5. Le se article n'a rien de difficile en foy. A l'égard du 6 on peut demander, d'où vient que pour multiplier deux fractions en elles, comme par; ayant multiplié les numérateurs entr'eux i & 2, pour avoir le numérateur 2 d'une nouvelle fraction, on multiplie encore les dénominateurs 2 & 3 auffi entr'eux, pour avoit le dénominateur 6, de cette nouvelle fraction, que l'on preud pour le produit defiré des deux fractions propofées. Or la raison de cette opération a déja été touchée cy-devant dans la multiplitation des entiers & parties; lorfqu'on a dit, par exemple, que les de-. niers multipliés par les deniers produifent des deniers de deniers; les dracmes par les dracmes, des dracmes de dracmes. Aquoy nous ajouterons que fi au lieu des fractions propofées &, on avoit propofé les numérateurs 1 & 2 à multiplier entr'eux, le produit feroit alors deux entiers. Mais fi au lieu de (1) on a feulement à multiplier par 2, ce produit (2) devra être diminué de moitié, ce qui fe fait en le divifant par le dénominateur

dež, ainfi 2. Enfin fi au lieu de à multiplier par 2, on a à multiplier feulement par, ce der nier produit devra encore être reduit au tiers puifque ne font que la troifiéme partie de 2. Or on réduit une fraction quelconque comme au tiers de fa valeur, en multipliant fon dénomina teur 2 par 3; parce qu'à mefure que ce dénomi teur (qui eft le divifeur de l'entier dont la fraction eft partie) augmente, (le numerateur 2. demeurant toûjours le même), la part que l'on prend de cet entier eft plus petite à proportion. Ainsi dans nôtre exemple, au lieu de prendre, on ne prend que qui eft le tiers de; & ainfi de toutes les autres subdivisions de l'Entier. Ce qui fait voir la

raifon pour laquelle il faut multiplier les deux numérateurs des deux fractions propofées entre eux, & auffi les deux dénominateurs, pour avoir ceux de la nouvelle fraction, qui eft le produit defiré. Il fuit delà que fi l'on a un plus grand nombre de fractions â multiplier continuellement entr'elles, comme ( comme (,,, &c.) il faut prendre le produit continuel 6 de tous leurs numérateurs 1, 2, 3, & auffi le produit continuel 24 de tous leurs dénominateurs 2, 3, 4, pour avoir le numérateur & le dénominateur de la nouvelle fraction ou, qui eft le produit des 3 propofées": le tout comme dans la réduction des fractionsde fractions à une feule fraction, qui n'eft qu'une compofition de raports, de même que la multiplication des frac

tions.

24

Quant à l'abbregé de la divifion, il ne faut que confiderer que par cette divifion, on ne cherche, que le raport de à. Or ce raport subsiste toujours le même, après qu'on a également divifé ces deux fractions ainfi (,; & lorfqu'on les a auffi également multipliées ainfi (45, 4, ou tout d'un coup (,)

8

7. Il ne reste donc plus que de fçavoir, d'oùì vient que quand on veut avoir la racine quarrée d'une fraction quarrée 14, ( ou du moins que l'on regarde comme telle) on tire la racine quarrée, tant du numérateur, que du dénominateur de la propofée : ce qui donne fa racineou. Or cela vient de ce que pour former le quarré d'une fraction quelconque, il faut la multiplier par elle-même; c'eft-à-dire fon numérateur par luimême, & fon dénominateur aufsi par lui-même ; ou prendre le quarré, tant du numérateur, que du dénominateur. Donc au contraire, pour avoir la racine quarrée de la fraction 14, il faut tirer la racine du tant numérateur, que du dénominateur.

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ART. I.

Q

CHAPITRE III.

De Parties Décimales.

