatement en montant; & le nombre ( 3 ) qui marque ce rapport perpetuel, s'appelle, à caufe de cela l'Exposant de la Progreffion, comme qui diroit fon Dénominateur, parce que c'eft lui qui fait qu'on la nomme Progreffion triple. Il en eft de même de toutes les autres progreffions géométriques poffibles. A l'égard de la raifon pour laquelle on appelle cette Progreffion géométrique & l'autre arithmétique, je n'en fçai aucune; ces deux progreffions étant également numeriques, & même la Géométrique étant d'un ufage fans comparaifon plus étendu dans l'arithmetique, que la Progreffion Arithmé tique même.

I EXEMPLE,

Sur les Progreffions arithmétiques.

II. On fuppofe qu'il faille tirer d'une Pépiniere quantité d'arbres, pour les planter en égale diftance le long d'une Allée qui y aboutiroit étant prolongée, & qu'on n'en puiffe transporter qu'un à la fois. On demande combien il y aura de chemin à faire en tout, tant pour aller que pour revenir.

Soit le nombre des arbres 304; la distance de la pépiniere au ou plus proche So toifes, & au dernier ou plus éloigné, 1212 toifes. Je fais une fom

me de ces deux diftances, fçavoir 1292, que je multiplie par le nombre des arbres (304;) le produit eft (392768,) qui eft le nombre de toifes qu'il faudra faire en tout pour transporter les arbres propofez de la pépiniere à leurs places; le chemin d'aller & de revenir y étant compris.

Il est évident au refte que ce que l'on demande en cette question n'eft autre chofe que le double de la fomme des termes d'une Progression arithmétique, dont le premier terme eft So, le dernier 1212, & le nombre des termes 304; puifque la distance de la Pépiniere à chacun des arbres de l'Allée, augmente pour chaque arbre d'une même quantité ou difference, qui eft la distance qu'il y a entre chaque arbre, fçavoir ici 4 toifes.

Le plus petit terme de la Progreffion pourroit être zero, comme fi le premier arbre commençoit à la Pépiniere même: en ce cas la fomme du plus petit, & du plus grand terme fe trouveroit être Teulement ce même plus grand terme; & le refte de l'opération feroit le même. Comme fi l'on demande la fomme des 10 termes élementaires ( 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 89:) ajoutant o, à 9, la fomme eft toûjours 9; laquelle étant multipliée par le nombre des termes 10, donne 90 pour produit, dont la moitié eft la fomme des 10 termes propofez.

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Théorie pour les Proportions & Progrefions Arithmétiques.

III. Suivant la définition que nous avons donnée de la Proportion Arithmétique 2, 4; 5, 7; 10, 12, &c.) dans le premier article ci-devant, il est aifé de voir, que fi l'on prend 4 de fes termes 2 à

2, comme par exemple les 4 ( 2, 4 ; S, 7, ) ou ( 2, 4; 10, 12, ) ( f, 7; 10, 12, &c.) la fomme des deux termes moyens 4 & 5 dans le 1 éxemple fera toujours égale à celle des deux extrémes 2 & 7, fçavoir 9. De même les 2 extrémes 2 & 12 dans le 2d éxemple, font 14, comme les 2 moyens 4 & 10 font 14; 5 & 12 font 17 dans le 3e éxemS ple, de même que 7 & 10 font 17 : dont la raifon eft que fi d'un côté l'on veut que la fomme de 4 & de 5 (dans le rr éxemple) furpaffe de 2 celle de 2 & de 7, à caufe que 4 furpaffe 2 de 2; d'un autre côte l'on doit oonfiderer que la fomme de 2 & 7 doit furpaffer auffi la 1o de 2; à caufe que 7 furpaffes de 2. Ainfi ces deux fommes ont un avantage égal ou réciproque l'une fur l'autre. Donc l'une ne doit pas furpaffer l'autre : de même qu'on a vû dans les Régles de proportion droites de termes, que toujours le produit des 2 termes moyens est égal à celui des 2 termes extrêmes, à caufe d'une compenfation toute femblable qui fe remonte en- ventonte tre ces deux produits. C'eft la même chofe dans progreffions Arithmétiques (2, 4, 6, 8, 10, 12,) &c du article. Car les 2 termes extrémes 2 &

12 font 14; les 2 prochainement moyens 4 & 10 font auffi 14; les 2 moyens fuivans 6 & & font encore 14. De même dans la Progreffion ( 0, 3, 6, 9, 12.) Les 2 extrémes o & 12, font 12,les prochaine ment moyens 3 & 9, font encore 12; 6 & 6, ou 6 pris 2 fois fait toujours 12. On prend le terme moyen 6, deux fois; parce qu'on peut toujours, avec les trois termes en progreffion (3, 6, 9,) en compofer cette Proportion arithmétique de quatre termes 3. 6 6.9) dans laquelle la fomme des deux termes moyens 6 & 7, ou le double de 6 eft toujours égale à celle des deux extrémes 32, & par confequent auffi à celle de zéro

& 12.

I iij

Il fuit évidemment delà, que fi l'on prend la fomme 14 cideffus 3 fois, c'est-à-dire la moitié autant de fois qu'il y a de termes dans la progreffion Arithmétique (2, 4, 6, 8, 10, 12,) ou tout d'un coup autant de fois qu'il y a de termes dans cette Progreffion,& qu'on prenne enfuite la moitié du produit, on aura la fomme de toute la progreffion, Et fi dans la Progreffion (0, 3, 6, 9, 12, ) l'on prend la fomme de o, & de 12, fçavoir 12, deux fois; c'est-à-dire une pour (o & 12,) & l'autre pour 3 & 9; plus une demie fois pour le Moyen arithmétique 6, ou fi l'on prend tout d'un coup cette même fomme (12) quatre fois pour les quatre termes (0, 3, 9, 12, ) plus une fois pour le Moyen (6,) c'est-à-dire 5 fois pour les s termes (0, 3, 6, 9, 12, ) & que l'on prenne enfuite la moitié du produit; on aura encore la même fomme de la progression. Ainfi la régle que nous avons donnée pour trouver la fomme d'une Progreffion Arithmetique, eft generale à toute forte de Progreffion arithmetique,

On peut tirer de ces principes quelques confequences utiles, comme (par exemple ;) Qu'ayant une Progreffion arithmétique quelconque, comme ( 2, 4, 6, (7) 8, 10, 12,) ou (2, 4, 6, (8,) 10, 12, 14,) & concevant un Moyen ou Milieu arithmétique, comme 7 ou 8; deux fois ce Moyen vaudront autant que fes deux termes voifins enfemble; & trois fois ce même Moyen vaudront encore autant que tous les trois termes enfemble: ainfi dans le réxemple, 2 fois 7 font 14, comme 6 & 8 font 14; de plus trois fois 7 font 21, de même que 6 (7) & 8 font 21; & dans le fecond éxemple, 3 fois 8 font 24, de même que (6, 8 & io.) Dans le même éxemple 4 fois le Moyen (7) font autant que les quatre voifins