qu'en payant immédiatement à Londres où la dette a été contractée, & c'est par ces connoiffances que les Banquiers peuvent legitimement s'enrichir.

VII. Pour diviser une fraction comme par 3, les ayant mifes d'abord en mème dénomination par l'article 3 ainfi (&,) il ne reftera que de divifer 9 par 8, comme des Entiers, & la fraction () fera le quotient defiré ; où l'on voit que le dénominateur commun 12 eft même inutile. Ainfi il fuffit de multiplier le numérateur 3 d'une part par le dénominateur 3 de l'autre; & réciproquement le numérateur 2 par le dénominateur 4; ce qui donnera toujours 9 à diviser à 8, comme ĉideffus. Mais avant de faire cette multiplication réciproque, il faut rabaiffer les numérateurs entr'eux, & auffi les dénominateurs, afin de ne faire aucune opération inutile. Ainfi pour divifer 1 par 16, je réduis 18 & 16 à 9 & 8, & 25 & 15 à 5 & 3; ce qui donne à diviser à ; c'est-à-dire 27 à 2 divifer à 40, ou (;) & c'est le quotient de 18 divifé à 1, autant réduit qu'il le peut être & tout d'un coup.

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VIII. Pour tirer la racine quarrée d'une fraction comme de (4), on tire la racine quarrée, tant du numérateur que du dénominateur; ce qui réduit cette fraction à . Mais il faut auparavant la réduire à fa plus fimple expreffion. Si un des deux expofans de la Fraction n'étoit pas un nombre quarré, comme dans, par exemple, il faudroit tirer la racine de 2 en roes ou centiémes, ou 1000es &c. fçavoir (14,) ou (141) ou (1414, &c.) & tirer auffi la racine de 9, ou, fçavoir & divifer enfin une de ces racines de 2 par la fraction;ce qui donneroit, ou,, 14, ou, & 1414 pour les racines approchées de plus en plus de la racine de 3. Enfin fi aucun des expofans de la fractionn'eft

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un nombre quarré, comme en, on pourra mul tiplier fon numérateur 2 par fon dénominateur 3, pour avoir le numérateur 6 d'une nouvelle frac tion, dont le dénominateur eft le quarré de 3, ainfi ; ; ce qui retombe dans le cas précédent, & cela fans changer la valeur de la fraction. C'eft ce qu'on a déja vu dans le chapitre précédent de l'extraction des racines de deux longueurs.

IX. A l'égard des opérations fur les racines des fractions de fractions,il est évident qu'elles font les mêmes, que fur de fimples racines,après qu'on les a réduites en fractions fimples; ainfi il feroit inutile de s'y arrêter davantage. D'où l'on voit que toutes les opérations de ce chapitre fur les fractions fe réduisent à deux préparatifs; fçavoir de donner à plusieurs fractions un même plus fimple dénominateur; & de réduire les fractions de fractions à de fimples fractions.

X. Soit enfin fuppofé pour éxemple d'une régle de focieté en fraction, qu'on a cette question a réfoudre, appellée Teftamentaire. Un pere ayant fait en mourant le partage de fon bien entre fes enfans à ces conditions; fçavoir que les reprifes de fa femme ( qu'on fuppofe groffe) étant déduites, fi elle accouche d'un fils, il veut qu'il ait les du refte de fes biens, & que deux filles qu'il a déja partagent également le quart reftant; & que fi fa femme enfante une fille, l'aînée des trois aura les de tout le refte de fes biens, & les deux 3 autres partageront encore également entr'elles le refte du bien: il arrive après la mort du pere que la mere accouche de deux fils & d'une fille en même-temps, tous trois vivans; on demande donc de quelle maniere on doit partager les deux garçons & les trois filles. Or il paroît par ce testament, que l'intention du Teftateur eft, fes fils ayent

que

chacun 3, tandis que chacune de fes filles n'auront que. Faifant donc une régle focieté, dans laquelle il y ait pour les parties de la mife deux les deux fils; & trois fois pour les

fois

3 pour

trois filles; &

l'unité, ou le

reftant dubien

à

Parts des

partager

pour le gain total, on trouve après la réfolution, du bien pourchacun des deux

garçons ; & feulement

pour chacune des filles : ce

qui fait en tout ou 1 entier, c'est-à-dire tout le bien reftant à partager.

