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à 3; sçavoir 2 a même rapport à 1; que la difference de 3 à 9, sçavoir 6, avec 3 ; ou tout d'un coup, que toutes les differences ensemble 6, 18, 54, &c.) qui composent la seule difference dá superieur de la Progression pha au plus petit terme 3, ont à tous les termes de la Progression( 3, 9, 27, 81, 243, ) pris ensemble.

2. Mais dans le 2d éxemple ouì l'Expofant de la progression 1į, ou, (puisqu'un courier fait 3 lieucs, tandis que l'autre n'en fait que 2,) & le plus petit terme zéro; l'analogie generale ci-desfus fe change en cette autre particuliere. [ Comme l'excès du plus grand des 2 exposans 3 , sur le plus petit 2, sçavoir 1, eft à 2 ; ainsi l'excès du superieur de la Progression sur le zéro ou le rien, ( c'est-à-dire ainsi ce même superieur) eft à la lomme de tous les termes de la même Progression. Or dans cet éxemple ce nombre superieur est l'avance du premier courier sur le dernier parti, & le chemin qui reste à faire au premier parti est la progression entiere. L'analogie est donc en ce cas (comme i est à 2 ; ainsi l'avance du premier courier parti, est au chemin qui lui reste à faire avant d'être atteint :) ou si l'on veut encore [comme 1, est à 3, c'est-à-dire aux 2 ensemble 1 & 2: ainfi l'avance du premier courier parti, est à la distance du lieu du départ à celui de la jonction, c’elt-àdire à tout le cheminà faire , ] qui est précisément régle qu'on a donnée.

3. On peut ajouter icy quelques proprietez des progressions géométriques qui auront leurs usages dans la suite, comme celle-cy: Que dans toute progression géométrique, par exemple ( 1, (3) 9 (27) (81) 243 ( 722 ) si l'on prend plu:fieurs termes ( 3; 27; 81, 729) 2 à 2, en laissant également de termes entre chaque couple, on aura encore une proportion géométrique; car le raport de 3 à 27 (par exemple) comprend les 2 raports égaux de 3 à 9, & de 9 à 27; & le rapport de 8 1 à 729, comprend les 2 rapports de 8 1 à 243, & de 243 à 729, qui sont encore égaux entr'eux, & aux deux précédens, par la nature des Progressions géométriques, dans lesquelles les rapports sont égaux entre tous les termes.

Donc le raport composé de 3 à 27 est le même que le raport composé de 81 à 729, puisque c'est un principe de raison; [ Que les raports qui sont composez d'un égal nombre de raports égaux , soient égaux ; ] & qu'il y a évidemment le même raport composé entre un fils & son aïeul, qu’entre le pere & le bisaïeul. Et par consequent les quatre termes ( 31 27 11 811729, ) sont encore en proportion géométrique.

4. Si l'on a une proportion géométrique de quatre termes, dont le premier soit l'unité(113116118) le produit des deux termes moyens 3 & 6, 'fera égal au seul extrême 18. Car on a vû dans les Régles de proportion : Que toujours le produit des deux termes moyens d'une proportion géométrique, est égal à celuy des deux extrêmes. Or les deux extrêmes sont icy 1 & 18, dont le produit est 18; puisqu'une fois 18'est toujours 18. Si la proportion n'a que 3 termes, dont le 11 soit encore l'unité, comme (ills 1125, ) alors le produit de s par lui-même, qu'on appelle son Quarré, sera égal au seul extrême 25 ; puisqu'on peut toujours exprimer cette proportion ainsi (1 lslls. 1 25.)

S. Si l'on multiplie encore le Quarré du Moyen

sçavoir 2s par S, on aura ce qu'on appelle son Cube, lequel est toujours lui seul égal au produir des trois termes de la Progression ( 1, s, 25, sçavoir 125 : d'où l'on peut inferer aussi que roue

ور

)

Moyen Géométrique est encore un Equivalent par multiplication à sa Progression entiere; mais cette proprieté est bien moins utile, que celle du Moyen Arithmétique ; c'est pourquoi je ne m'y arrêteray pas davantage. Au reste on ne doit pas être surpris de ce que je traite dans l'Arithmérique des proportions & progressions géométriques , & encore moins de ce que je les traite en même-temps que les arithmétiques; puisque les unes & les autres sont également arithmétiques, & ont égale. ment lieu dans la science des nombres ; le nom de Géométrique n'étant qu'un terme pour les dif- . tinguer.

