1

après 6 années, l'augmentation du même fond 706 liv. doit fe faire dans la proportion de la se puiffance de la re racine de 9: à la se puiffance de la 12 racine de 10. Or les 12es parties des logaritmes de 9 & de ro, fçavoir (00795202,) & (00833333,) font les logaritmes des 12es racines de 9 & de 10. Prenant donc chacune de ces douzić. mes parties cinq fois, on aura (03976010,) (04166665) pour les logaritmes des ses puiffances des douzièmes racines de 9 & de 1o, que l'on mettra au 1 & 2d lieu de la régle de proportion, & au ze le logaritme du fond accru 706 liv. fçavoir (28485763 :) ce qui donnera pour 4o terme (28676418,) qui eft le logaritme de 737 livres & c'est le dernier fond 706 livres accru, pendant les cinq premiers mois, après 6 années confecu tives.

pro

Enfin, pour avoir l'augmentation du dernier fond731 liv. pendant 13 jours ajoutez aux quatre mois, qui ont produit 731 1. & qui ont fuivi les 6 années,il faut remarquer, qu'un jour étant la 365e partie d'un an civil, l'augmentation pour un jour Te fera dans la proportion de la 365e racine de 9. à la 365° racine de 10 ; & pour 13 jours dans la portion de la 13o puiffance de la 365 racine de 9, la 13 puiffance de la 365e racine de 10. Or la 365e partie du logarit, de 9 eft(261433,qui étant mul tipliée par 13, donne (339867,) qui eft le pre mier lieu de la régle de proportion : de même la 365e partie du logaritme de 10 eft (2739725) qui étant multipliée par 13 donne (356164,) qui en eft le fecond lieu, & (28638288) logaritme du dernier fond 731 liv. eft le 3o, qui donne au 4o (28554585,) logaritme de 734 liv. nombre dé firé.

Théorie des Logaritmes & de leurs opérations.

VI. Si l'on range au droit d'une Progreffion géométrique, commeçante à l'unité une Progref Lion Arithmétique qui commence à zéro comme celles-cy,

{ $4

IS (1.) 3. (9.) (27.) 81. (243.) 729. &c. 2 (0.) 1. (2.) (3.) 4. (5.) 6. &c.

la premiere progreffion s'appellera alors les Nom bres natnrels, & la derniere leurs Logaritmes. Or il a été démontré dans les théories des Progreffions, que fi l'on prend entre leurs termes deux nombres quelconques, comme 1 & 9, & 2 autres à volonté; fçavoir 27 & 243, en laiffant autant de termes entre ces 2 derniers, que'ntre les 2 1rs, ces 4 nombres, pris (19127 || 243) formeront encore une proportion. De forte que fi c'eft dans la Progref hion géométrique que l'on ait pris ces quatre nombres, & que le premier terme choifi foit l'unité, alors le feul quatriéme terme (243) fera égal au produit des deux moyens 9 & 27, comme on l'a prouvé dans le chapitre précédent : & fi c'eft dans la progreffion aritmétique que l'on ait pris les quatre nombres, & que le premier des quatre foit zéro, comme (o. 213. 53) alors le dernier termes fera égal à la fomme des deux moyens 2 & 3, comme on l'a démontré dans le même chapitre. Si donc les quatre termes (o. 2 | 3.5) font les correfpondans ou les Logaritmes de(1|9||27|243) il est évident qu'il y aura auffi autant de termes

laiffez entre 3 & 5, qu'entre o & 2. Donc dans les Logaritmes la fomme des deux Logaritmes ( 3 & 2 ) des deux multiplicateurs 9 & 27, est toujours égale au Logaritmes de leur produit (244. )

Or la multiplication par les Logaritmes étant entendue, la formation des Puiffances, c'est-àdire des quarrez, des Cubes, &c. (qui n'est qu' une veritable multiplication,) l'eft auffi, & la divifion, avec l'Extraction des Racines par les Logaritmes, qui font des opérations contraires à ces premieres, le font encore par confequent.

