me place (o) qui précéde, & s'étendra fur toutes les précédentes, fçavoir dans ( &c. 570.) Et divifant de même (188) dans les deux parties ( 18 ) & (8,) on verra que le quarré de la partie (8) commence encore dans cette même cinquième place(0,)& s'étend dans les précédentes, (&c. 570;) que le produit du double de 18 par 8, commence dans la fixiéme (o ) qui précéde, & s'étend fur les précédentes (357,) & que le quarré de 18 commence dans la feptiéme ( 7 ) & s'étend fur les précedentes; fçavoir ( 35.) Enfin faisant de ( 18) les deux parties & 8, on verra de même que le quarré de 8, commence toujours dans cette même 7e place (7,) & s'étend fur les précédentes (35,) & que le produit du double de ( 1 ) par 8 commence dans la huitéme (5, ) & s'étend sur la précédente 3; & qu'enfin le quarré de (1) fe trouve dans la neuvième place (3, ) & qu'il s'étendroit auffi fur les précédentes, s'il y en avoit eu davantage, & de même à l'infini.

D'où il eft manifefte qu'ayant partagé un nombre propofé, comme quarré de 2 en 2 tranches, de droite à gauche ainfi (357 100 100 100,) le quarré du premier chiffre 4 à droite de fa racine 18894 commence dans fa premiere place (o) de ce côté ; celui du second (9) dans la 3e place (0) qui précéde vers la gauche; celui du troifiéme ( 8 ) dans la se (o;) celui du 4o ( 8 ) dans la 7o; celuy du cinquiéme (1) dans la 9o (3;)c'est-à-dire toujours au commencement de chaque tranche du côté droit ; & que dans la 2e place de chaque tranche du côté gauche, commence toujours le produit de ce même chiffre de la racine dont le quarré eft à droite par le double de tous fes précédens vers la gauche. Ainfi ( par éxemple dans la miere place (3) à gauche commence le quarré du

pre

premier chiffre (1) à gauche de la racine : dans la feconde (5) commence le produit du double de par 8, lequel s'étend auffi fur le 3; dans la 3e (7) commence le quarré de 8, lequel s'étend fur les précédens 3 & 5; dans la 4° (0) commence le produit du double de 18 par le 3e chiffre 8 de la racine, & s'étend fur les précédens; & dans la cinquiéme (o) commence le quarré du même chiffre (8) qui s'étend fur les précédens ; dans la fixiéme (o) commence le produit du double de 188 par ,, & dans la feptiéme (o) le quarré de (9,) Îefquels s'étendent de même fur les précédens, & ainfi de fuite à l'infini.

Cela fait voir la raifon pour laquelle, après avoir partagé le nombre propofé (357, &c) de deux chiffres en deux chiffres, en commençant à droite; on prend d'abord la racine (1) de toute fa premiere tranche vers la gauche, qui eft (o. 3;) fçavoir, parce que cette premiere tranche contient le quarré du premier chiffre de fa racine. On voit de plus pourquoi l'on joint ce qui refte de cette premiere tranche avec le premier chiffres de la fuivante, afin de divifer le tout par le double de la racine trouvée (1,) & pourquoi cette divifion donne le fecond chiffre de la racine; fçavoir parce que le produit du double du premier chiffre (1) de la racine propofée par fon fecond 8, commence dans cette feconde place (5) & s'étend dans les précédentes à gauche, comme on l'a dit. C'est pour cela auffi qu'ayant ce fecond chiffre 8, il faut le multiplier par le double du premier ( 1, ) & ôter le produit des mêmes chiffres reftans ( 25, ) & qu'il faut encore former le quarré de ce quotient (8,) & l'ôter de la troifiéme place 7 vers la droite, & des précédentes; puifque ce quarré eft contenu dans ces mêmes places; & cela afin d'avoir le refte

33 de cette feconde extraction, lequel appartient aux chiffres fuivans; & de pouvoir continuer la troifiéme extraction, en y joignant la tranche suivante (oo,) doublant, comme on l'a dit dans la pratique, tout le quotient ( 18,) divifant la quatriéme place (o) vers la droite, & fes précédentes par ce double 36, pour avoir le troifiéme chiffre (8) de la racine, puifque le produit de ce double quotient 36, par ce 3 chiffre (8) y eft contenu. D'où il fuit qu'il faut encore former ce produit de 36 par 8, & l'ôter de cette quatriéme place & de fes précédentes, & ôter auffi le quarré du même 3e chiffre (8) de la racine cherchée de la se place (o) & des précedentes, où il eft auffi contenu; & cela afin d'avoir le refte (356) de cette 3e extraction qui appartient à la 4 tranche, & continuer la quatriéme & toutes les autres, comme les précédentes.

