tous les divifeurs qui ont divifé fans refte, qui font ici (3, 3, 5) ce qui fait connoître que le nombre propofé 45 n'eft autre chofe que le produit continuel des trois nombres 1ts ( 3 × 3 × 5, & de même pour tous les autres nombres compofez, comme 12, 21, &c. IV. Enfin pour réduire une Fraction de fraction comme de de) à une fimple fraction, après avoir réduit chacune des fractions compofantes à une fraction primitive, comme dans le premier article, ( s'il s'en trouve quelqu'une de compofée) on multiplie continuellement les numérateurs 1, 2, 3 entr'eux : ce qui donne le numérateur (6) de la fraction fimple defirée. On fait auffi un produit continuel des dénominateurs 2, 3, & 4; ce qui donne fon dénominateur ( 24.) Ainfi par cette opération, la fraction de fraction proposée eft réduite à la fimple fraction, qui fe réduit enfuite à (4) par le 2e article, Mais pour éviter de rabaiffer encore la nouvelle fraction (4) à une plus fimple (4) on efface dans la fraction de fraction réduite à fes fractions primitives (de deles numerateurs & dénomi nateurs pareils, s'il s'y en trouve, comme ici les 2 & les 3, fçavoir toujours autant de part que d'autre seulement, ainfi ce qui la réduit à ( 2 34 de de, qui devient enfin par la multiplication. Car il est évident que c'eft faire deux opérations contraires & deftructives l'une de l'autre, que d'élever les expofans de la fraction defirée par la multiplication, pour les rabaiffer enfuite au moyen de la divifion à des expofans plus fimples. V. Ces préparatifs étant faits, il eft aifé de voir qu'on ajoute trois fractions qui font en même dénomination, comme par exemple, de même qu'on ajouteroit trois Entiers; en faifant une fomme de leurs numérateurs 6, 8, 9; fçavoir 23, à laquelle on donne le dénominateur commun. 12: ce qui rend pour leur fomme ou 1 & H. 16 249 De même pour ôter une fraction d'une autre , qui a le même dénominateur, il eft encore évident qu'il ne faut qu'ôter le numérateur 12 du numérateur 16, & écrire fous le refte le dénominateur commun 24; ce qui donnera 4 pour le refte defiré, lequel fe réduit enfin à ( 1⁄2). 4 47> I 4 4 5599 139 179 219 259 299 33> 4 4 4 4 4 4 4 319 35 Soit pour éxemple de ces deux opérations les treize fractions (†, (11 37, 41, 45, 4) dont il faille faire une fomme, pour en ôter enfuite la fomme des 13 autres fractions (,,, tio ; 17, 43, 4 .) Pour cet effet je prens d'abord la premiere ou dans les 13 premieres, dont j'ôte la rre des 13 dernieres, le refte eft. Je prens de même la deuxième des rres,ou, dont j'ôté la 24,ou des dernieres, le 2d refte eft, que j'ajoute au r refte: ce qui donne la premiere fomme (204) qui eft en même-temps la difference des deux premieres (,) aux deux dernieres (.) Je prens encore, dont j'ôte, le refte eft,,; que j'ajoute avec la premiere fomme 04: ce qui donné la 2e fomme (33) qui réduit à (1941, ) & c'est la difference des trois premieres,, aux trois 4 premieres,, : & continuant d'opérer de même je trouve pour la difference des quatre premieres (,,,) aux quatre dernieres, 1 5) 4 (135204) pour la difference des 5 premieres de la Ire part aux cinq premieres de la 2e (43433333) pour la difference des fix premieres, tant de part que d'autre (1923461775; )pour les fept premieres part & d'autre, ( 1411418072) pour les huit de 4 4 10395 4 7911 334639305 105 99 10312 SO1953957S 166966608033225 ( 96845140757680397 0751 9 9 5 5 13895021 5 6 3 308 13835020108241056725 :) > premieres de part & d'autre ( pour les 9 11s de part & d'autre (1412611027925 pour les dix premieres de part & d'autre, 316197940314096) pour les onze premieres de part & d'autre (234322723622017048) pour les 12 Ires, de part & d'autre (435537880 2 2 3 1 3 4 8 1 37-6 > & enfin pour les treize premieres de part & d'autre 3038 00544618003623032;) & ce dernier raport eft à peu de chofe près celui du circuit d'un cercle à fon diametre, comme Mr Leitmits, & depuis luy M. Ozanam & le P. Reinau l'ont démontré, & lequel raport j'ay publié dans le Mercure de Paris en Aouft 1713, ou que je démontre que toutes ces fractions font Primitives, ou irréductibles, & qu'elles augmentent cependant indéfiniment. D'où