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nes,

و

il ne s'agit , ayant situé la premiere rangée A B de 18, par exemple, que d'en mettre une autre parallelle de 19, dont les unitez soient distantes entr'elles & avec celles de A B autant

que

celles de AB ; ensorte que trois unitez voisines quelconques fassent toujours un triangle équilateral parfait, & continuer ces rangées, jusqu'au nombre de 18; ensuite dequoi il les faudra faire diminuer de même chacune d'une unité, jusqu'au nombre de 18 encore, & alors l’Exagone sera achevé.

A l'égard des Théories de ces deux derniers articles, elles me paroissent trop composées pour des Commençans; c'est pourquoi l'on me permettra de les ronwerfer à quelque traité d’Algébre.

Honvoy

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Des opérations d'Aritmétique sur les Fraftions

& sur les fractions de fractions. ART.I. T.IL

Orsque les parties proposées de l'En

tier, ou de la mesure dont on se fert, ne se réduisent

pas

les unes aux autres ou à une même, comme si l'on a des tiers, des cinquiémes, des huitiémes, &c. on est alors obligé d'opérer immédiatement sur ces differentes parties, c'est-àdire de les ajouter , soustraire, multiplier , diviser, d'en former les puissances, & d'en tirer les racines quarrées, sans les changer, comme on l'a déja vů dans la premiere Partie à l'égard de l`Addition & de la Soustraction des parties absolues. D'un autre côté il est quelques-fois plus simple de travailler sur des moitiez, des ciers, des quarts, &c. d'Entiers, que sur les parties usuelles; ainsi

par

éxemple, un tiers de livre ou de 20 sols est 6 sols 8 den, & eft 3 4 den. Or on a bien plutoft

fols multiplié par undi (ce qui donne comme on le verra ci-après,) qu'on n'a multiplié 6 fols & d, par 3 sols 4 den, du moins l'expression est-elle sou, vent beaucoup plus fimple. Enfin ces expressions generales de moitiés, de cinquiémes, de septiémes, &c. font tres-communes dans toutes les autres parties des Mathématiques, où les parties usuelles sont le plus souvent negligées; principalemene quand il ne s'agir que de comparer les quantitez, sans en venir à l'usage. C'est pourquoi il est utile en ce cas de sçavoir faire les opérations d'arithinétique sur les fractions. Or il y a de deux efpeces de Fractions, sçavoir celles dont le Dénominateur est un nombre quelconque different de l'unité avec des zéros, comme 7, 15, &c. & les autres qui ont l'unité jointe avec des zéros pour

leur dénominateur ; (comme io, io, i...;) les premieres s'appellent simplement fractions ; & les derniers Frac tions Décimales, comme on l'a déja dit à la fin du chapitre pe de la premiere Partie sur la Division, Nous allons traiter maintenant des fractions communes, & nous parlerons dans le chapitre suivant des Décimales. Or outre les cinq opérations communes d'arithmétique dont on vient de parler, il y en a encore cinq autres qui ne regardent que les Fractions, comme de réduire une fraction à la plus simple expression; de réduire les fractions en lcurs entiers, quand cela se peut; de réduire au conta traire les Entiers en fraction; de donner à plusieurs fractions un même dénominateur le plus fimple; & enfin de réduire les fractions de fractions en une seule & simple fraction: ce qui se fait sans changer en aucune façon la valeur de ces fractions ; mais en changçant seulement leurs expressions,

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On a déja enseigné dans la premiere Partie de quelle maniere on rabaisse les Exposans d'une fration, comme de , par exemple, sçavoir en prenant une semblable partie de chacun : ce qui se fait en commençant d'abord par prendre la moitié de l'un & de l'autre , s'il se peut: ce qui réduit iz às; ensuite prenant encore les moitiez de ces moitiez, s'il est possible, jusqu'à ce qu'on ne puisse plus prendre de moitié. Après quoi il faut prendre de chacun, s'il se peut ; ce qui réduit encore à à , & continuer encore de prendre les tiers de ces tiers tant qu'il se peut ; après cela il faut tenter de prendre de chacun; & le cinquiéme du cinquiéme, tant qu'il se pourra : puis ensuite le septiéme de chacun, & encore le 7° du 7', tant qu'il sera possible; ensuite le onziéme, puis le 13, &c. Mais la premiere tentative est de voir, si un des Exposans ne peut point être éxactement divisé

par l'autre; ainsi 12 étant divisé par 6, le quotient éxact est 2 , que l'on prend au lieu de 12, mettant l'unité au delius , ainsi ; fi au contraire on avoit

; la division étant faite comme ci-dessus, on mettroit le quotient 2 sur la barre & l'unité dessous, ainsi şou simplement 2, puisqu'alors l'unité est à l'égard de 2, ce que 6 est au respect de 12, & ces deux opérations reviennent à la même ; car c'est la même chose que si l'on divisoit d'abord les deux 'expofans 6 & 12 chacun par 6 : ce qui donneroic toujours 1 & 2.