I

Il ne fera pas inutile de faire remarquer ici une proprieté des racines quarrées ; fçavoir; Que la racine quarrée d'un nombre quelconque, comme 6 racine de 36, partage en deux rapports égaux, tous les raports des produifans de ce même nombre. Ainfi 36 étant le produit de 1 par 36, de 4 par 9, de 2 par 18, & de 3 par 12; le raport de 1 à 36 eft partagé en deux raports égaux par la racine 6; puifque le raport de 1 à 6 est le même que celui de 6 à 36; de même 4 eft les de 6, comme 6 eft les de 9; 2 est le tiers de 6, comme 6 eft le tiers de 18; enfin 3 eft la moitié de 6, comme 6 eft la moitié de 12. Toutes ces proportions font fondées fur ce que nous avons dit en parlant des Progreffions; fçavoir: Qu'en toute progreffion géométrique de trois termes, le quarré du terme moyen, appellé Moyen géométrique; fçavoir ici le quarré de 6 est toujours égal au

produits des deux termes extrêmes 1 & 36, ou 4 & 9, ou 2 & 18, ou 3 & 12. Car il fuit delà que toutes les fois que le quarré d'un nombre eft égal au produit de deux autres nombres, on peut toujours de ces trois nombres faire une progreffion géométrique, dont le second sera le Moyen géométrique ainfi (1||6||36,) (4||6||9,) (2||6||18) ( 3 || 6 || 12, ) & de même de tous les autres quarrez. C'eft ce qu'on entend, lorfqu'on dit que le raport d'un nombre quarré a l'unité, comme de 36 à 1. eft toujours doublé de celui de fa racine 6, à l'unité; ou quecelui de cette racine à l'unité eft foudoublé de celui de fon quarré à l'unité. On voit delà que pour couper le raport de deux nombres quel conques, comme 3 & 12, en deux rapports égaux, il ne faut que prendre leur produit 36, & de ce produit tirer la racine quarrée 6; & alors le raport de 3 à 6, ou de 6à 12, fera la moitié précifément du raport propofé de 3 à 12, & de même pour tout autre nombre. Mais ces divifions de raports en tant de raports égaux que l'on veut, ne fe font aifément que par le moyen des Logaritmes, comme on l'a dit dans la premiere Partie.

3. Enfin quant à ce qui regarde l'approximation indéfinie desracines, avec une fraction jointe à un Entier, il ne faut que fe fouvenir de ce qu'on a dit dans la multiplication des Entiers; fçavoir que quand ou multiplie deux nombres entr'eux, qui contiennent chacun des zéros à leur fuite, comme 10 par 10, ou 100 par 100, ou 1000 par rooo, &c. on ajoute au produit tous les zéros des deux multiplicateurs. D'où il fuit que le produit de 10 par 10, ou fon quarré 100, a le double des 16 zéros de fa racine 10; de même le quarré de 100; fçavoir 10000 a le double des zéros de 100; le quarré de 1000; fçavoir 1oooooo a le double

1000000

des zéros de 1000 ; & en genéral un quarré a tou jours le double des zéros de fa racine. Lorfqu'on a donc multiplié un nombre quelconque, comme (357) par fix zéros, fa racine eft préfuppofée multipliée par 3 zéros. C'eft pourquoi lorfqu'on a trouve la racine de (357000000) ainfi multiplié, fçavoir 18894, il faut encore la divifer par 1000, pour avoir celle de 357, que l'on cherche ; & cette même raifon fi l'on eût ajouté feulement quatre zéros à 357,il auroit fallu divifer la racine trouvée 1889 feulement par 100, & ainfi des autres.

3e EXEMPLE.

par

De la maniere de former des Quarrez parfaits & des Quaurez longs partie pleins & partie vuides, par des arangemens d'unitez:

'A 20

8

20

8

e.....

a .......

21 B

コ

b...

C......

C 21

VI. Soit premierement un nombre quelconque 20 d'hommes ( 2378) qu'il faut ranger fous la figure 8 d'un quarré A BCD, lequel foit vuide dans fon milieu en ab cd, enforte 21 que le côté a b du quarré vuide contienne ro hommes. Pour y parvenir j'ôte toujours 2 du côté a b de 10, il refte 8, dont je forme le quarré 64, qui eft le quarré e fgh, retranché autour du centre O du quarré propofé: J'ajoute enfuite ces 64 avec les 2378 hommes propofez, qui doivent compofer la couronne A B CDabcd, la fomme eft 2442 hommes en tout, que devroit contenir le quarré propofé ABCD O, s'il étoit plein. Tirant donc la racine quarrée de

D 20

8