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Des Logaritmes et des Questions qu'on peut résoudre par

leur

moyen. Art. 1. Es nombres sont d'une grande utilité ; puisque par

leur
moyen on peut

évi. ter les multiplications, les divisions ; les compositions de puissances, ou multiplications égales de raports; les extractions de racines, ou divisions égales de raports; les soustractions des quarrez, & faire quantité d'autres opérations de Géométrie & d'Algébre, dont on ne pourroit se tirer sans leur secours.

Les Logaritmes sont des nombres artificiels qu'un sçavant Anglois nommé le Baron Néper a inventés, & que d'autres sçavans ont joints aux nombres naturels pour les usages qu'on vient de rapporter.

On les trouve dans l’Arithmétique de Henry

Brigs , qui accompagnent les nombres naturels juf. qu'à ( 100,000.) on en trouve encore en quantité d'autres livres; ceux du P.Prefter les accompagnent jusqu'à 20000 feulement; les petits de du Lac de M« Ozanam, & de Blondel ne montent que jufqu'à (10000.) Nous allons nous servir des petits de Dulac, ou de M. Ozanam, qui sont les mêmes comme étant suffisans pour des éxemples, & dans les inains de tout le monde.

ز

و

ir EX EMPLE,

Du Changement de la Soustration en addition ; ou de la Soustraction des quarrez , par le moyen de leurs

racines données.

18

II. Suposez les nom. 25

bres donnez 25 & 18,

au moyen desquels on 43-16334685 veüille connoitre la dif.

ference de leurs quarrez, 25 18

fans avoir la peine de

former d'abord ces quar7-0$450980 rez, pour ôter ensuite l'un

de l'autre. Pour y parve301--24785665

nir, je fais une somme de
25
18

18&25 qui eft(433) dont
25 144

je prens le logaritme

( 16334685.) j'ôte en125 324

core 18 de 25; ce qui so

me donne pour leur dif625 quarré de as

ference (7,) dont je 324 quarré de rå prens aussi le logaritme 301. Difference.

( 08450980 : enfin je

fais une somme de ces deux logaritmes; sçavoit ( 24788665, au droit

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7

scait

de laquelle je trouve ( 301 ) pour la difference de:
firée du quarré de 25 au quarré de 18; ce qui vient
de ce que [ le produit de la somme des deux raci-
nes de deux nombres quartez quelconques par la
diffierence des mêmes racines, est toujours égale à la
differene des deux mêmes quarrez: į Comme cha-
cun pour en faire l'épreuve sur des quarrez pris à
plaisir. On pourroit par un calcul à peu près sem-
blable, trouver la difference de deux cubes, &
en general des deux puissances quelconques, par
le
moyen

de leurs racines, sans former ces puissances. On démaonte ( par éxemple ) à l'égard de deux Cubes ; [ Que leur difference est égale au quarré de la difference de leurs racines joint à trois fois le quarré de la somme des mêmes racines ; le tout multiplié par le quart de la difference de ces raciness ] comme on le démontre dans l’Algébre. D'où l'on déduit une régle logaritmique, à peu près semblable à la précedente;mais beaucoup plus longue:c'est encore piredans les puissances plus élevées,

24 EXE M P L E. Duchangement des Multiplications en additions

des

52 Régle naturelle. (Si 8846 den,

combien Réponse. 4413

*86460183784, 04 A en 190 jour. ont produit 9023 en 227 8f 2d

1983. d. 2-62 jo.

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Régle Logaritmique 190 jo.-22787536 | 1983 -32973227. 44134 36447339

Régle fimplifiée.

59234875-

873==

32973227

III. Sup-1

all

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