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de même que

4

7.

( 4, 6, 8, 10,) & dans le second, 4 fois & font 32, de même que les 4 termes ( 4, 6, 10, 12; ) Dans le même s fois le Moyen S, font 40 :) de même que les s termes consecutifs ( 4. 6, 8, 10, 12; ) & dans le premier s fois 7 font 35; les s termes ( 4, 6, (7,) 8, 10, font 35, & ainsi de tous les autres termes : D'où l'on déduit que tout Moyen aritmétique est seul équivalent à sa Progression entiere.

3. Si la progression n'a que trois termes dont le premier soit zéro , comme ( 0, 4, 8, le double du Moyen (4) sera donc égal au seul extrême 8, Et fi la

proportion ou progression a quatre terines, dont le premier soit zéro, comme (0, 3; 4, 7, ) la somme des deux rerines moyens 3

& sera aust égale alors au seul extrême

4. Si dans une Progression arithmétique comme ( 2) 4 (6) 8 (10) 12 (14&c.) on prend quatre termes à souhait, en laissant entre les deux deřniers termes choisis autant de termes de la progression, qu'entre les deux 11s, comme par exemple les

4 ( 2. 6 | 10. 14,) en passant 4 entre 2 & 6;& 12 entre io & 14, ces 4

formeront encore une Proportion arithmétique; parce que la difference de ( 2 à 6 ) comprend les deux differences égales de 2 à 4, & de 4 à 6 ; c'est-à-dire le double de la Difference ( 2 ) de cette Progression arithmétique. De même la difference de 10 à 14, comprend les deux differences égales de 10 à 12, & de 12 à 14; c'est-à-dire encore le double de la même diffe rence ( 2 ) de la Progression. Donc la difference totale de 2 à 6 est la inême, que la difference totale de 10 à 14:& par consequent le quatre termes ( 2. 6 | 10. 14, ) font une proportion aritmétique. Ce seroit la même chose si l'on prenoit dans la Progression (0) 2, 4 (6)(S)10,12,( 14,) les

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quatre termes ( 0, 6; 8, 14, &c. ) en passant 2 &

4 entre les 2 , 175, & les deux termes 10 & 12 entre les deux derniers.

I EXEMPLE

Sur les Progressions Géométriques. IV. Un courier est envoyé après un autre qui a 10 lieuës d'avance devant lui; mais le dernier parti fait 3 lieuës par heure, au lieu que le is n'en fait que 2. On demande donc à quelle distance le dernier parti atteindra le premier. Pour résoudre cette question, j'ôte la moindre vitesse (2) du premier courier de la plus grande ( 3 ) du dernier, pour avoir leur difference qui est ( 1;) & je résous cette Régle de proportion Géométrique : [ Si ( 1 ) de difference, donne 3 pour la plus grande vitesse; combien donneront ro lieues d'avance ? Réponse. 30 lieuës. ] C'est-à-dire que

le dernier parti n'atteindra le 18 qu'après que

le dernier aura fait 30 lieuës; ou si l'on veut après 19 heures de marche, à compter du moment de son départ.

2d EXEMPLE,

V. Si au coiitraire la distance du lieu du départ, au lieu où le dernier courier doit atteindre le premier est donnée, comme par exemple, 30 lieuës, avec l'avance du premier sur le dernier, .encore de 10 lieuës, & la vitesse du ir toujours de deux lieuës, par heure; on ôtera cerce avance des 30 lieuës pour avoir le reste du chemin que le premier doit faire jusqu'au moment de la jonction, sçavoir 20 lieuës ; & l'on fera cette autre Régle de proportion [ Si 20 lieuës qui restent à faire, donnent 30 lieuës pour la course entiere, que donnera la vitesse du premier courier qui est de deux lieuës par heures ? ) il viendra au 4 terme ( 3 ) lieuës, que le dernier courier doit faire par heure, afin d'atteindre le premier à 30 lieuës du lieu du départ.

Il est évident au reste qu'on peut regarder le chemin de ces deux couriers, comme une Progression géométrique, qui commence par 10 lieuës, & finit par zéro : car tandis que le dernier courier fait les 10 lieues que le premier a d'avance sur lui; le premier qui va plus lentement d'un tiers fait la valeur des deux tiers de ces mêmes 1o lieuës sçavoir 6 lieues & deux tiers ; & tandis que le dernier courier fait ces 6 lieuës į, que le premier a encore d'avance sur lui; ce dernier fait encore les

de cette avance, sçavoir 4 lieuës & de lieuë : & ainsi de suite, en diminuant toujours l'avance du premier courier sur le dernier d', jusqu'à ce que cette avance soit réduite à zéro. Or il est évi. dent qu'une suite de termes dont chacun n'est que les de son précédent, composent une Progression géométrique, suivant la définition de cette Progression ; puisque tous ces termes ont un même faport à leurs suivans immédiatement.