je crois avoir conclu le premier que ce raport tant cherché depuis plus de 2000 ans, eft compris entre deux nombres infinis premiers entr'eux', & par confequent abfolument inconcevable & inexprimable à l'entendement humain. Et il ne fervi roit de rien de dire, que fi l'on ôtoit une unité à un des expofans infinis de ce raport, ces deux expofans, pourroient alors fe rabaiffer entr'eux, & comprendre un raport fimple, & que par confequent le raport de la circonference d'un cercle à fon diametre ( qui dans les principes de ces trois auteurs peut bien manquer d'une unité fur un nombre infini) n'est pas inexprimable,comme on le prétend ici;parce que l'on fçait d'ailleurs qu'une unité, ou même un nombre fini d'unitez, ajouté à une quantité infinie ne change pas fa nature; ainfi après cette addition ou fouftraction finie à l'un ou à l'autre de ces expofans infinis du raport de la circonference au diametre, ce raport demeureroit toujours le même ; c'est-à-dire abfolument inexprimable. VI. Pour multiplier deux fractions entr'elles, comme par, on fe contente de multiplier entr'eux leurs numérateurs 1 & 2, pour avoir le numérateur 2 du produit defiré & les dénominateurs 2 & 3 auffi entr'eux, pour avoir le dénominateur 6 du même produit, qui fera par confequent, lequel fe réduit à. Mais pour éviter ces réductions d'après coup, & avoir tout d'un coup un produit tout réduit, il faut obferver ce qu'on a dit dans l'article 4 ci-devant au fujet des fractions de fractions; fçavoir d'effacer auparavant les nombres communs entre les numérateurs & dénominateurs de toutes les fractions à multiplier; également de part & d'autre : ce qui donne feulement dans cet éxemple à multiplier par, dont le produit eft toujours fimplement, & ainfi d'un plus grand nombre de fractions, comme fi l'on propofe de multiplier continuellement entr'elles les 3 fractions (4) effaçant les 2 & les 3 de part & d'autre, il refte feulement les trois fractions (4) à multiplier continuellement : ce qui donne pour produit tout réduit (.)Où l'on peut remarquer que cette opération eft précisément la même, que de réduire (de de) à la fimple fraction 4. Ainfi la multiplication des fractions peut, fi l'on veut, n'être pas regardée comme une opération particuliere des fractions, mais comme une réduction de fractions de fractions à une feule fraction, 2 2 3 Au refte les multiplications des fractions fervent au même ufage, que lesRégles de proportion conjointes dont on a parlé dans la premiere Partie, en traitant des proportions compofées, comme on va le voir par un éxemple. Soit une certaine monnoye de France qui ne vaille que les d'une mon& noye de Hambourg, enforte qu'il en faille 4 de celle de France pour en faire 3 d'une de Ham ン bourg: fuppofons auffi qu'une des mêmes pieces de Hambourg foit la moitié ou d'une autre de Hollande, de forte qu'il en faille 2 de Hambourg pour en faire une de Hollande. Enfin foit fuppofe qu'une des mêmes pieces de Hollande vaille d'une de Londres, ou que 5 de Hollande en vaille 6 de s Londres; on demande quel raport il y a de celles de France à celles de Londres. Pour trouver ce raport, on prend les trois fractions (4,4,) qui marquent les raports de ces trois efpeces de monnoye, on en fait un produit continuel qui donne la fraction 18, ou (,) laquelle marque le raport défiré. Ainfi le raport de la monnoye propofée de France à la propofée de Londres eft de 9 à 20; c'est-à-dire qu'il en faut 20 de celle de France pour en faire 9 de celle de Londres. I On trouve 6deFrance: de Londres la même cho fe par une rég. de proportion Conjointe & droite, en di fant; [ Si 4 de France font 3 de Hambourg; fi 2 de Hambourg font 1 de Hollande; & fi S de Hollande font 6 de Londres, combien 20 de France? Réponse. 9. Ainfi abfolument parlant or peut fe paffer encore en cette occafion de la multiplication des fractions. Aurefteces raports compofez font fort utiles pour faire des payemens d'un pays dans un autre. Car il arrive fouvent qu'en payant par des entrepôts, comme de France à Hambourg, de Hambourg en Hollande & de Hollande à Londres, ou trouve beaucoup mieux fon compte tous frais rabatus, |