A l'égard des Interests d'interefts, il faut remarquer que le nombre9,qu'on appelle l'interest ou le denier reprefente toujours le fort principal, ou le capital 375 1. & (1) le 1 intereft,ou la 9e partie de 375 liv. fçavoir 41 liv. 13 fols 4 den. ainfi ajoutant l'unité au denier (9,) on aura 10 qui marquera le fond de la fin de la premiere année, fçavoir (416 liv. 13 fols 4 den. & l'augmentation du fond pour un an, fera dans la proportion de 9 à 10. Or ce fond accru étant, auffi-tôt l'année échûë, remis à profit, profitera à la fin de la feconde année, encore à raifon de 9 à 10 de même que le premier ; & ainfi de fuite pour chaque année. Donc tous les fonds, à commencer au 1 Fond 375 1. y compris, & continuant jufqu'à la fin des années propofées, compoferont une Progreffion géométrique de fept termes pour 6 années, dans le raport de 9 à 1o. Si lé denier étoit à 7 pour 100, l'expofant de la progreffion des Fonds, capital & accrus, feroit de 100 à 107, & de même pour tous les autres Interefts, & pour tant d'années qu'on voudra Or le premier Fond étant au fecond comme 9 à 10, & le 2d au 3e auffi comme 9 à 10; le premier fera au 3e, comme 81 quarré de 9 eft à 100 quarré de 10. Car 9 eft à 10,

comme 81 à 90, & 9 eft encore à 10, comme 9ỡ eft à 100: c'est ce qu'on entend, quand on dit que 81 eft à 100 dans le rapport doublé de 9 à 10. De même le 3 fond étant au 4° toujours, comme 9 à 10: le premier fera au 4o comme le Cube ou ze puiffance de 9, eft au cube, ou 3o puiffance de to; c'eft-à-dire comme 729 eft à 1000. Car comme 9 eft à 1o ainfi 729 cube de 9, eft à 81o; & encore comme 9 est à 10, ainfi 810 à 900; & enfin, comme 9 eft à 10, ainfi ces 900 à 1000 cube de 10 : & c'eft ce que l'on entend, lorsqu'on dit que le raport de 729 de 719 à 1000 eft triplé du raport de 9 à 10. On peut donc encore affurer, que le premier fond liv. eft à celui de la fin de la 4o année, comme la 4o puiffance de 9 ou 6561 eft à 10000 4o puiffance de 10, & ainfi de tous les autres Fonds: donc auffi comme la 6e puiffance de 9 eft à la 6° puiffance de 10: ainfi le capital 375 liv. eft au fond 706 1. de la fin de la 6° année : ce qu'il falloit prouver. Et voici ce qui regarde la multiplication des rapports.

375

Enfin fi l'on ajoute des mois & même des jours aux années, comme 4 mois & 13 jours, pour sçavoir quel doit être le fond accru de 375 1. après 6 années 4 mois & 13 jours au même interest ou denier 9, ou à raison de 9 à 10 pour un an ou 1 2 mois, ou 365 jours, je confidere que le fond 706 l. provenu des 6 ites années, confideré comme un premier fond, doit être au fond après 4 mois, qui font le tiers d'une année, comme la racine cubique ou 3o de 9 eft à celle de 10; puifque s'il y avoit 3 ans, au lieu de d'année, le même fond 706 liv. feroit au fond accru, après ces 3 années, comme le Cube de 9 au Cube de 10; & cela afin de conserver la proportion de raifon : c'eft le même raifonnement pour Toutes les autres divifions de raports.

Fin de la premiere Parties

De l'Extraction des Racines quarrées des Entiers, & des entiers joints avec des parties.

Nombres Quarrez maturels, des nomb. ou Racin. naturels.

I

4

3

-9

4

16

-25

6-

36

7

49

ART. I. pour parvenir à tirer

lesRacines quarrées

appren

des nombres, il faut dre par mémoire les Quarrez des 9 premiers nombres naturels ou Elémentaires ( 1, 2, 3, 4,5,6,7,8,9,) fçavoir (1,4,9,16, 25,36,49,64,81,)qu'on trouve dans la Table ci-jointe,& qui se forment en multipliant chaque nombreElémentaire (1,2,3&c) par lui-même.Ces mêmes nombresQuarrez se trouvent auffi dans la tableque nous avons donnée dans la re Partie pour la Multiplica tion & la Division, Chapitre 3. Ainfi nous pouvons même fuppofer ici ces Quarrez connus ; & ce n'eft que pour en rappeller le fouvenir, que nous les avons ici raffemblez.

8- 64 9-81