IT EXEMPLE.

Sur les Racines quarrées des entiers.

Somme à extraire.

34

I

57100/00/00 Racine

257
28

2300
3/68

35600
37 69

167900
37784

Refte 167 64

Un nombre quelcon

18894 que come(3 57000000)
étant donc propofé pour
trouver fa racine quar-
rée, c'est-à-dire le nom-
bre qui étant multiplié
par lui-même produit
(357000000,) fupo-
fé qu'il y ait un tel nom-
bre;) finon le nombre
qui produit un nombre
moindre que (357,000,
ooo,) mais qui étant
feulement augmenté d'-
une unité, & enfuite
multiplié par lui-même
produit un nombre plus
c'est-à-dire en un mot

grand que ( 3.57000000:)
pour trouver la racine veritabe de (357000000)
s'il en a une; ou s'il n'y en a point, le nombre
entier plus petit qui en approche le plus ; on par-
tagera ce nombre de deux chiffres en deux chiffres
à commencer du côté droit, & continuant vers la
gauche, comme on le voit dans le premier éxem-
ple; fçavoir avec des barres qui aillent de haut en
bas. On commencera enfuite l'Extraction en ti-
rant la racine quarrée du nombre ( 3 ) qui eft feul
dans la premiere tranche à gauche, ou plûtoft du
nombre quarré le plus proche au deffus. ( à cause
que 3 n'eft pas un nombre quarré) Ce quarré le
plus proche au deffous de 3 eft ( 1,) dont la racine
eft auffi ( 1,) que j'écris dans un Quotient à côté,

comme

S

comme dans la Divifion, & en même-temps fous le (3.) Et pour avoir le refte, ou le furplus du nombre (3) fur (1,) je multiplie le quotient (1) par l'(1) écrit fous le 3, le produit eft (,) que j'ôte de (3;) ce qui me donne ( 2 ) de refte, que j'écris fous l'( 1 ) 'de l'extraction : le tout comme dans la divifion. Je paffe enfuite à la tranche fuivante, dont je defcends les deux chiffres 5 & 7 à côté du refte (2) & doublant tout le quotient (1,) j'écris le double ( 2 ) de ce quotient fous le premier chiffre S de cette 2 tranche. Je divife enfuite le refte 2 avec ce s par ce double (2,) le quotient eft 8, que j'écris à la fuite du premier quotient (1) comme dans la divifion : ce qui donne (18) pour le tien entier. J'écris auffi le même quotient (8) à la fuite du double (2) fous le fecond chiffre (7) ce qui donne (28) pour le divifeur entier. C'est pourquoi je multiplie tout ce diviseur (28) par le dernier quotient 8, pour avoir le refte de cette Extraction, difant [ 8 fois 8 font 64; que j'ôte de 67, le refte eft 3,] que j'écris fous ce 8, retenant 6 d'emprunt. Enfuite [ 8 fois 2 font 16, & 6 que je retiens font 22 que j'ôte de 25, le refte eft 3, 1 que j'écris fous le 2 à l'ordinaire. Ainfi le refte total eft (33;) à la fuite duquel je defcends les deux zéros de la 3e tranche, pour avoir la nouvelle fomme à extraire 3300, & continuer l'extraction.

.

quo

Je double donc encore tout le quotient ( 18 ) & j'écris le double 36 fous le refte (3300; fçavoir toujours le dernier chiffre 6 fous le premier chiffre zéro de la 3e tranche, & divifant 3 30 par 36 à l'ordinaire, le quotient eft encore (8,) que j'écris à la fuite du quotient trouvé (18,) & en même-temps fous le fecond zéro, pour avoir le divifeur total (368.) Et pour trouver le refte de cette

Ꮮ

Extraction, je dis, comme dans la divifion [ 8 fois 8 font 64 que j'ote de 70, le reste eft 6, ] que j'écris fous le 8, retenant 7. Enfuite [ 8 fois 6 font 48, & 7 que je retiens font 5 5, que j'ôte de 60,le refte eft, que j'écris sous le 6, retenant 6. Enfin [ 8 fois 3 font 24, & 6 que je retiens font 30, que j'ôte de 33, le refte eft 3,] que j'écris devant les; ce qui donne pour le Reste entier de cette extraction (356,) à la suite duquel j'écris encore les 2 zéros de la quatriéme tranche, pour avoir la nouvelle fomme à extraire 35600.

