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ce nombre (2442) par le premier & 2d articles ci-devant; il vient 49 hommes, qu'il faut ranger fur chaque côté AB, AD, & les autres de File, en laiffant le quarré vuide e f g h, dont les Files font de 8 chacune, & il reste encore 41 hommes, qu'on peut ajouter à un des côtez exterieurs du grand quarré.

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ait 8 hommes de front en ab, & 12 de hauteur en bc. Pour y parvenir je prens le Front e f, & la Hauteur fg, du rectangle interieur, qui font de 6 & de 10, que je multiplie entr'eux : ce qui donne 60 pour le rectangle retranché e fgh: lequel j'ajoute avec lenombre d'hommes propofé (3781) pour avoir le Quarré long ABCD de (3841.) Je fais enfuite cette régle de proportion [ fi AD donne A B, ou ED (égale à A B,) ou fi (3) donnent 5, que donnera le rectangle plein ABCD de 3841?] Il viendra 6401 pour la valeur du quarré EDCF, qui auroit le même front DC, que ABCD. Tirant donc maintenant la racine quarrée de 6401, il vient So

pour la longueur ou le front DC du rectangle pro. pofé; & de plus,un homme de refte. Je fais enfuite cette feconde régle de proportion: [Si 5 donne 3, combien donnera AB de So?] Il viendra au quatriéme terme (48) pour la hauteur BC du rectangle ABCD ce qui reftoit à faire. Le refte eft aifé à aranger, & la Théorie fe découvre d'elle-même.

On peut encore à l'aide des racines quarrées, tirer les Racines Triangulaires & Exagonales des nombres entiers en cette maniere.

1000

8

8000

I

80101

ΙΟ ΟΙ

Pour les Racines Triangulaires.

A

D

E

F

G

44

89

I

169

B

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44

44

176

176

1980

990

VIII. Soit un nom

bre quelconque d'unitez telles qu'on voudra comme des 44 hommes,&c. fçavoir 1000, dont on véuille former un TrianC gleEquilateral ABC,

autant que ce nombre peut le permettre; la régle générale eft de multiplier tou

jours le nombre donné 1000 par 8, & d'ajouter au proaire du triangle. duit:ce qui fait 8001

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dont il faut tirer la racine quarrée, à une unité près feulément, par le premier article ci-devant, cette racine fe trouve être 89, & on néglige le refte 80. De ces 89 ôtant 1, & prenant la moitié du reste, on a 44 pour le côté defiré du triangle propofé ABC. De forte que fi on met d'abord un homme en A; enfuite 2 hommes dans un rang D E au-deffus, en

faifant

enfuite les trois diftances AD, AE, DE, égales, & encore au deffous un fecond rang FG de 3 hommes à pareilles diftances, tant entr'eux, qu'avec le trois premiers, & ainfi de fuite, tant que le nombre propofé 1000 pourra fournir; on trouvera 44 rangées pareilles à ces deux premieres, & la 44 rangée contiendra 44 hommes.

Et pour trouver tout d'un coup combien il entrera d'hommes dans ce triangle, & combien par confequent il en reftera de furpius; je multiplie par régle generale 44 par lui-même, & ajoutant les 44 au produit, la fomme eft 1980, dont la moitié (990) eft le total des hommes qui entre ront dans la compofition du Triangle de forte que le furplus fera de 10 hommes feulement.

Au refte on voit bien, que fi l'on demandoit que ce Triangle eût un triangle vuide a bc, autour de fon centre O, dont chaque côté contînţ (par exemple) 10 hommes; il ne faudroit qu'ajouter au nombre 1000 propofé un triangle Equi lateral, dont le côté fût de 8, duquel Triangle of trouverra la valeur de 36 hommes par la régle précédente,) & tirer enfuite la racineTriangulaire de 1036, qui fe trouvera être 45 par la premiere régle ci-deffus.

Pour les Racines Exagonales.

IX. Soit encore le même nombre 1000 dort on veuille tirer la racine Exagonale; pour cet effet, la régle generale eft de multiplier ce nombre par (4) & de retrancher 1 du produit, ce qui fait 3999, dont le tiers eft 1333; & tirant la racine quarrée. de ce tiers en entiers, il vient 36. Négligeant donc le refte, il faut ajouter à ces 36, & prendre la

M

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joûtant 1, il

vient 973,

AB defiré de

18 l'Exagone ABCDEF. Et pour avoir fon aire

ou fa teneur

je prens le quarré de 18 fçavoir 324

dont j'ote 3 fois 18, ou 54, le refte

919 eft la valeur de cet Exagone; ainfi il encore 81 hommes de refte.

I

y aura

On peut prendre auffi le Cube de 18; (qui fe trouve en multipliant fon quarré 324 par 18) fçavoir 5832, & en ôter le Cube de 17; fçavoir 4913; car le refte fera toujours l'aire de l'Exagone 919 ce qui vient d'une proprieté admirable de ces nouveaux nombres Exagones, qui m'a paru inconnue jufqu'à prefent; fçavoir que ces nombres font les differences mêmes des Cubes des nombres naturels 1, 8, 27, 64, 125, 216, &c. fçavoir (1, 7, 19, 37, 61, 91, &c.) comme chacun peut s'en convaincre, en confiderant les Exagones formez par les Quareaux Exagonaux d'une chambre, ou par les Rayons des Abeilles, Frélons, Guefpes, &c.

On pourra donc auffi fuppofer un Exagone vuide

abc defautour du centre O du propofé, duquel le côté foit d'un nombre d'unitez donné comme de 12: car il ne faudra que chercher l'aire de l'Exagone retranché, dont le côté eft de 10 unitez, par une des deux régles précedentes; laquelle aire fe trouvera de 271, difference des cubes 1000, & 729 de 10, & de 9 ; & ajoutant 271 à 1000, on cherchera par la premiere des trois dernieres régles le côté de l'Exagone dont l'aire eft de 1271, lequel côté fe trouve être de 21, qui donne un Exagone de 1261 de fuperficie, de laquelle fi l'on ôte les 27 1 du vuide, qui eft autour du centre O, il restera (990) pour la valeur de la Couronne ABCDEF abcdef; ainfi il reftera encore 10 hommes, qu'on pourra mettre dans le centre de la figure, finon où l'on voudra.

Ces Exagones ont encore cette proprieté ; qu'ils font plus difficiles à rompre par l'ennemi, qu'un Quarré: Car fuppofant que l'ennemi attaque de front le côté AB par une ligne droite, il aura encore le feu des 2 côtez BC, AF à foutenir; ainsi il y aura 54 hommes qui lui feront tête; au lieu que fi les 1000 hommes avoient été mis en quarré plein, il n'auroit eu que 30 hommes à combattre de front; & s'il attaque les deux fronts BC, CD, en même-temps, il n'en aura à la verité que 36 à combattre; mais pour les rompre, il faudra qu'il fe rompe lui-même auparavant, auparavant, & qu'il les combatte en defordre: ce qui lui fera perdre un trèsgrand avantage. De plus, les angles ABCDEF de ce polygône font beaucoup plus difficiles à rompre, que ceux du quarré, & encore beaucoup plus que ceux du Triangle; en ce qu'étant plus obtus, ils comprennent fous une même profondeur beaucoup plus d'hommes.

A l'Egard d'arranger les unitez fur ces Exago

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