Théorie des operations fur les Fractions.

XI. Pour l'intelligence du premier article, il faut fe fouvenir qu'on entend par une fraction, comme par exemple, une certaine partie d'un Entier. Son dénominateur 12 fignifie quecet entier a été divifé en douze parties égales, & fon numérateur fait connoître qu'on a pris fix de ces mêmes parties. Or fi l'on partageoit l'Entier en fix parties égales feulement, & qu'on ne prît en même-temps que trois de ces parties, il est évident qu'on auroit précisément la même partie de cet Entier dans la fraction, que dans la fraction puifque 3 eft la même partiede 6,que 6 eft de 12.

Car

Carlorfqu'on augmente, ou que l'on diminuë proportionnellement le numérateur & le dénominateur d'une fraction, ce numérateur conferve toujours un même raport avec ce dénominateur. Ainfi la partie que l'on prend de l'Entier, (laquelle eft exprimée par le numérateur) a toujours le même raport à fon tout, qui eft marqué par le dénominateur.

2. A l'égard de l'article 2, il faut confiderer, que comme le Dénominateur d'une fraction marque toujours l'Entier dont elle eft partie; quand le numérateur est égal au dénominateur, comme par par éxemple dans, la fraction vaut alors Î’Entier même; puifqu'alors le numérateur fait connoître que l'on prend toutes les parties du tout. C'eft pourquoi fi le numérateur vaut plufieurs fois le dénominateur, comme dans 24, dans laquelle le numérateur contient le dénominateur 3 fois ; alors la fraction vaut autant de fois l'Entier c'est-à-dire ici trois Entiers. Ainfi il est évident qu'il ne faut alors que divifer le numérateur 24 par le dénominateur 8, pour avoir la valeur de la fraction propofée en entiers & parties d'entiers, fuppofé qu'il refte quelque chofe de la divifion.

3. Quand au troifiéme article il n'eft pas difficile de voir la raison de fa pratique. Car le numérateur de chacune des fractions réduites à même dénomination, comme de la premiere 12 étant fait du numérateur de la premiere multiplié par le produit 12 des dénominateurs 3 & 4 des deux autres; & fon dénominateur 24 étant fait du dénominateur 2 de cette premiere, multiplié par le même produit 12, il est évident qu'on ne fait autre chofe par là, que de prendre douze fois tant le numérateur 1, que le dénominateur 2 de la fraction propfée. Ainfi le raport du numéra

N

teur 1, au dénominateur 2 n'étant point changé par cette opération, la valeur de la fraction, changée en demeure toujours la même. C'est précisément la même raison pour les deux autres fractions propofées & 2.

4. Pour entendre le 4 article, il faut confiderer,qu'une fraction de fraction comme (de de) eft une partie qui n'eft comparée à son Entier, que par le moyen d'une autre, ou même de plufieurs autres fractions interpofées. Ainfi dans cet éxemple fignifie une fraction, ou partie de la fraction , laquelle fraction lui tient lieu d'entier de même que la fraction tient lieu d'entier à la fraction

C'eft-à-dire que l'on fuppofe l'Entier divifé en quatre parties égales, dont on en a pris trois pour former la fraction; qu'enfuite cette partie ou fraction étant confiderée elle-même comme un tout, eft divifée concore en trois parties égales, dont on en prend deux pour former la fraction de fraction de ; & qu'enfin cette fraction de fraction étant conçue encore comme un tout, eft divifée derechef en deux parties égales, dont on prend feulement une partie, qu'on exprime par de de Ainfi le raport de cette derniere partie à l'Entier renferme les raports deà, de 3 à & de à l'Entier; c'eft-à-dire de 1 à 2, de 2 à 3, & de 3 à 4. Or multipliant continuellement les numérateurs 1,2,3, & les dénominateurs 2, 3, 4 entr' eux, les produits 6 & 24 renferment auffi entr'eux les trois raports de 1 à 2, de 2 à 3, & de 3 à 4; c'eft-à-dire des trois premiers aux trois derniers, comme on l'a vû dans la Théorie des régles de proportion compofée. C'eft pourquoi la fraction de fraction propofée eft bien exprimée par le raport des deux produits 6 & 24, fçavoir, ou par La réduite (4).

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