36 E x £ M P E.

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VI. On demande jusqu'à quel nombre de livres on peut peser avec i drachme, 2 drachmes, 4 drachmes, 1 once, 2 onces , 4 onces, 8 onces, livre, 3 liv. 9 liv. 27 liv. 8 1 liv. Il faut remarquer premierement qu'avec les 7 premiers poids on peut peser jusqu'à leur somme, en mettant seulement des poids du côté vuide de la balance, lequel est opposé à la marchandise; & de même

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aussi avec les cinq derniers, en mettant des poids des deux côtez de la balance, comme je l'ai décou. vert il

y a déja plusieurs années. Ainsi il ne s'agit que de trouver la somme de la Progression géométrique double ( 8, 4, 2, 1, 1,,,) & celle de la Progression géométrique triple, ( 81, 27, 9, 3; 1.) L'exposant de la jre el 2, ou ( , ) & son terme fuperieur est 16 onces, d'où ôtant le moins dre terme į d'once, il reste ( 15 ) onces, 7 drac. ) La Régle de proportion sera donc pour la

progression double: ( Si l'excès des 2 sur i dans l'Ex. posant ( , ) sçavoir 1, donne le dénominateur 1; que donnera le reste 15 onces 7 drachmes ? ] || est évident que la réponse est 15 onces, 7 drach. Et pour la Progression triple, l'Exposant est 3, ou

& fon terme superieur ( 243,) d'où ôtant le moindre terme i, il reste 242. Ainsi la Régle de proportion pour cette Progression sera celle-ci: [ Si l'excès de 3 sur 1 dans l'Exposant (,) sçavoir donne le dénominateur 1, que donnera le reste 242? ] Il est encore évident que la réponse est ( 121; ) ainsi avec cette douzaine de poids on peut peser depuis 1 drachme jusqu'à 12 i liv, inclusivement. Au lieu que si l'on eût pris les s plus haut poids ( 1, 2, 4, 8, 16,) en la place de ( 1, 3, I, 27, 81,) comme l'on fait ordinairement dans le Commerce, on n'auroit pû peser que jufqu'à 3 1 liv. pesant, qui en est la somme : ce qui pourra produire dorénavant dans le commerce un facilite considerable, comme je l'espere.

Suposez par exemple qu'il fallât peser la valeur de 113 liv, pesant de quelque marchandise. On mettroit d'abord dans le bassin vuide, les trois poids 81, 27, & 9;& comme leur somme fait 117 1. p.on mettroit du côté de la marchandise les 2 autres poids 3 & i qui rabattroient 4 liv. pes, des

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117 : ce qui feroit en tout les 113 livres proposées. Si l'on vouloit peser 65 liyres, 11 onces, 7 drachmes, on mettroit dans le bassin vuide 8 1 liv. pes. & 27 du côté de la marchandise : ce qui feroit 54 en rout: Ensuite 9 & 3 livres pesant du côté vuide, & 1 du côté de la marchandise ; ce qui feroit 6s liv.pesant, Enfin on mettroit du côté vuide $, 2, & 1 onces, 4, 2, & i drachmes : ce qui donneroit les II onces, 7 drachmes proposées.

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Théorie pour les Progressions géométriques. .

VII. De ce que le même rapport régne entre tous les termes d'une Progression géométrique, comme ( 33 27,

243,

279) il s'ensuit non seulement que ( 3,19,11 9 127,) mais encore par soustraction que ( 316119 118,) &c. c'est-à-dire que le if terme 3 est à la difference 6, des 2 premiers 3 & 9; comme le second

9 est à la difference 18 du 2d au 3e, ou de 9 à 27; & ainsi de tous les autres termes. Donc aussi tous les termes ensemble de la Progression proposée (3, 2, 27, 81, 243 ) ont même raport à toutes leurs differences ensemble ( 6, 18, 54, 162, 486) (y comprise la difference 486 du plus grand terme ( 243 ) à son superieur (729,) afin qu'il y ait autant de differences, que de termes proposez :) que le 1" terme (3) à la 1re difference 6, par exemple; puisqu'il est évident que 3 étant la moitié de 6, & 9de 18, & 27 de 54; 3,9, & 27 ensemble, ou 39 sont encore la moitié des 3 ensemble, 6, 18, 34, ou de 78, & ainsi de toutes les auties. Prenant donc l'Exposant de la Progression qui est icy (3,) on aura l'analogie ( 3 L11193;) 3 est à à i comme 9 eft à 3. Donc aussi la difference de 1,

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