nes, il ne s'agit, ayant fitué la premiere rangée A B de 18, par exemple, que d'en mettre une autre parallelle de 19, dont les unitez foient diftantes entr'elles & avec celles de A B autant que celles de AB; enforte que trois unitez voifines quelconques faffent toujours un triangle équilateral parfait, & continuer ces rangées, jusqu'au nombre de 18; enfuite dequoi il les faudra faire diminuer de même chacune d'une unité, jusqu'au nombre de 18 encore, & alors l'Exagone sera achevé.

A l'égard des Théories de ces deux derniers articles, elles me paroiffent trop compofées pour des Commençans; c'eft pourquoi l'on me permettra de les renwerfer à quelque traité d'Algébre.

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CHAPITRE II.

老媽媽

Des opérations d'Aritmétique fur les Fractions

ART. I.

&fur les fractions de fractions.

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..Ltier, ou de la mesure dont on fe fert, Orfque les parties propofées de l'Enne fe réduifent pas les unes aux autres ou à une même, comme fi l'on a des tiers, des cinquièmes, des huitiémes, &c. on eft alors obligé d'opérer immédiatement fur ces differentes parties, c'est-à-dire de les ajouter, fouftraire, multiplier, divifer, d'en former les puiffances, & d'en tirer les racines quarrées, fans les changer, comme on l'a déja vû dans la premiere Partie à l'égard de l'Addition & de la Souftraction des parties abfoluës. D'un autre côté il eft quelques-fois plus fimple de travailler fur des moitiez, des tiers, des quarts, &c. d'Entiers, que fur les parties ufuelles; ainfi par

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exemple, un tiers de livre ou de 20 fals eft 6 fols 8 den, & eft 3 fols 4 den. Or on a bien plutoft multiplié par un ; (ce qui donne comme on le verra ci-après,) qu'on n'a multiplié 6 fols 8 d. par 3 fols 4 den. du moins l'expreffion eft-elle fouvent beaucoup plus fimple. Enfin ces expreffions generales de moitiés, de cinquièmes, de feptiémes, &c. font tres-communes dans toutes les autres parties des Mathématiques, où les parties ufuelles font le plus fouvent negligées; principalement quand il ne s'agit que de comparer les quantitez, fans en venir à l'ufage. C'eft pourquoi il eft utile en ce cas de fçavoir faire les opérations d'arithmétique fur les fractions. Or il y a de deux efpeces de Fractions, fçavoir celles dont le Dénominateur eft un nombre quelconque different de l'unité avec des zéros, comme 7, 15, &c. & les autres qui ont l'unité jointe avec des zéros pour leur dénominateur; (comme) les premieres s'appellent fimplement fractions ; & les derniers Frac tions Décimales, comme on l'a déja dit à la fin du chapitre se de la premiere Partie fur la Divifion, Nous allons traiter maintenant des fractions communes, & nous parlerons dans le chapitre fuivant des Décimales. Or outre les cinq opérations communes d'arithmétique dont on vient de parler, il y en a encore cinq autres qui ne regardent que les Fractions, comme de réduire une fraction à la plus fimple expreffion; de réduire les fractions en leurs entiers, quand cela fe peut; de réduire au contraire les Entiers en fraction, de donner à plufieurs fractions un même dénominateur le plus fimple; & enfin de réduire les fractions de fractions en une feule & fimple fraction: ce qui fe fait fans' changer en aucune façon la valeur de ces fractions; mais en changeant feulement leurs expreffions,

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12

On a déja enfeigné dans la premiere Partie de quelle maniere on rabaiffe les Expofans d'une fration, comme de, par exemple, fçavoir en prenant une femblable partie de chacun : ce qui se fait en commençant d'abord par prendre la moitié de l'un & de l'autre, s'il fe peut : ce qui réduit à; enfuite prenant encore les moitiez de ces moitiez, s'il eft poffible, jufqu'à ce qu'on ne puiffe plus prendre de moitié. Après quoi il faut prendre de chacun, s'il fe peut ; ce qui réduit encoreà, & continuer encore de prendre les tiers de ces tiers tant qu'il fe peut; après cela il faut tenter de prendre de chacun ; & le cinquième du cinquième, tant qu'il fe pourra: puis enfuite le feptiéme de chacun, & encore le 7e du 7o, tant qu'il fera poffible; enfuite le onzième, puis le 13o, &c. Mais la premiere tentative eft de voir, fi un des Expofans ne peut point être éxactement divifé par l'autre; ainfi 12 étant divifé par 6, le quotient éxact eft 2, que l'on prend au lieu de 12, mettant l'unité au deffus, ainfi ; fi au contraire on avoit 12; la divifion étant faite comme ci,deffus, on mettroit le quotient 2 fur la barre & l'unité deffous ainfi ou fimplement 2, puifqu'alors l'unité eft à l'égard de 2, ce que 6 eft au refpect de 12, & ces deux opérations reviennent à la même ; car c'eft la même chofe que fi l'on divifoit d'abord les deux 'expofans 6 & 12 chacun par 6: ce qui donneroit toujours 1 & 2.