Lorsque les Exposans d'une fraction n'ont aucun diviseur commun, on la nomme alors Fraction Primitive ou Premiere, & ses Exposans nombres Premiers entr'eux, comme l'on nomme nombres its absolument ceux qui n'ont aucun diviseur que l'unité, comme les nombres 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19,&c. Ces nombres Premiers absolument se trou

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vent tous autour de 6 & de ses multiples 12, 18, 24, 30, 36, &c. excepté les deux premiers 2 & 3.

II. Toutes les fois que le Numérateur d'une Fraction, comme excede son dénominateur, on peut de cette Fraction faire un ou plusieurs Entiers, & pour cela il ne faut, comme il est évident, que diviser le Numérateur 20 par le Dénominateur 8, le quotient donnera deux entiers & , qu'on ram baissera à par l'article précédent : ainsi cette fraction 2, est la même que 2 ž: On trouvera par cette régle que la fraction n'est autre chose que 4 e11tiers ; que n'est autre chose que 3, & ainsi des autres. On a vû déja dans la premiere Partie des exemples de ces réductions ; sçavoir lorsqu'on a réduit les deniers en sols, les sols en livres, les grains en drachmes, les drachmes en onces , &c.

On a vû aussi des éxemples des réductions d'entiers en Fraction ; sçavoir lorsqu'on a réduit les livres en sols, ou vingriémes de livres , en les multipliant par 20, les sols en deniers ou douziémes de fols, en les multipliant par 12 ; & de même des autres especes ; ainsi il seroit inutile de s'y arrêter davantage.

III. Pour réduire plusieurs fractions, comme , , à une même, & plus simple dénominateur on multiplie le numérateur de la premiere, par le produit continuel des dénominateurs 3 & 4 des deux autres ; c'est-à-dire par 12 : ce qui donne i 2 pour le numérateur de la lle fraction changée.Pour avoir le numérateur 16 de la 2e fraction changée, on prend aussi le produit des dénominateurs 2 & 4 des deux autres ; sçavoir 8, que l'on multiplie par Con numérateur 2 ; ce qui donne 16:& pour avoir e numérateur 18 de la ze fraction changée, l'on multiplie entr'eux les dénominateurs 2 & 3 des

& le produit par son numérateur 3 ;

1 2 >

dịux autres,

ainsi les numérateurs des trois nouvelles fractions sont 12, 16, & 18;& leur dénominateur commun est le produit continuel 24 des a dénominateurs proposez 2, 3 & 4. Ainsi ces trois fractions ( 1; }, 3) le changent en celles-cy (, ,,) qui se rabaissent enfin à Gás) en prenant la moițié de chacun des exposans: mais il vaut mieux réduire chaque dénominateur proposé dans ses nombres premiers ou composans. Comme fi l'on propose les trois fractions (,, *) à réduire au même plus fimple dénominateur ; je changeles dénominateurs 12, 45, 2 i en cette forme (2 * 2 * 3) ( 3*3*3) & ( 3m7, & j'ajoute à chacun ce qui ļui inanque pour les rendre tous égaux ainsi ( 2* 2* 3. 3*5*7) (3*3* S. 2-2-7) (3- 7. 2 * 2 * 3*.5:) ce qui donne le Dénominateur commun désiré 1260 le plus simple qu'il soit poffible. Il ne reste plus que de multiplier chaque numérateur 5, 7, 11 par le produit qu'on a ajoûté à son dénominateur ; sçavoir ļ par 105; ce qui donne le numérateur $25; 7 par 28 : ce qui do11ne le numérateur 196; & enfin un par 60; ce qui produit 660; après quoi les trois fractions i, 12. 1 sont tout d'un coup réduites à leur moindre dénomination pareille, ainsi ( 125.450, )

A l'égard de réduire un nombre comme (452) par exemple à ses nombres premiers", cela le fait en le divisant d'abord continuellement par le premier nombre 1, 2, tant qu'il se peut; ensuite le dernier quotient par le 2d nombre i", 3 , tant qu'il fe peut : ce qui réduit 45 à 15, & de is å si ensuite ce dernier quotient s par le troisiéme noinbre 11, F,tant qu'il se peut : ce qui réduit çài, jusqu'à ce que le quotient soit nombre 1', à peu près comme on a vû dans le rabaissement des fractions de l'art. 1, Après quoi il ne reste que de rassemble

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