Uoique les parties décimales ne foient pas de l'ufage commun ên Europe, j'ai trouvé cependant à propos, d'en donner les régles, parce qu'il y a de très-grands Empires, comme la Chine, le Japon, &c. où l'on n'en connoît prefque pas d'autres. Dans la Chine, par éxemple, les pieds, les onces, les aunes, &c. font fubdivifez de 10 en 10; c'eft-à-dire, l'entier en 10 parties égales, dont chacune eft encore divifée en 10, & ainfi tant qu'on en a befoin: outre qu'il eft aifé de rendre ces décimales utiles pour toutes fortes de peuples, en les ajoutant fur les mesures ufitées étendues en longueur, comme fur les toifes, les perches, les aunes, &c. à côté des parties ufuelles; ou formant des tables, pour les autres efpeces de mefures, comme les li vres, lesmuids, &c. dans lefquelles on trouve à côté des parties ufuelles leurs valeurs en décimales. Car au moyen de ces fecours, fi l'on fe fert de ma méthode de multiplier les entiers & parties, en réduifant les produits feulement en parties. courantes ou lineaires, on on n'aura pas befoin d'autre Réducteur, que d'une chaîne, ou toife, ou perche qui contienne, outre les mesures vulgaires, des parties décimales, comme par exemple, des milliémes de toifes, qui font moindres que des lignes, lefquelles ne font que la 854 partie de la toife: le tout fuivant la grandeur de la mefure, dont on fe fervira. Parce que dans cette métode

par

une toife lineaire ou fuperficielle, ou cubique, contenant toujours 6 pieds courans, le pied courant toujours 12 pouces courans ; & le pouce courant toujours 12 lignes courantes, la ligne toujours 6 points; il eft évident que la mesure, qui contiendra les décimales, aussi-bien que les ties usitées, servira elle-même de Réducteur, tant pour les parties lineaires, que les fuperficielles, & les cubiques. Après quoi l'on ne doit plus faire aucune difficulté de fe fervir de cette forte de ce calcul, ayant des mefures divifees de cette manieres, & des tables pour les autres efpeces de mefures, qui ne peuvent pas aifément être divifées. On peut ajouter de même des parties décimales aux aunes des marchands: ce qui fera fort commode pour faire leurs régles de proportion, par la facilité de réduire tout d'un couples termes de leurs régles de proportion dans les moindres décimales afin d'operer fur ces décimales, & de rappeller enfuite les quotients exprimez en décimales aux parties vulgaires de l'aune ; & de même de toutes les mefures qui confiftent dans l'étenduë.

De la réduction des Entiers en décimales.

2. Si l'on veut réduire 253 entiers, par éxemple, en premieres décimales qui font des 10es de l'Entier, appellées Primes, il fuffira d'écrire un zéro après la fomme 253, ainfi ( 2530') & de mettre une unité au deffus du dernier chiffre pour fignifier que ce font des primes, ou pres décimales: ce qui s'entend affez par les remarques qu'on a faites dans la premiere Partie fur la multiplication par 10; car cette expreffion eft la même que (2530) laquelle fe réduit à 253 fimplement, felon le ra

1

baiffement des fractions du chapitre précedent. De même pour réduire encore 253 en roes de primes qui font des 100es de l'Entier, appellées secondes, j'écris 2 zéros après 253, ainfi 253002 avec le chiffre 2 fur le dernier zéro, pour faire voir que ce font des fecondes. Pour mettre encore 253 entierces,qui font des 1 oes de fecondes, ou des 1000es de l'entier, j'écris 3 zéros après, & en mêmetemps le nombre 3 fur le dernier zéro, ainfi 2530003; & cette expreffion eft la même que 1000, qui fe réduit toujours à 253, felon les mêmes réductions.

253000

De la réduction des Décimales en Entiers & décimales.

II. Si l'ona, par éxemple, 324' à réduire en Entiers & primes, il ne faut que mettre un point devant le dernier chiffre 4, ainfi; ( 3 2. 4'; ) ce qui fait 32 Entiers & 4 primes, conformément aux remarques fur la Divifion des Entiers par 10, Ire Partie. De même pour réduire encore 3242 en entiers & fecondes, mettez un point devant les deux derniers chiffres, ainfi (3. 242;) ce qui donnera 3 entiers & 24 fecondes, felon les remarques fur la divifion par 100. Pour mettre 242 en Primes & fecondes, j'écris un point devant le dernier chif fre, ainfi (21. 44) avec l'unité fur le 2, & un 2 fur le 4; ce qui fait 2 Primes & 4 fecondes ; ainfi 3242 réduites en Entiers & parties font ( 3. 21.42;) c'est-à-dire 3 Entiers, 2 primes & 4 fecondes. De même 56,7894 réduites en Entiers & parties, font (5.61. 72. 83.94.) Car cette derniere opération. n'eft autre chofe que de réduire d'abord 567894 en tierces:ce qui donne, en divisant par 10,(56783)