Je continue donc l'Extraction, doublant toujours tout le quotient ( 188, & écrivant le double 376 fous la fomme à extraire (35600;) fçavoir toujours le dernier chiffre (6) fous le premier zéro, & les autres en avançant vers la gauche; & divifant (3560) par (376) à l'ordinaire, le quotient eft (9,) que j'écris à la fuite du quotient trouvé 1889, & en même-temps fous le fecond zéro, pour avoir le divifeur total (3769. ) Et pour avoir le refte de cette extraction, je multiplie fon dernier chiffre 9 par le dernier quotient 9, le produit eft 81 que j'ôte de 90,qui font au deffus,le refte eft 9, que j'écris fous le dernier zéro, retenant 9 d'emprunt. Je dis enfuite [ 9 fois 6 font 54, & 9 que je retiens font 63; de 70 qui font au def fus, le reste eft 7,] que j'écris deffous, retenant l'emprunt 7. Enfuite [9 fois 7 font 63, & 7 que je retiens font 70; de 76, le refte eft 6,] que j'écris deffous, & retiens encore l'emprunt 7. Enfin [9 fois 3 font 27, & 7 que je retiens font j'ôte 34 de 35, le refte 1,] que j'écris encore deffous: ce qui donne pour refte total 1679, à la fuite duquel je defcends encore les deux derniers zéros de la fomme totale : ce qui donne 167900, pour derniere fomme à extraire,

34;

C'est pourquoi doublant encore tout le quotient trouvé 1889, & écrivant le double 3778 fous cette fomme à extraire, fçavoir le dernier chiffre 8, toujours fous fon chiffre pénultiéme (zéro,) je divife 16790 par 3778: ce qui donne pour dernier quotient 4, que j'écris à la fuite des précédens, & en même-temps fous le dernier chiffre de la fomme à extraire, afin d'avoir le divifeur total 37784. Multipliant donc fon dernier chiffre 4 par ce quotient 4, le produit eft 16, que j'ôte de 20 qui font au deffus, le refte eft 4, que j'écris fous le 4, retenant 2 d'emprunt: enfuite 4 par 8, le produit eft 32, qui avec le 2 retenu, font 34, que j'ôte de 40 qui font au deffus, le refte eft 6, que j'écris fous le 8, & retiens 4; enfuite 7 par 4 le

produit eft 28, & 4 de retenus, la fomme eft 325

de 39 qui font au deffus, le refte eft 7, que j'écris deffous le 7, retenant 3. Enfuite encore 7 par 4, le produit est toujours 28, qui avec 3 de retenus font 31; de 37 qui font au deffus, le refte eft 6, que j'écris fous ce 7, en retenant 3. Enfin 4 fois font 12, & 3 que je retiens, la fomme eft is; de 16 qui font au dessus, le reste est i, que j'écris fous le 6: ce qui donne 16764 pour refte total de l'extraction, lequel je neglige, parce que le nombre propofé (357000000) eft entierement épui fé de tranches. Je trouve donc pour Quotient total(1 8894, qui eft la Racine quarrée du nombre propofé (357000000) approchée en deffous., à moins d'une unité près; c'est-à-dire la racine d'un nombre quarré, moindre que (357000000) du reste de l'extraction 16764, & qui eft telle que fi on lui ajoutoit seulement une une unité; ( ce qui donneroit 18895,) le quarré de ce nombre 18895 furpafferoit le propofé 357000000.

110089

T

O

Ο

20

00/89

200

189

{

100

Pour en avoir la preuve, il ne faut que multiplier cette racine trouvée 18894, par ellemême; c'est-à-dire par 18894, & ajouter au produit le Refte ci-deffus 16764 de l'Extraction, le total rendra le nombre propofé (3570 ooooo,) Si l'on ne s'eft point trompé, comme on le voit icy.

2d EXEMPLE.

II. Soit encore un nombre d'hommes (10089, que l'on veut ranger fous une figure quarrée pleine: ayant partagé ce nombre par tranches binaires,comme dans le 1 éxemple, & tiré la racine quarrée de fa premiere tranche, qui eft (1;) fçavoir (1,) & l'ayant mife au quotient & fous ce premier chiffre (1,) ayant multiplié l'un par l'autre, & ôté le produit de la premiere tranche 1, pour avoir le refte de l'Extraction, qui eft zéro, on defcendera à la fuite de ce zéro les deux zéros de la feconde tranche, & l'on écrira encore deffous le double du quotient (1) fçavoir 2 toujours fous la premiere place à gauche proche la barre, pour divifer zéro par ce 2 ; ce qui donne

Ire Preuve.

8

8

9

I O O S 9