Lorsque les Expofans d'une fraction n'ont aucun divifeur commun, on la nomme alors Fraction Primitive ou Premiere, & fes Expofans nombres Premiers entr'eux, comme l'on nomme nombres Its abfolument ceux qui n'ont aucun divifeur que l'unité, comme les nombres 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, &c. Ces nombres Premiers abfolument se trou

vent tous autour de 6 & de fes multiples 12, 18, 24, 30, 36, &c. excepté les deux premiers 2 & 3.

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II. Toutes les fois que le Numérateur d'une Fraction, comme excede fon dénominateur, on peut de cette Fraction faire un ou plufieurs Entiers, & pour cela il ne faut, comme il est évident, que divifer le Numérateur 20 par le Dénominateur 8 le quotient donnera deux entiers &, qu'on ra baiffera à par l'article précédent : ainfi cette fraction 2 eft la même que 2. On trouvera par cette régle que la fraction n'eft autre chofe que 4 entiers; que n'eft autre chofe que 3, & ainfi des autres. On a vû déja dans la premiere Partie des éxemples de ces réductions; fçavoir lorfqu'on a réduit les deniers en fols, les fols en livres, les grains en drachmes, les drachmes en onces, &c.

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On a vû auffi des éxemples des réductions d'entiers en Fraction; fçavoir lorfqu'on a réduit les livres en fols, ou vingtiémes de livres, en les multipliant par 20, les fols en deniers ou douzièmes de fols, en les multipliant par 12; & de même des autres efpeces; ainfi il feroit inutile de s'y arrêter davantage.

2

3949

III. Pour réduire plufieurs fractions, comme, 4, à une même, & plus fimple dénominateur on multiplie le numérateur de la premiere, par le produit continuel des dénominateurs 3 & 4 des deux autres; c'eft-à-dire par 12: ce qui donne 1 2 pour le numérateur de la re fraction changée. Pour avoir le numérateur 16 de la 2e fraction changée, on prend auffi le produit des dénominateurs 2 & 4 des deux autres; fçavoir 8, que l'on multiplie par fon numérateur 2; ce qui donne 16: & pour avoir e numérateur 18 de la 3e fraction changée, l'on multiplie entr'eux les dénominateurs 2 & 3 des deux autres, & le produit par fon numérateur 3;

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9

16 18

I

ainfi les numérateurs des trois nouvelles fractions font 12, 16, & 18; & leur dénominateur commun eft le produit continuel 24 des 3 dénominateurs propofez 2, 3 & 4. Ainfi ces trois fractions (,, 4) fe changent en celles-cy (14, 14, 14, ) qui se rabaiffent enfin à (,,,) en prenant la moițié de chacun des expofans: mais il vaut mieux réduire chaque dénominateur propofé dans ses nombres premiers ou compofans. Comme fi l'on propofe les trois fractions (,,) à réduire au même plus fimple dénominateur; je change les dénominateurs 12, 45, 21 en cette forme (2 × 2 × 3) (3 × 3 × 5 ) & ( 3 × 7, & j'ajoute à chacun ce qui lui manque pour les rendre tous égaux ainfi (2× 2×3. Зидну) (зазид. 2 m2m7) (307. 2×2×3×5) ce qui donne le Dénominateur commun defiré 1260 le plus fimple qu'il foit poffible. Il ne reste plus que de multiplier chaque numérateur 5, 7, 11 par le produit qu'on a ajoûté à fon dénominateur; fçavoir s par 105; ce qui donne le numérateur $25; 7 par 28 : ce qui don¬ ne le numérateur 196; & enfin 11 par 60; ce qui produit 660; après quoi les trois fractions,,. font tout d'un coup réduites à leur moindre dénomination pareille, ainfi (125, 10.660) A l'égard de réduire un nombre comme (45,) par éxemple à fes nombres premiers, cela fe fait en le divifant d'abord continuellement par le premier nombre 1, 2, tant qu'il fe peut; enfuite le dernier quotient par le 24 nombre 11, 3, tant qu'il fe peut ce qui réduit 45 à 15, & de 15 à 5; enfuite ce dernier quotient 5 par le troifiéme nombre 1, f,tant qu'il fe peut : ce qui réduit à 1, jufqu'à ce que le quotient foit nombre 15, à peu près comme on a vû dans le rabaiffement des fractions de l'art. 1. Après quoi il ne refte que de rassemblet

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